高阶微分(多元微积分)

                     

贡献者: 零穹

1. 二阶微分

预备知识 全微分(简明微积分)

   设在区域 D 中给定一函数 u=f(x1,,xn),它有着一阶连续偏导数。那时,称为全微分 du 的,就是如下表达式式 5

(1)du=i=1nuxidxi ,
式中的 dxi(i=1,,n) 是自变量 xi 的任意增量。全微分也称为一阶微分

   可以看出,du 也是一个 x1,,xn 的函数。若假定 u 有二阶连续偏导数,则 du 就有一阶连续偏导数,于是就能说微分 du 的全微分 d(du),它称为 u二阶微分,用记号 d2u 表示。

   需重点指出,在这时增量 dx1,,dxn 被看着常数,且当由一个微分转移到下一微分时,仍保持同一数值。

   利用微分法则(链接),就有

(2)d2u=d(du)=d(i=1nuxidxi)=i=1nd(uxi)dxi=i=1n(j=1n2uxixjdxj)dxi=i,j=1n2uxixjdxidxj .

记号约定

   在一阶微分的情形,约定 “将字母 u 移到求和号外”;于是可记为

(3)du=(i=1nxidxi)u .
若在二阶微分情形,也约定 “将字母 u 移到求和号外”,就有
(4)d2u=(i,j=1n2xixjdxidxj)u ,
因此,二阶微分可以记号化地写成
(5)d2u=(i=1nxidxi)2u .

2. 高阶微分

   仿照二阶微分的定义,若 (k1) 阶微分 dk1u 已确定,则k 阶微分 dku 就定义为 (k1) 阶微分的全微分:

(6)dku=d(dk1u) .
若函数 u 存在着直至 k 阶为止的所有各阶的连续偏导数,则 k 阶微分的存在就有了保证。

   同样的,对任意的 k,有记号化的等式

(7)dku=(i=1nxidxi)ku ,
这个公式必须这样理解:首先把括号内的多项式按照代数学的乘幂法则形式地展开,以后所有各项 “乘” 以 u(补写在分子 k 后面),仅在这一步后,一切记号方才回到导数及微分的意义。

式 7 的证明

   当 k=1,2 时,我们已看到为真;故只需证明,若它对于 dku 为真,则对于 dk+1u 为真即可。 假设这法则对于 dku 能成立,就有展开式:

(8)dku=(i=1xidxi)ku=Cα1,,αnkux1α1xnαndx1α1dxnαn ,
其中的总和是关于条件 i=1nαi=k 的非负整数 αi 的一切可能组合而取的,且
(9)Cα1,,αn=k!α1!αn! .
由假定,存在 (k+1) 阶连续偏导数,微分式 8 ,就得
(10)dk+1u=Cα1,,αn(k+1ux1α1+1xnαndx1α1+1dxnαn++k+1ux1α1xnαn+1dx1α1dxnαn+1) .
该式可先由记号化的等式
(11)Cα1,,αnkx1α1xnαndx1α1dxnαn×(i=1nxidxi) .
作形式上的相乘,再添写 u 而得出。由式 8 ,可知式 11 正是
(12)(i=1xidxi)k×(i=1nxidxi)=(i=1xidxi)k+1 ,
于是
(13)dk+1u=(i=1nxidxi)k+1u .
证毕!


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