高阶微分(多元函数)

                     

贡献者: 零穹

1. 二阶微分

预备知识 全微分(简明微积分)

   设在区域 $\mathcal{D}$ 中给定一函数 $u=f(x_1,\cdots,x_n)$,它有着一阶连续偏导数.那时,称为全微分 $ \,\mathrm{d}{u} $ 的,就是如下表达式式 5

\begin{equation} \,\mathrm{d}{u} =\sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \end{equation}
式中的 $ \,\mathrm{d}{x_i} \quad(i=1,\cdots,n)$ 是自变量 $x_i$ 的任意增量.全微分也称为一阶微分

   可以看出,$ \,\mathrm{d}{u} $ 也是一个 $x_1,\cdots,x_n$ 的函数.若假定 $u$ 有二阶连续偏导数,则 $ \,\mathrm{d}{u} $ 就有一阶连续偏导数,于是就能说微分 $ \,\mathrm{d}{u} $ 的全微分 $ \,\mathrm{d}{( \,\mathrm{d}{u} )} $,它称为 $u$ 的二阶微分,用记号 $\mathrm{d}^2u$ 表示.

   需重点指出,在这时增量 $ \,\mathrm{d}{x_1} ,\cdots, \,\mathrm{d}{x_n} $ 被看着常数,且当由一个微分转移到下一微分时,仍保持同一数值.

   利用微分法则(链接),就有

\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{^2u} &= \,\mathrm{d}{( \,\mathrm{d}{u} )} = \,\mathrm{d}{ \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) } \\ &=\sum_{i=1}^n \,\mathrm{d}{ \left( \frac{\partial u}{\partial x_i} \right) } \,\mathrm{d}{x_i} \\ &=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial ^2u}{\partial x_i\partial x_j} \,\mathrm{d}{x_j} \right) \,\mathrm{d}{x_i} \\ &=\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial ^2u}{\partial x_i\partial x_j} \,\mathrm{d}{x_i} \,\mathrm{d}{x_j} \end{aligned} \end{equation}

记号约定

   在一阶微分的情形,约定 “将字母 $u$ 移到求和号外”;于是可记为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{u} = \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) u \end{equation}
若在二阶微分情形,也约定 “将字母 $u$ 移到求和号外”,就有
\begin{equation} \,\mathrm{d}{^2u} = \left(\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial ^2}{\partial x_i\partial x_j} \,\mathrm{d}{x_i} \,\mathrm{d}{x_j} \right) u \end{equation}
因此,二阶微分可以记号化地写成
\begin{equation} \,\mathrm{d}{^2u} = \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^2u \end{equation}

2. 高阶微分

   仿照二阶微分的定义,若 $(k-1)$ 阶微分 $ \,\mathrm{d}{^{k-1}} u$ 已确定,则$k$ 阶微分 $ \,\mathrm{d}{^ku} $ 就定义为 $(k-1)$ 阶微分的全微分:

\begin{equation} \,\mathrm{d}{^k u} = \,\mathrm{d}{( \,\mathrm{d}{^{k-1}} u)} \end{equation}
若函数 $u$ 存在着直至 $k$ 阶为止的所有各阶的连续偏导数,则 $k$ 阶微分的存在就有了保证.

   同样的,对任意的 $k$,有记号化的等式

\begin{equation} \,\mathrm{d}{^ku} = \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^k u \end{equation}
这个公式必须这样理解:首先把括号内的多项式按照代数学的乘幂法则形式地展开,以后所有各项 “乘” 以 $u$(补写在分子 $\partial^k$ 后面),仅在这一步后,一切记号方才回到导数及微分的意义.

式 7 的证明

   当 $k=1,2$ 时,我们已看到为真;故只需证明,若它对于 $ \,\mathrm{d}{^k u} $ 为真,则对于 $ \,\mathrm{d}{^{k+1}u} $ 为真即可. 假设这法则对于 $ \,\mathrm{d}{^k u} $ 能成立,就有展开式:

\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{^k u} &= \left(\sum_{i=1} \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^k u\\ &=\sum C_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}\cdot \frac{\partial ^k u}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial{x_n}^{\alpha_n}} \,\mathrm{d}{x_1^{\alpha_1}} \cdots \,\mathrm{d}{x_n^{\alpha_n}} \end{aligned} \end{equation}
其中的总和是关于条件 $\sum_{i=1}^n\alpha_i=k$ 的非负整数 $\alpha_i$ 的一切可能组合而取的,且
\begin{equation} C_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}=\frac{k!}{\alpha_1!\cdots\alpha_n!} \end{equation}
由假定,存在 $(k+1)$ 阶连续偏导数,微分式 8 ,就得
\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{^{k+1}} u=&\sum C_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}\cdot\Bigg( \frac{\partial ^{k+1} u}{\partial x_1^{\alpha_1+1}\cdots\partial{x_n}^{\alpha_n}} \,\mathrm{d}{x_1^{\alpha_1+1}} \cdots \,\mathrm{d}{x_n^{\alpha_n}} \\ &+\cdots+ \frac{\partial ^{k+1} u}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial{x_n}^{\alpha_n+1}} \,\mathrm{d}{x_1^{\alpha_1}} \cdots \,\mathrm{d}{x_n^{\alpha_n+1}} \Bigg) \end{aligned} \end{equation}
该式可先由记号化的等式
\begin{equation} \sum C_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}\cdot \frac{\partial ^{k}}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial{x_n}^{\alpha_n}} \,\mathrm{d}{x_1^{\alpha_1}} \cdots \,\mathrm{d}{x_n^{\alpha_n}} \times \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) \end{equation}
作形式上的相乘,再添写 $u$ 而得出.由式 8 ,可知式 11 正是
\begin{equation} \left(\sum_{i=1} \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^k\times \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) = \left(\sum_{i=1} \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^{k+1} \end{equation}
于是
\begin{equation} \,\mathrm{d}{^{k+1}} u= \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^{k+1}u \end{equation}
证毕!


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