高阶微分（多元微积分）

贡献者：零穹

1. 二阶微分

预备知识　全微分（简明微积分）

　　设在区域 $D$ 中给定一函数 $u = f (x_{1}, \dots, x_{n})$ ，它有着一阶连续偏导数。那时，称为全微分 $d u$ 的，就是如下表达式式 5

\begin{matrix} (1) & d u = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} d x_{i}, \end{matrix}

式中的

d x_{i} (i = 1, \dots, n)

是自变量

x_{i}

的任意增量。全微分也称为一阶微分。

　　可以看出， $d u$ 也是一个 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 的函数。若假定 $u$ 有二阶连续偏导数，则 $d u$ 就有一阶连续偏导数，于是就能说微分 $d u$ 的全微分 $d (d u)$ ，它称为 $u$ 的二阶微分，用记号 $d^{2} u$ 表示。

　　 需重点指出，在这时增量 $d x_{1}, \dots, d x_{n}$ 被看着常数，且当由一个微分转移到下一微分时，仍保持同一数值。

　　利用微分法则（链接），就有

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} d^{2} u & = d (d u) = d (\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} d x_{i}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} d (\frac{\partial u}{\partial x_{i}}) d x_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i} \partial x_{j}} d x_{j}) d x_{i} \\ = \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i} \partial x_{j}} d x_{i} d x_{j} . \end{aligned} \end{matrix}

记号约定

　　在一阶微分的情形，约定 “将字母 $u$ 移到求和号外”；于是可记为

\begin{matrix} (3) & d u = (\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} d x_{i}) u . \end{matrix}

若在二阶微分情形，也约定 “将字母

u

移到求和号外”，就有

\begin{matrix} (4) & d^{2} u = (\sum_{i, j = 1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} d x_{i} d x_{j}) u, \end{matrix}

因此，二阶微分可以记号化地写成

\begin{matrix} (5) & d^{2} u = {(\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} d x_{i})}^{2} u . \end{matrix}

2. 高阶微分

　　仿照二阶微分的定义，若 $(k - 1)$ 阶微分 $d^{k - 1} u$ 已确定，则 $k$ 阶微分 $d^{k} u$ 就定义为 $(k - 1)$ 阶微分的全微分：

\begin{matrix} (6) & d^{k} u = d (d^{k - 1} u) . \end{matrix}

若函数

u

存在着直至

k

阶为止的所有各阶的连续偏导数，则

k

阶微分的存在就有了保证。

　　同样的，对任意的 $k$ ，有记号化的等式

\begin{matrix} (7) & d^{k} u = {(\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} d x_{i})}^{k} u, \end{matrix}

这个公式必须这样理解：首先把括号内的多项式按照代数学的乘幂法则形式地展开，以后所有各项 “乘” 以

u

(补写在分子

\partial^{k}

后面)，仅在这一步后，一切记号方才回到导数及微分的意义。

式 7 的证明

　　当 $k = 1, 2$ 时，我们已看到为真；故只需证明，若它对于 $d^{k} u$ 为真，则对于 $d^{k + 1} u$ 为真即可。假设这法则对于 $d^{k} u$ 能成立，就有展开式：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} d^{k} u & = {(\sum_{i = 1} \frac{\partial}{\partial x_{i}} d x_{i})}^{k} u \\ = \sum C_{α_{1}, \dots, α_{n}} \cdot \frac{\partial^{k} u}{\partial x_{1}^{α_{1}} \dots \partial {x_{n}}^{α_{n}}} d x_{1}^{α_{1}} \dots d x_{n}^{α_{n}}, \end{aligned} \end{matrix}

其中的总和是关于条件

\sum_{i = 1}^{n} α_{i} = k

的非负整数

α_{i}

的一切可能组合而取的，且

\begin{matrix} (9) & C_{α_{1}, \dots, α_{n}} = \frac{k!}{α_{1}! \dots α_{n}!} . \end{matrix}

由假定，存在

(k + 1)

阶连续偏导数，微分式 8 ，就得

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} d^{k + 1} u = & \sum C_{α_{1}, \dots, α_{n}} \cdot (\frac{\partial^{k + 1} u}{\partial x_{1}^{α_{1} + 1} \dots \partial {x_{n}}^{α_{n}}} d x_{1}^{α_{1} + 1} \dots d x_{n}^{α_{n}} \\ + \dots + \frac{\partial^{k + 1} u}{\partial x_{1}^{α_{1}} \dots \partial {x_{n}}^{α_{n} + 1}} d x_{1}^{α_{1}} \dots d x_{n}^{α_{n} + 1}) . \end{aligned} \end{matrix}

该式可先由记号化的等式

\begin{matrix} (11) & \sum C_{α_{1}, \dots, α_{n}} \cdot \frac{\partial^{k}}{\partial x_{1}^{α_{1}} \dots \partial {x_{n}}^{α_{n}}} d x_{1}^{α_{1}} \dots d x_{n}^{α_{n}} \times (\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} d x_{i}) . \end{matrix}

作形式上的相乘，再添写

u

而得出。由式 8 ，可知式 11 正是

\begin{matrix} (12) & {(\sum_{i = 1} \frac{\partial}{\partial x_{i}} d x_{i})}^{k} \times (\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} d x_{i}) = {(\sum_{i = 1} \frac{\partial}{\partial x_{i}} d x_{i})}^{k + 1}, \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (13) & d^{k + 1} u = {(\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} d x_{i})}^{k + 1} u . \end{matrix}

证毕！

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