高阶微分(多元微积分)
贡献者: 零穹
1. 二阶微分
设在区域 中给定一函数 ,它有着一阶连续偏导数。那时,称为全微分 的,就是如下表达式式 5
式中的 是自变量 的任意增量。全微分也称为
一阶微分。
可以看出, 也是一个 的函数。若假定 有二阶连续偏导数,则 就有一阶连续偏导数,于是就能说微分 的全微分 ,它称为 的二阶微分,用记号 表示。
需重点指出,在这时增量 被看着常数,且当由一个微分转移到下一微分时,仍保持同一数值。
利用微分法则(链接),就有
记号约定
在一阶微分的情形,约定 “将字母 移到求和号外”;于是可记为
若在二阶微分情形,也约定 “将字母 移到求和号外”,就有
因此,二阶微分可以记号化地写成
2. 高阶微分
仿照二阶微分的定义,若 阶微分 已确定,则 阶微分 就定义为 阶微分的全微分:
若函数 存在着直至 阶为止的所有各阶的连续偏导数,则 阶微分的存在就有了保证。
同样的,对任意的 ,有记号化的等式
这个公式必须这样理解:首先把括号内的多项式按照代数学的乘幂法则形式地展开,以后所有各项 “乘” 以 (补写在分子 后面),仅在这一步后,一切记号方才回到导数及微分的意义。
当 时,我们已看到为真;故只需证明,若它对于 为真,则对于 为真即可。
假设这法则对于 能成立,就有展开式:
其中的总和是关于条件 的非负整数 的一切可能组合而取的,且
由假定,存在 阶连续偏导数,微分
式 8 ,就得
该式可先由记号化的等式
作形式上的相乘,再添写 而得出。由
式 8 ,可知
式 11 正是
于是
证毕!
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