若一个 $\omega$ 是一个 $k$-微分形式，$\mathcal V$ 是 $N> k$ 维空间中的曲面，其表面为 $\partial \mathcal V$，那么
\begin{equation}
\int_{\mathcal V} \,\mathrm{d}{\omega} = \int_{\partial \mathcal V} \omega~,
\end{equation}
例 1 二维散度定理
二维平面上的一个区域，其边界取逆时针为正，线积分的 $1$-微分形式为
\begin{equation}
\omega = f_x \,\mathrm{d}{x} + f_y \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
它的微分为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\omega} = \frac{\partial f_x}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f_x}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{x}
+ \frac{\partial f_y}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} + \frac{\partial f_y}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
其中第一项和第四项出现了重复，故为零。第二项中 $ \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{x} = - \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} $，所以
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\omega} = \left( \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
代入
式 1 得
\begin{equation}
\oint f_x \,\mathrm{d}{x} + f_y \,\mathrm{d}{y} = \iint \left( \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} ~,
\end{equation}
这样就得到了二维的散度定理。这也可以看作是二维的旋度定理。
例 2 三维旋度定理
微分形式为
\begin{equation}
\omega = f_x \,\mathrm{d}{x} + f_y \,\mathrm{d}{y} + f_z \,\mathrm{d}{z} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\,\mathrm{d}{\omega} &= \frac{\partial f_x}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f_x}{\partial z} \,\mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}{x}
+ \frac{\partial f_y}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} + \frac{\partial f_y}{\partial z} \,\mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}{y}
+ \frac{\partial f_z}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{z} + \frac{\partial f_z}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} \\
&= \left( \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}
+ \left( \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x} \right) \,\mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}{x}
+ \left( \frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z} \right) \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\oint f_x \,\mathrm{d}{x} + f_y \,\mathrm{d}{y} + f_z \,\mathrm{d}{z} \\
&= \iint \left( \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}
+ \left( \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x} \right) \,\mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}{x}
+ \left( \frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z} \right) \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
三个括号中就是 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} f$ 在 $x,y,z$ 正方向的分量。而右边微分的排列顺序保证了当曲面的法向量三个正方向上时，面积分为正。
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