广义斯托克斯定理(简明微积分)

                     

贡献者: addis

预备知识 微分形式(简明微积分)

   若一个 $\omega$ 是一个 $k$-微分形式,$\mathcal V$ 是 $N > k$ 维空间中的曲面,其表面为 $\partial \mathcal V$,那么

\begin{equation} \int_{\mathcal V} \,\mathrm{d}{\omega} = \int_{\partial \mathcal V} \omega \end{equation}
证明略.

例 1 二维散度定理

   二维平面上的一个区域,其边界取逆时针为正,线积分的 $1$-微分形式为

\begin{equation} \omega = f_x \,\mathrm{d}{x} + f_y \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
它的微分为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{\omega} = \frac{\partial f_x}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f_x}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f_y}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} + \frac{\partial f_y}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
其中第一项和第四项出现了重复,故为零.第二项中 $ \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{x} = - \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} $,所以
\begin{equation} \,\mathrm{d}{\omega} = \left( \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
代入式 1
\begin{equation} \oint f_x \,\mathrm{d}{x} + f_y \,\mathrm{d}{y} = \iint \left( \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
这样就得到了二维的散度定理(链接未完成).这也可以看作是二维的旋度定理.

例 2 三维旋度定理

   微分形式为

\begin{equation} \omega = f_x \,\mathrm{d}{x} + f_y \,\mathrm{d}{y} + f_z \,\mathrm{d}{z} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{\omega} &= \frac{\partial f_x}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f_x}{\partial z} \,\mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f_y}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} + \frac{\partial f_y}{\partial z} \,\mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}{y} + \frac{\partial f_z}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{z} + \frac{\partial f_z}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} \\ &= \left( \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} + \left( \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x} \right) \,\mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}{x} + \left( \frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z} \right) \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} \end{aligned} \end{equation}
于是
\begin{equation} \begin{aligned} &\oint f_x \,\mathrm{d}{x} + f_y \,\mathrm{d}{y} + f_z \,\mathrm{d}{z} \\ &= \iint \left( \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} + \left( \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x} \right) \,\mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}{x} + \left( \frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z} \right) \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} \end{aligned} \end{equation}
三个括号中就是 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} f$ 在 $x,y,z$ 正方向的分量.而右边微分的排列顺序保证了当曲面的法向量三个正方向上时,面积分为正.

习题 1 

   试写出四维空间中三维曲面的散度定理以及旋度定理.


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