广义斯托克斯定理（简明微积分）

贡献者： addis

预备知识　微分形式（简明微积分）

　　若一个 $ω$ 是一个 $k$ -微分形式， $V$ 是 $N > k$ 维空间中的曲面，其表面为 $\partial V$ ，那么

\begin{matrix} (1) & \int_{V} d ω = \int_{\partial V} ω, \end{matrix}

证明略。

例 1　二维散度定理

　　二维平面上的一个区域，其边界取逆时针为正，线积分的 $1$ -微分形式为

\begin{matrix} (2) & ω = f_{x} d x + f_{y} d y . \end{matrix}

它的微分为

\begin{matrix} (3) & d ω = \frac{\partial f_{x}}{\partial x} d x d x + \frac{\partial f_{x}}{\partial y} d y d x + \frac{\partial f_{y}}{\partial x} d x d y + \frac{\partial f_{y}}{\partial y} d y d y . \end{matrix}

其中第一项和第四项出现了重复，故为零。第二项中

d y d x = - d x d y

，所以

\begin{matrix} (4) & d ω = (\frac{\partial f_{y}}{\partial x} - \frac{\partial f_{x}}{\partial y}) d x d y . \end{matrix}

代入式 1 得

\begin{matrix} (5) & \oint f_{x} d x + f_{y} d y = \iint (\frac{\partial f_{y}}{\partial x} - \frac{\partial f_{x}}{\partial y}) d x d y, \end{matrix}

这样就得到了二维的散度定理。这也可以看作是二维的旋度定理。

例 2　三维旋度定理

　　微分形式为

\begin{matrix} (6) & ω = f_{x} d x + f_{y} d y + f_{z} d z . \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} d ω & = \frac{\partial f_{x}}{\partial y} d y d x + \frac{\partial f_{x}}{\partial z} d z d x + \frac{\partial f_{y}}{\partial x} d x d y + \frac{\partial f_{y}}{\partial z} d z d y + \frac{\partial f_{z}}{\partial x} d x d z + \frac{\partial f_{z}}{\partial y} d y d z \\ = (\frac{\partial f_{y}}{\partial x} - \frac{\partial f_{x}}{\partial y}) d x d y + (\frac{\partial f_{x}}{\partial z} - \frac{\partial f_{z}}{\partial x}) d z d x + (\frac{\partial f_{z}}{\partial y} - \frac{\partial f_{y}}{\partial z}) d y d z . \end{aligned} \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \oint f_{x} d x + f_{y} d y + f_{z} d z \\ = \iint (\frac{\partial f_{y}}{\partial x} - \frac{\partial f_{x}}{\partial y}) d x d y + (\frac{\partial f_{x}}{\partial z} - \frac{\partial f_{z}}{\partial x}) d z d x + (\frac{\partial f_{z}}{\partial y} - \frac{\partial f_{y}}{\partial z}) d y d z, \end{aligned} \end{matrix}

三个括号中就是

\nabla \times f

在

x, y, z

正方向的分量。而右边微分的排列顺序保证了当曲面的法向量三个正方向上时，面积分为正。

习题 1　

　　试写出四维空间中三维曲面的散度定理以及旋度定理。

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广义斯托克斯定理（简明微积分）

例 1 二维散度定理

例 2 三维旋度定理

习题 1

例 1　二维散度定理

例 2　三维旋度定理

习题 1　