Lippmann-Schwinger 方程

贡献者： addis

预备知识　薛定谔方程（单粒子多维），格林函数，亥姆霍兹方程的格林函数

\begin{matrix} (1) & H = H_{0} + V, H_{0} = \frac{p^{2}}{2 m} . \end{matrix}

令

H_{0} | ϕ ⟩ = E | ϕ ⟩

，

(H_{0} + V) | ψ ⟩ = E | ψ ⟩

。那么形式上就有

\begin{matrix} (2) & | ψ ⟩ = \frac{1}{E - H_{0}} V | ψ ⟩ + | ϕ ⟩ . \end{matrix}

但

1 / (E - H_{0})

是奇异的，要解决这个问题，可以把它变得稍微复数一些（

ε

是无穷小）

\begin{matrix} (3) & | ψ^{(\pm)} ⟩ = | ϕ ⟩ + \frac{1}{E - H_{0} \pm i ε} V | ψ^{(\pm)} ⟩, \end{matrix}

这就是 Lippmann-Schwinger 方程。放到位置表象中就是

\begin{matrix} (4) & ⟨ x | ψ^{(\pm)} ⟩ = ⟨ x | ϕ ⟩ + \int d^{3} x^{'} ⟨ x | \frac{1}{E - H_{0} \pm i ε} | x^{'} ⟩ ⟨ x^{'} | V | ψ^{(\pm)} ⟩, \end{matrix}

这是一个积分方程。如果

| ϕ ⟩

是平面波。

\begin{matrix} (5) & G_{\pm} (x, x^{'}) = \frac{1}{2 m} ⟨ x | \frac{1}{E - H_{0} \pm i ε} | x^{'} ⟩, \end{matrix}

可以证明（见下文）

\begin{matrix} (6) & G_{\pm} (x, x^{'}) = - \frac{1}{4 π} \frac{e^{\pm i k | x - x^{'} |}}{| x - x^{'} |}, \end{matrix}

其中

k = \sqrt{2 m E}

。这就是亥姆霍兹方程的格林函数

\begin{matrix} (7) & (\nabla^{2} + k^{2}) G_{\pm} (x, x^{'}) = δ (x - x^{'}) . \end{matrix}

　　经过一番推导，式 4 变为

\begin{matrix} (8) & ⟨ x | ψ^{(\pm)} ⟩ = ⟨ x | ϕ ⟩ - 2 m \int d^{3} x^{'} \frac{e^{\pm i k | x - x^{'} |}}{4 π | x - x^{'} |} V (x^{'}) ⟨ x^{'} | ψ^{(\pm)} ⟩, \end{matrix}

然后计算可以发现平面波散射的边界条件为

\begin{matrix} (9) & ⟨ x | ψ^{(\pm)} ⟩ \overset{r \to \infty}{⟶} \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} [e^{i k \cdot x} + f (k^{'}, k) \frac{e^{i k r}}{r}], \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (10) & f (k^{'}, k) = - 4 π^{2} m ⟨ k^{'} | V | ψ^{(+)} ⟩ . \end{matrix}

证明

　　现在来证明式 6 。

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \frac{1}{2 m} ⟨ x | \frac{1}{E - H_{0} \pm i ε} | x^{'} ⟩ \\ = \frac{1}{2 m} \int d^{3} k^{'} \int d^{3} k^{″} ⟨ x | k^{'} ⟩ ⟨ k^{'} | \frac{1}{E - p^{2} / (2 m) \pm i ε} | k^{″} ⟩ ⟨ k^{″} | x^{'} ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

易知

\begin{matrix} (12) & \frac{1}{E - p^{2} / (2 m) \pm i ε} | k^{″} ⟩ = \frac{| k^{″} ⟩}{E - k^{2} / (2 m) \pm i ε}, \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (13) & ⟨ k^{'} | \frac{1}{E - H_{0} \pm i ε} | k^{″} ⟩ = \frac{δ (k^{'} - k^{″})}{E - k^{' 2} / 2 m \pm i ε} . \end{matrix}

另外

\begin{matrix} (14) & ⟨ x | k^{'} ⟩ = \frac{e^{i k^{'} \cdot x}}{(2 π)^{3 / 2}} ⟨ k^{″} | x^{'} ⟩ = \frac{e^{- i k^{″} \cdot x^{'}}}{(2 π)^{3 / 2}}, \end{matrix}

于是式 11 右边变为

\begin{matrix} (15) & \frac{1}{(2 π)^{3} 2 m} \int d^{3} k^{'} \frac{e^{i k^{'} \cdot (x - x^{'})}}{E - k^{' 2} / 2 m \pm i ε} . \end{matrix}

在球坐标中积分，使用留数定理¹，就得到式 6 。结果与

ε

无关。

1. ^ 然而我也不知道具体怎么操作……

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