Lippmann-Schwinger 方程

                     

贡献者: addis

预备知识 薛定谔方程(单粒子多维),格林函数,亥姆霍兹方程的格林函数

\begin{equation} H = H_0 + V, \qquad H_0 = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} \end{equation}
令 $H_0 \left\lvert \phi \right\rangle = E \left\lvert \phi \right\rangle $,$(H_0+V) \left\lvert \psi \right\rangle =E \left\lvert \psi \right\rangle $.那么形式上就有
\begin{equation} \left\lvert \psi \right\rangle = \frac{1}{E-H_0} V \left\lvert \psi \right\rangle + \left\lvert \phi \right\rangle \end{equation}
但 $1/(E-H_0)$ 是奇异的,要解决这个问题,可以把它变得稍微复数一些($\varepsilon$ 是无穷小)
\begin{equation} \lvert{\psi^{(\pm)}}\rangle = \left\lvert \phi \right\rangle + \frac{1}{E-H_0\pm \mathrm{i} \varepsilon} V \lvert{\psi^{(\pm)}}\rangle \end{equation}
这就是 Lippmann-Schwinger 方程.放到位置表象中就是
\begin{equation} \langle{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|{\psi^{(\pm)}}\rangle = \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \phi \right\rangle + \int \,\mathrm{d}^{3}{x'} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \frac{1}{E-H_0\pm \mathrm{i} \varepsilon} \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \middle| V \middle| \psi^{(\pm)} \right\rangle \end{equation}
这是一个积分方程.如果 $ \left\lvert \phi \right\rangle $ 是平面波.
\begin{equation} G_\pm ( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} ') = \frac{1}{2m} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \frac{1}{E-H_0\pm \mathrm{i} \varepsilon} \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rangle \end{equation}
可以证明(见下文)
\begin{equation} G_\pm ( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} ') = -\frac{1}{4\pi} \frac{ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} k \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rvert }}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rvert } \end{equation}
其中 $k = \sqrt{2mE}$.这就是亥姆霍兹方程的格林函数
\begin{equation} ( \boldsymbol{\nabla}^2 +k^2)G_\pm ( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} ') = \delta( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \end{equation}

   经过一番推导,式 4 变为

\begin{equation} \langle{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|{\psi^{(\pm)}}\rangle = \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \phi \right\rangle - 2m\int \,\mathrm{d}^{3}{x'} \frac{ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} k \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rvert }}{4\pi \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rvert } V( \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \langle{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '}|{\psi^{(\pm)}}\rangle \end{equation}
然后计算可以发现平面波散射的边界条件为
\begin{equation} \langle{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|{\psi^{(\pm)}}\rangle \overset{r\to\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \left[ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} } + f( \boldsymbol{\mathbf{k}} ', \boldsymbol{\mathbf{k}} )\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr}}{r} \right] \end{equation}
其中
\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{k}} ', \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = -4\pi^2 m \langle{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}|{V}|{\psi^{(+)}}\rangle \end{equation}

证明

   现在来证明式 6

\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{1}{2m} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \frac{1}{E-H_0\pm \mathrm{i} \varepsilon} \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rangle \\ &= \frac{1}{2m} \int \,\mathrm{d}^{3}{k'} \int \,\mathrm{d}^{3}{k''} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \frac{1}{E- \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2/(2m)\pm \mathrm{i} \varepsilon} \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rangle \end{aligned} \end{equation}
易知
\begin{equation} \frac{1}{E- \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2/(2m)\pm \mathrm{i} \varepsilon} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \right\rangle = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \right\rangle }{E- k^2/(2m)\pm \mathrm{i} \varepsilon} \end{equation}
所以
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \frac{1}{E-H_0\pm \mathrm{i} \varepsilon} \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \right\rangle = \frac{\delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} '- \boldsymbol{\mathbf{k}} '')}{E-k'^2/2m\pm \mathrm{i} \varepsilon} \end{equation}
另外
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \right\rangle = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} }}{(2\pi)^{3/2}} \qquad \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rangle = \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} '}}{(2\pi)^{3/2}} \end{equation}
于是式 11 右边变为
\begin{equation} \frac{1}{(2\pi)^32m}\int \,\mathrm{d}^{3}{k'} \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ')}}{E-k'^2/2m\pm \mathrm{i} \varepsilon} \end{equation}
在球坐标中积分,使用留数定理1,就得到式 6 .结果与 $\varepsilon$ 无关.


1. ^ 然而我也不知道具体怎么操作……


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