贡献者： addis
预备知识 薛定谔方程（单粒子多维）
，格林函数
，亥姆霍兹方程的格林函数
\begin{equation}
H = H_0 + V, \qquad H_0 = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m}~.
\end{equation}
令 $H_0 \left\lvert \phi \right\rangle = E \left\lvert \phi \right\rangle $，$(H_0+V) \left\lvert \psi \right\rangle =E \left\lvert \psi \right\rangle $。那么形式上就有
\begin{equation}
\left\lvert \psi \right\rangle = \frac{1}{E-H_0} V \left\lvert \psi \right\rangle + \left\lvert \phi \right\rangle ~.
\end{equation}
但 $1/(E-H_0)$ 是奇异的，要解决这个问题，可以把它变得稍微复数一些（$\varepsilon$ 是无穷小）
\begin{equation}
\lvert{\psi^{(\pm)}}\rangle = \left\lvert \phi \right\rangle + \frac{1}{E-H_0\pm \mathrm{i} \varepsilon} V \lvert{\psi^{(\pm)}}\rangle ~,
\end{equation}
这就是
Lippmann-Schwinger 方程。放到位置表象中就是
\begin{equation}
\langle{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|{\psi^{(\pm)}}\rangle = \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \phi \right\rangle + \int \,\mathrm{d}^{3}{x'} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \frac{1}{E-H_0\pm \mathrm{i} \varepsilon} \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \middle| V \middle| \psi^{(\pm)} \right\rangle ~,
\end{equation}
这是一个积分方程。如果 $ \left\lvert \phi \right\rangle $ 是平面波。
\begin{equation}
G_\pm ( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} ') = \frac{1}{2m} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \frac{1}{E-H_0\pm \mathrm{i} \varepsilon} \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rangle ~,
\end{equation}
可以证明（见下文）
\begin{equation}
G_\pm ( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} ') = -\frac{1}{4\pi} \frac{ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} k \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rvert }}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rvert }~,
\end{equation}
其中 $k = \sqrt{2mE}$。这就是亥姆霍兹方程的格林函数
\begin{equation}
( \boldsymbol{\nabla}^2 +k^2)G_\pm ( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} ') = \delta( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ')~.
\end{equation}
经过一番推导，式 4 变为
\begin{equation}
\langle{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|{\psi^{(\pm)}}\rangle = \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \phi \right\rangle - 2m\int \,\mathrm{d}^{3}{x'} \frac{ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} k \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rvert }}{4\pi \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rvert } V( \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \langle{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '}|{\psi^{(\pm)}}\rangle ~,
\end{equation}
然后计算可以发现平面波散射的边界条件为
\begin{equation}
\langle{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|{\psi^{(\pm)}}\rangle \overset{r\to\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \left[ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} } + f( \boldsymbol{\mathbf{k}} ', \boldsymbol{\mathbf{k}} )\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr}}{r} \right] ~,
\end{equation}
其中
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{k}} ', \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = -4\pi^2 m \langle{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}|{V}|{\psi^{(+)}}\rangle ~.
\end{equation}
证明
现在来证明式 6 。
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{1}{2m} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \frac{1}{E-H_0\pm \mathrm{i} \varepsilon} \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rangle \\
&= \frac{1}{2m} \int \,\mathrm{d}^{3}{k'} \int \,\mathrm{d}^{3}{k''} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \frac{1}{E- \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2/(2m)\pm \mathrm{i} \varepsilon} \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rangle ~.
\end{aligned}
\end{equation}
易知
\begin{equation}
\frac{1}{E- \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2/(2m)\pm \mathrm{i} \varepsilon} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \right\rangle = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \right\rangle }{E- k^2/(2m)\pm \mathrm{i} \varepsilon}~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \frac{1}{E-H_0\pm \mathrm{i} \varepsilon} \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \right\rangle = \frac{\delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} '- \boldsymbol{\mathbf{k}} '')}{E-k'^2/2m\pm \mathrm{i} \varepsilon}~.
\end{equation}
另外
\begin{equation}
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \right\rangle = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} }}{(2\pi)^{3/2}}
\qquad
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \right\rangle = \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} '' \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} '}}{(2\pi)^{3/2}}~,
\end{equation}
于是
式 11 右边变为
\begin{equation}
\frac{1}{(2\pi)^32m}\int \,\mathrm{d}^{3}{k'} \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ')}}{E-k'^2/2m\pm \mathrm{i} \varepsilon}~.
\end{equation}
在球坐标中积分，使用留数定理
1，就得到
式 6 。结果与 $\varepsilon$ 无关。
1. ^ 然而我也不知道具体怎么操作……
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