球面散射态与平面散射态的转换

             

预备知识 平面波的球谐展开

   我们已经知道没有势能时,每个正能量(即每个 $k$ 值)的本征态存在无穷维的简并,我们既可以取无穷多离散的球面波作为简并空间的基底,也可以取无穷多不同方向的平面波作为简并空间的基底,两组基底展开同一个本征值为 $E = k^2/2$ 的子空间.

   现在我们来讨论存在短程有心力的情况,令短程力的势能函数为 $V(r)$ 且满足短程条件

\begin{equation} \lim_{r\to\infty} r^2V(r) = 0 \end{equation}

   之所以这么定义短程力,是因为当 $r$ 很大时,$V(r)$ 相比与径向方程中的离心势能项可以忽略不计.

   这时如果要求解球面波的散射态,可以取一个较大的 $r_0$ 把 $r$ 分成两部分,$r < r_0$ 的部分一般没有解析解,我们可以用数值方法求解.$r > r_0$ 部分的通解是两类球贝塞尔函数的线性组合,即 $A kr n_l(kr) + B kr j_l(kr)$.解出第一部分以后,可以在 $r_0$ 将两部分波函数匹配,使函数值和一阶导数连续,解得 $A, B$ 系数.然后求出相移 $\delta_l(k)$,使1

\begin{equation} A kr j_l(kr) - B kr y_l(kr) \to C kr j_l [kr + \delta_l(k)] \end{equation}
\begin{equation} \delta_l(k) = \arctan\frac{B}{A} \end{equation}

   要归一化,我们只需令 $C = \sqrt{2/\pi}$.要证明带有相移的径向波函数满足归一化条件,我们只需证明微小相移不影响归一化积分的结果

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \int_0^{\infty} \sin\left(kr\right) \sin[k'r + \delta'(k)(k'-k)] \,\mathrm{d}{r} \\ &= \int_0^{\infty} \sin\left(kr\right) \sin\left(k'r\right) \cos[\delta'(k) \,\mathrm{d}{k} ] \,\mathrm{d}{r} \\ &= \int_0^{\infty} \sin\left(kr\right) \sin\left(k'r\right) \,\mathrm{d}{r} = \frac{\pi}{2} \delta(k - k') \end{aligned} \end{equation}
归一化以后,我们就得到了球面波形式的散射态.

   我们希望能找到平面波对应的非束缚本征态,即当 $r \to \infty$ 的时候我们仍然希望看到平面波(想象平面水波遇到一个石头,只会产生局部的扰动).

   (说明未完成,没时间了,直接上公式吧)

   边界条件为2

\begin{equation} \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \to \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \left[ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } + f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr}}{r} \right] \end{equation}
其中 $f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 是一个只与方向有关的函数,叫做散射幅.散射幅的模方就是微分截面
\begin{equation} \frac{\partial \sigma}{\partial \Omega} = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{out}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert r^2}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{in}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert } = \left\lvert f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2 \end{equation}
将各项球谐展开,令
\begin{equation} f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \sum_{l, m} B_{l,m} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
对比每个球谐项的径向波函数得
\begin{equation} C_{l,m} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin[kr -l\pi/2 + \delta_l(k)] = A_{l,m} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin\left(kr - l \pi/2\right) + B_{lm} \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr} \end{equation}
其中 $A_{l,m}$ 是已知的平面波的球谐展开系数(式 3 ),解得另外两个系数为(分别对比 $ \exp\left( \mathrm{i} kr\right) $ 和 $ \exp\left(- \mathrm{i} kr\right) $ 分量的系数)
\begin{equation} C_{l,m} = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \delta_l(k)} A_{l, m} = \frac{ \mathrm{i} ^l}{k} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \delta_l(k)} Y_{lm}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \end{equation}
\begin{equation} B_{l,m} =4\pi \sin\delta_l(k) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} l\pi/2} C_{l,m} \end{equation}


1. ^ 我们在第二类贝塞尔函数 $y_l(kr)$ 前面加上负号使其渐进式具有 $ \cos\left(kr - l\pi/2\right) $ 的形式
2. ^ 满足该边界条件的波函数貌似也满足归一化条件 $\delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ')$.

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