球面散射态与平面散射态的转换

贡献者：待更新

预备知识　平面波的球谐展开

　　我们已经知道没有势能时，每个正能量（即每个 $k$ 值）的本征态存在无穷维的简并，我们既可以取无穷多离散的球面波作为简并空间的基底，也可以取无穷多不同方向的平面波作为简并空间的基底，两组基底展开同一个本征值为 $E = k^{2} / 2$ 的子空间。

　　现在我们来讨论存在短程有心力的情况，令短程力的势能函数为 $V (r)$ 且满足短程条件

\begin{matrix} (1) & lim_{r \to \infty} r^{2} V (r) = 0 . \end{matrix}

　　之所以这么定义短程力，是因为当 $r$ 很大时， $V (r)$ 相比与径向方程中的离心势能项可以忽略不计。

　　这时如果要求解球面波的散射态，可以取一个较大的 $r_{0}$ 把 $r$ 分成两部分， $r < r_{0}$ 的部分一般没有解析解，我们可以用数值方法求解。 $r > r_{0}$ 部分的通解是两类球贝塞尔函数的线性组合，即 $A k r n_{l} (k r) + B k r j_{l} (k r)$ 。解出第一部分以后，可以在 $r_{0}$ 将两部分波函数匹配，使函数值和一阶导数连续，解得 $A, B$ 系数。然后求出相移 $δ_{l} (k)$ ，使¹

\begin{matrix} (2) & A k r j_{l} (k r) - B k r y_{l} (k r) \to C k r j_{l} [k r + δ_{l} (k)], \end{matrix}

即

\begin{matrix} (3) & δ_{l} (k) = \arctan \frac{B}{A} . \end{matrix}

　　要归一化，我们只需令 $C = \sqrt{2 / π}$ 。要证明带有相移的径向波函数满足归一化条件，我们只需证明微小相移不影响归一化积分的结果

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \sin (k r) \sin [k^{'} r + δ^{'} (k) (k^{'} - k)] d r \\ = \int_{0}^{\infty} \sin (k r) \sin (k^{'} r) \cos [δ^{'} (k) d k] d r \\ = \int_{0}^{\infty} \sin (k r) \sin (k^{'} r) d r = \frac{π}{2} δ (k - k^{'}), \end{aligned} \end{matrix}

归一化以后，我们就得到了球面波形式的散射态。

　　我们希望能找到平面波对应的非束缚本征态，即当 $r \to \infty$ 的时候我们仍然希望看到平面波（想象平面水波遇到一个石头，只会产生局部的扰动）。

　　（说明未完成，没时间了，直接上公式吧）

　　边界条件为²

\begin{matrix} (5) & ψ_{k} (r) \to \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} [e^{k \cdot r} + f (\hat{r}) \frac{e^{i k r}}{r}] . \end{matrix}

其中

f (\hat{r})

是一个只与方向有关的函数，叫做散射幅。散射幅的模方就是微分截面

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial σ}{\partial Ω} = \frac{| j_{o u t} (r) | r^{2}}{| j_{i n} (r) |} = {| f (\hat{r}) |}^{2} . \end{matrix}

将各项球谐展开，令

\begin{matrix} (7) & f (\hat{r}) = \sum_{l, m} B_{l, m} Y_{l, m} (\hat{r}) . \end{matrix}

对比每个球谐项的径向波函数得

\begin{matrix} (8) & C_{l, m} \sqrt{\frac{2}{π}} \sin [k r - l π / 2 + δ_{l} (k)] = A_{l, m} \sqrt{\frac{2}{π}} \sin (k r - l π / 2) + B_{l m} \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} e^{i k r} . \end{matrix}

其中

A_{l, m}

是已知的平面波的球谐展开系数（式 3 ），解得另外两个系数为（分别对比

\exp (i k r)

和

\exp (- i k r)

分量的系数）

\begin{matrix} (9) & C_{l, m} = e^{i δ_{l} (k)} A_{l, m} = \frac{i^{l}}{k} e^{i δ_{l} (k)} Y_{l m}^{*} (\hat{k}), \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & B_{l, m} = 4 π \sin δ_{l} (k) e^{- i l π / 2} C_{l, m} . \end{matrix}

1. ^ 我们在第二类贝塞尔函数 $y_{l} (k r)$ 前面加上负号使其渐进式具有 $\cos (k r - l π / 2)$ 的形式
2. ^ 满足该边界条件的波函数貌似也满足归一化条件 $δ (k - k^{'})$ 。

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