含时散射的形式理论

                     

贡献者: addis

  1设不含时哈密顿算符为

\begin{equation} H = H_0 + H' \end{equation}
其中 $H_0$ 不含粒子间的相互作用,只包含动能.

   定义格林函数,也叫传播子 $G^\pm(t)$

\begin{equation} \begin{aligned} & \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} - H_0 \right) G^\pm (t) = \delta(t)\\ & \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} - H \right) \mathscr G^\pm (t) = \delta(t) \end{aligned} \end{equation}
也可以表示为
\begin{equation} \begin{aligned} &G^+(t) = \left\{\begin{aligned} &- \mathrm{i} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H_0 t} \quad &t > 0\\ &0 \quad &t < 0 \end{aligned}\right. \\ &G^-(t) = \left\{\begin{aligned} &0 \quad &t > 0\\ & \mathrm{i} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H_0 t} \quad &t < 0 \end{aligned}\right. \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} &\mathscr G^+(t) = \left\{\begin{aligned} &- \mathrm{i} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t} \quad &t > 0\\ &0 \quad &t < 0 \end{aligned}\right. \\ &\mathscr G^-(t) = \left\{\begin{aligned} &0 \quad &t > 0\\ & \mathrm{i} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t} \quad &t < 0 \end{aligned}\right. \end{aligned} \end{equation}
代入式 2 即可验证.注意 $\delta(t)$ 的由来是 $t=0$ 处的阶梯.

   对 $t > 0$ 有积分方程如

\begin{equation} \mathscr G^+(t) = G^+(t) + \int_0^t G^+(t-t'')H'\mathscr G^+(t'') \,\mathrm{d}{t''} \end{equation}


1. ^ 本文参考 [35] 6.2 以及 [27] 7.11.


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