含时散射的形式理论

贡献者： addis

　　¹设不含时哈密顿算符为

\begin{matrix} (1) & H = H_{0} + H^{'} . \end{matrix}

其中

H_{0}

不含粒子间的相互作用，只包含动能。

　　定义格林函数，也叫传播子 $G^{\pm} (t)$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} (i \frac{\partial}{\partial t} - H_{0}) G^{\pm} (t) = δ (t), \\ (i \frac{\partial}{\partial t} - H) G^{\pm} (t) = δ (t) . \end{aligned} \end{matrix}

也可以表示为

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} G^{+} (t) = {\begin{aligned} - i e^{- i H_{0} t} & t > 0 \\ 0 & t < 0 \end{aligned}, \\ G^{-} (t) = {\begin{aligned} 0 & t > 0 \\ i e^{- i H_{0} t} & t < 0 \end{aligned}, \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} G^{+} (t) = {\begin{aligned} - i e^{- i H t} & t > 0 \\ 0 & t < 0 \end{aligned}, \\ G^{-} (t) = {\begin{aligned} 0 & t > 0 \\ i e^{- i H t} & t < 0 \end{aligned}, \end{aligned} \end{matrix}

代入式 2 即可验证。注意

δ (t)

的由来是

t = 0

处的阶梯。

　　对 $t > 0$ 有积分方程如

\begin{matrix} (5) & G^{+} (t) = G^{+} (t) + \int_{0}^{t} G^{+} (t - t^{″}) H^{'} G^{+} (t^{″}) d t^{″} . \end{matrix}

1. ^ 本文参考 [1] 6.2 以及 [2] 7.11。

[1] ^ Roger G. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, 2ed
[2] ^ J.J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics Revised Edition

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