广义相对论中的对称性和 Killing 矢量场

贡献者： 郭长仲88

　　 一：物理中的对称性

　　 对称性是物理学中的一条基本定律，物理学中对它的通俗解释是：如果一个物理定律在某些操作下保持不变，我们就说这个物理定律在这些操作下具有某种不变性，也即对称性。在经典力学中，关于对称性有一条著名的诺特定理：如果一个系统具有某种连续对称性，则该系统存在一个相应的守恒荷，即守恒律。例如：若一个系统存在平移不变对称性，该系统的能量守恒;若系统存在旋转对称不变性，对应的该系统角动量守恒。在场论中，我们可以以两种视角理解对称性：系统的运动方程不变和作用量保持不变。场论中将对称性分为两类：一种是时空对称性，时空坐标在变换时相应的场也在变，如庞加莱变换；另一种是内禀对称性，时空坐标不变，但场在变，如 $U_{(1)}$ 相位对称性。在广义相对论中，时空几何存在一种重要的对称性，其中 Killing 矢量场刚好描述这种时空对称性，每一个 Killing 矢量场确定度规的一个对称变换，对应地存在一个守恒荷。本文将慢慢引入 Killing 矢量场的物理意义，推导 Killing 方程并且介绍它在广义相对论史瓦西度规中的具体应用。

　　 二：Lie 导数和 Lie 括号

　　 广义相对论的数学基础是微分几何和微分流形，所谓的流形就是可用 ${\mathbb{R}}^n$ 即 n 维欧式空间 “粘” 出来的空间，它局部像 ${\mathbb{R}}^n$。研究广义相对论要基于微分几何的数学语言，其中 Lie 导数是微分几何的一种结构，描述时空对称性的 Killing 矢量场的数学语言是基于李导数而来的。什么是李导数，李导数和 Killing 矢量场之间有什么关联，下面将对其作仔细介绍。

　　 1：Lie 导数定义

　　 给定某矢量场 ${\zeta }^{\mu }(x)$，其中 $ϵ$ 是个无穷小量，${\zeta }^{\mu }(x)$ 是该矢量场 $\overrightarrow{\zeta }$ 在 x 方向的分量大小。在两点间建立一种映射关系：${\zeta }^{\mu }(x):x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+ϵ{\zeta }^{\mu }$，其中 $\delta x^{\mu }=ϵ{\zeta }^{\mu }$，$\frac{d{x}^{\mu }}{ϵ}={\zeta }^{\mu }$。在流形任意张量场 $T(x)$ 建立一种导数如下所示：

　　 2：标量场 Lie 导数

　　 对于一个标量场 f,其中 $f(x\to x^{\prime })=f(x)$。标量场 f 沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数为： $$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{\zeta }f& =\underset{ϵ\to 0}{lim}\frac{f(x^{\prime })-f(x\to x^{\prime })}{ϵ}=\underset{ϵ\to 0}{lim}\frac{f(x^{\prime })-f(x)}{ϵ}\\ & =\underset{ϵ\to 0}{lim}\frac{{\partial }_{\mu }fd{x}^{\mu }}{ϵ}={\zeta }^{\mu }{\partial }_{\mu }f\\ & =\zeta (f)={\mathrm{\nabla }}_{\zeta }f,\end{array}$$ 可以得出：标量场的李导数等于其沿 ${\zeta }^{\mu }$ 方向的协变导数。

　　 3：切矢量场的 Lie 导数

　　 对于切矢量场 $A^{\mu }(x)$,其中 $A^{\mu }(x)$ 是矢量场 $\overrightarrow{A(x)}$ 在 x 方向的分量大小： $$\begin{array}{rl}& A_{(x)}^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\\ & A^{\mu }(x\to x^{\prime })=\frac{d{x}^{\prime \mu }}{d\lambda }=\frac{d(x^{\mu }+ϵ{\zeta }^{\mu })}{d\lambda }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }+ϵ\frac{d{\zeta }^{\mu }}{d\lambda }\\ & =A^{\mu }(x)+ϵ\frac{d{x}^{\nu }}{d\lambda }\cdot \frac{d{\zeta }^{\mu }}{d{x}^{\nu }}=A_{(x)}^{\mu }+ϵA_{(x)}^{\nu }{\partial }_{\nu }{\zeta }^{\mu }.\end{array}$$ 沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数为： $$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{\zeta }{A}^{\mu }& =\underset{ϵ\to 0}{lim}\frac{A^{\mu }(x^{\prime })-A^{\mu }(x\to x^{\prime })}{ϵ}\\ & =\underset{ϵ\to 0}{lim}\frac{A^{\mu }(x^{\prime })-A_{(x)}^{\mu }-ϵA_{(x)}^{\nu }{\partial }_{\nu }{\zeta }^{\mu }}{ϵ}\\ & =\underset{ϵ\to 0}{lim}\frac{{\partial }_{\nu }{A}^{\mu }(x)d{x}^{\nu }}{ϵ}-A^{\nu }(x){\partial }_{\nu }{\zeta }^{\mu }\\ & ={\zeta }^{\nu }{\partial }_{\nu }{A}^{\mu }-A^{\nu }{\partial }_{\nu }{\zeta }^{\mu }.\end{array}$$ 对于一个黎曼流形，它定义的几何条件是无挠性。则沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数为：${\mathcal{L}}_{\zeta }{A}^{\mu }={\zeta }^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{A}^{\mu }-A^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\zeta }^{\mu }$。

　　 4：Lie 括号

　　 对于一个完整矢量，此时 $\overrightarrow{A}=A^{\mu }{\overrightarrow{e}}_{\mu }$。$\overrightarrow{A}$ 则沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数为： $$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{\zeta }\overrightarrow{A}& =\left({\mathcal{L}}_{\zeta }{A}^{\mu }\right){\overrightarrow{e}}_{\mu }\\ & =({\zeta }^{\nu }{\partial }_{\nu }{A}^{\mu }-A^{\nu }{\partial }_{\nu }{\zeta }^{\mu }){\overrightarrow{e}}_{\mu }=\overrightarrow{\zeta }\overrightarrow{A}-\overrightarrow{A}\overrightarrow{\zeta }\\ & ={\zeta }^{\mu }{\partial }_{{\overrightarrow{e}}_{\mu }}\overrightarrow{A}-A^{\mu }{\partial }_{{\overrightarrow{e}}_{\mu }}\overrightarrow{\zeta }\\ & ={\partial }_{\overrightarrow{\zeta }}\overrightarrow{A}-{\partial }_{\overrightarrow{A}}\overrightarrow{\zeta }:=[\zeta ,A].\end{array}$$ 上式中引入的括号为李括号，同理，在无挠率的黎曼流形下，$\overrightarrow{A}$ 则沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数为：${\mathcal{L}}_{\zeta }\overrightarrow{A}={\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{\zeta }}\overrightarrow{A}-{\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{A}}\overrightarrow{\zeta }$。

　　 5：任意阶张量的 Lie 导数

　　 $A^{\mu }$ 是矢量场 $\overrightarrow{A}$ 的分量大小，$B_{\mu }$ 是矢量场 $\overrightarrow{B}$ 的分量大小，两个矢量场分量的缩并 $A^{\mu }{B}_{\mu }$ 为一个标量。根据莱布尼茨法则，$A^{\mu }{B}_{\mu }$ 沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数为： $$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{\zeta }\left(A^{\mu }{B}_{\mu }\right)& ={\zeta }^{\nu }{\partial }_{\nu }\left(A^{\mu }{B}_{\mu }\right)\\ & ={\zeta }^{\nu }({\partial }_{\nu }{A}^{\mu })B_{\mu }+{\zeta }^{\nu }{A}^{\mu }{\partial }_{\nu }{B}_{\mu }\\ & =({\mathcal{L}}_{\zeta }{A}^{\mu })B_{\mu }+A^{\mu }{\mathcal{L}}_{\zeta }{B}_{\mu }\\ & ={\zeta }^{\nu }{\partial }_{\nu }{A}^{\mu }{B}_{\mu }-A^{\nu }{\partial }_{\nu }{\zeta }^{\mu }{B}_{\mu }+A^{\mu }{\mathcal{L}}_{\zeta }{B}_{\mu }.\end{array}$$ 求得出在无挠率的黎曼流形下协变矢量的李导数为： $$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{\zeta }{B}_{\mu }& ={\zeta }^{\nu }{\partial }_{\nu }{B}_{\mu }+({\partial }_{\mu }{\zeta }^{\nu })B_{\nu }\\ & ={\zeta }^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{B}_{\mu }+({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\zeta }^{\nu })B_{\nu }.\end{array}$$ 对比切矢量场 $A^{\mu }$ 沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数和切矢量场 $B_{\mu }$ 沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数可得：对于任意阶张量沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数，可写成如下形式： $$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{\zeta }{A}_{\nu }^{\mu }& ={\zeta }^{\rho }{\partial }_{\rho }{A}_{\nu }^{\mu }-A_{\nu }^{\rho }{\partial }_{\rho }{\zeta }^{\mu }+A_{\rho }^{\mu }{\partial }_{\nu }{\zeta }^{\rho }\\ & ={\zeta }^{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{A}_{\nu }^{\mu }-A_{\nu }^{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{\zeta }^{\mu }+A_{\rho }^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\zeta }^{\rho }.\end{array}$$

　　 6：度规场的 Lie 导数

　　 度规 $g_{\mu \nu }$ 是个二阶张量，利用黎曼流形度规兼容性 ${\mathrm{\nabla }}_{\rho }{g}_{\mu \nu }=0$ 性质和以上任意阶张量的 Lie 导数等式，可求得度规张量场 $g_{\mu \nu }$ 沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数： $$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{\zeta }{g}_{\mu \nu }& ={\zeta }^{\rho }{\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu }+g_{\rho \nu }{\partial }_{\mu }{\zeta }^{\rho }+g_{\mu \rho }{\partial }_{\nu }{\zeta }^{\rho }\\ & ={\zeta }^{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{g}_{\mu \nu }+g_{\rho \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\zeta }^{\rho }+g_{\mu \rho }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\zeta }^{\rho }\\ & ={\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\zeta }_{\nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\zeta }_{\mu }.\end{array}$$

　　 三：Killing 矢量场和 Killing 等式

　　 1：Killing 矢量场

　　 如果矢量场 $\zeta$ 恰好为局域坐标的某个基矢，这时 $\zeta ={\partial }_{\rho }={\delta }_{\rho }^{\mu }{\partial }_{\mu }$，${\zeta }^{\mu }={\delta }_{\rho }^{\mu }$，度规张量场 $g_{\mu \nu }$ 沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数变为：${\mathcal{L}}_{\zeta }{g}_{\mu \nu }={\mathcal{L}}_{{\partial }_{\rho }}{g}_{\mu \nu }={\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu }$。若度规张量场 $g_{\mu \nu }$ 沿矢量场 ${\zeta }^{\mu }$ 的李导数为 0，即 ${\mathcal{L}}_{\zeta }{g}_{\mu \nu }=0$，这时称 $\zeta$ 为 Killing 矢量场。容易看出，Killing 矢量场本质上是个保度规场。

　　 2:时空的对称性和 Killing 方程

　　 对于闵式时空，其度规为常数。时空线元 $$\begin{array}{r}d{s}^2={\eta }_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }=-\mathrm{d}{t}^2+\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2.\end{array}$$ 对其坐标作平移变换 $x^{\mu }\to x^{\mu }+a^{\mu }$ 和洛伦兹变换 $x^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }$，会发现时空间隔 $d{s}^2$ 不变，闵式时空有个庞加莱对称性。庞加莱变换是一种等度规变换，它具有保度规性质。闵式时空对应的庞加莱群一共有十个生成元，4 个平移生成元，3 个转动生成元，3 个 boost 生成元，每个生成元对应相应的守恒量。由于 Killing 矢量场本质上是个保度规场，平坦时空的庞加莱变换是等度规变换，那么庞加莱群对应的每个群生成元对应一个 Killing 矢量。<br> 对于广义的弯曲时空，其时空线元 $d{s}^2=g_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }$。若在 ${\sigma }_{\ast }$ 矢量场上 ${\partial }_{{\sigma }_{\ast }}{g}_{\mu \nu }=0$，那么该时空在该坐标变换下 $x^{{\sigma }_{\ast }}\to x^{{\sigma }_{\ast }}+a^{{\sigma }_{\ast }}$ 有个对称性。很明显史瓦西时空具有该对称性，选定该对称性的时空为背景。引力是一种弯曲时空的几何效应，测试粒子在弯曲时空背景下沿测地线运动。测地线方程为 $p^{\lambda }{\mathrm{\nabla }}_{\lambda }{p}^{\mu }=0$ 和 $p^{\lambda }{\mathrm{\nabla }}_{\lambda }{p}_{\mu }=0$，对方程进行分解得 $p^{\lambda }{\partial }_{\lambda }{p}_{\mu }-{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \mu }^{\sigma }{p}^{\lambda }{p}_{\sigma }=0$。其中$$\begin{array}{r}{p}^{\lambda }{\partial }_{\lambda }{p}_{\mu }=m\frac{d{x}^{\lambda }}{d\tau }{\partial }_{\lambda }{p}_{\mu }=m\frac{d{p}_{\mu }}{d\tau }\end{array},$$ $$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \mu }^{\sigma }{p}^{\lambda }{p}_{\sigma }& =\frac{1}{2}{g}^{\sigma \nu }({\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{g}_{\nu \lambda }-{\partial }_{\nu }{g}_{\lambda \mu })p^{\lambda }{p}_{\sigma }\\ & =\frac{1}{2}({\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{g}_{v\lambda }-{\partial }_{\nu }{g}_{\lambda \mu })p^{\lambda }{p}^{\nu }\\ & =\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{g}_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }{p}^{\nu },\end{array}$$ 可以得出 $m\frac{d{p}_{\mu }}{d\tau }=\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{g}_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }{p}^{\nu }$。若 ${\partial }_{{\sigma }_{\ast }}{g}_{\mu \nu }=0$，很明显 $g_{\mu \nu }$ 与 $x^{{\sigma }_{\ast }}$ 无关，在 $x^{{\sigma }_{\ast }}$ 方向上四维动量 p 守恒，即 $\frac{d{p}_{{\sigma }_{\ast }}}{d\tau }=0$。根据以上 Killing 矢量场的定义，若 ${\partial }_{{\sigma }_{\ast }}{g}_{\mu \nu }=0$，则 $K={\partial }_{{\sigma }_{\ast }}$ 是个沿 $x^{{\sigma }_{\ast }}$ 方向上的 Killing 矢量场，即沿 Killing 矢量场方向四维动量 p 守恒。<br> $K^{\mu }=({\partial }_{{\sigma }_{\ast }}{)}^{\mu }={\delta }_{{\sigma }_{\ast }}^{\mu }$,$p_{{\sigma }_{\ast }}=K^{\mu }{p}_{\mu }=K_{\mu }{p}^{\mu }$。由于 $\frac{d{p}_{{\sigma }_{\ast }}}{d\tau }=0$，再根据测试粒子测地线方程可得：$p^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{p}_{{\sigma }_{\ast }}=p^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }(K_{\nu }{p}^{\nu })=0$。根据莱布尼茨法则对 $p^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }(K_{\nu }{p}^{\nu })$ 进行展开得； $$\begin{array}{r}{p}^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }(K_{\nu }{p}^{\nu })=K_{\nu }{p}^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{p}^{\nu }+p^{\mu }{p}^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{K}_{\nu }\\ =p^{\mu }{p}^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{K}_{\nu }=p^{\mu }{p}^{\nu }\mathrm{\nabla }{(}_{\mu }{K}_{\nu })=0.\end{array}$$ 上式的第三项中利用了测地线方程 $p^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{p}^{\nu }=0$，最后一项 $p^{\mu }{p}^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{K}_{\nu }=p^{\mu }{p}^{\nu }\mathrm{\nabla }{(}_{\mu }{K}_{\nu })$ 利用了 $p^{\mu }{p}^{\nu }$ 的对称性质。最后求得出 $\mathrm{\nabla }{(}_{\mu }{K}_{\nu })=0$,即 Killing 等式。

　　 四：Killing 矢量场在史瓦西对称时空中的应用

　　 史瓦西度规描述的是一个静态，球对称的史瓦西时空，其表达式为： $$d{s}^2=-(1-\frac{2GM}{r})\mathrm{d}{t}^2+{(1-\frac{2GM}{r})}^{-1}\mathrm{d}{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2,$$其中$$d{\mathrm{\Omega }}^2=\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2.$$ 容易发现其度规 ${\partial }_t{g}_{tt}=0$,${\partial }_{\varphi }{g}_{\varphi \varphi }=0$。根据 Killing 矢量场本质上是个保度规场定义，可知史瓦西时空有两个 Killing 矢量场：一个是沿时间轴方向的 ${\partial }_t$，另一个是沿转动轴方向的 ${\partial }_{\varphi }$。Killing 矢量场：$K={\partial }_t$,其坐标分量 $K^{\mu }={\left({\partial }_t\right)}^{\mu }=(1,0,0,0)$;$R={\partial }_{\varphi }$,其坐标分量 $R^{\mu }={\left({\partial }_{\varphi }\right)}^{\mu }=(0,0,0,1)$。$K_{\mu }=g_{\mu \nu }{K}^{\nu }=(-1+\frac{2GM}{r},0,0,0)$，$R_{\mu }=g_{\mu \nu }{R}^{\nu }=(0,0,0,r^2{\sin }^2\theta )$。每个 Killing 矢量场对应一个守恒量，沿时间轴方向的 Killing 矢量场对应该时空背景下的能量守恒，沿转动轴方向的 Killing 矢量场对应史瓦西时空背景下的角动量守恒。沿时间方向的守恒量 $P_t=K_{\mu }{P}^{\mu }=-E$,系统能量：$$E=-K_{\mu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }=(1-\frac{2GM}{r})\frac{dt}{d\lambda }.$$ 沿转动轴方向的守恒量 $P_{\varphi }=R_{\mu }{P}^{\mu }=L$,系统角动量：$$L=R_{\mu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }=r^2\frac{d\varphi }{d\lambda }.$$ 测试粒子在史瓦西背景下运动，其能量和角动量守恒。

　　 参考资料：

　　 1：Spacetime and Geometry 作者：Sean Carroll

　　 2：General Relativity 作者：Robert M. Wald

　　 3：微分几何入门与广义相对论 作者：梁灿彬