广义相对论中的对称性和 Killing 矢量场

贡献者： 郭长仲88

　　 一：物理中的对称性

　　 对称性是物理学中的一条基本定律，物理学中对它的通俗解释是：如果一个物理定律在某些操作下保持不变，我们就说这个物理定律在这些操作下具有某种不变性，也即对称性。在经典力学中，关于对称性有一条著名的诺特定理：如果一个系统具有某种连续对称性，则该系统存在一个相应的守恒荷，即守恒律。例如：若一个系统存在平移不变对称性，该系统的能量守恒;若系统存在旋转对称不变性，对应的该系统角动量守恒。在场论中，我们可以以两种视角理解对称性：系统的运动方程不变和作用量保持不变。场论中将对称性分为两类：一种是时空对称性，时空坐标在变换时相应的场也在变，如庞加莱变换；另一种是内禀对称性，时空坐标不变，但场在变，如 $U_{(1)}$ 相位对称性。在广义相对论中，时空几何存在一种重要的对称性，其中 Killing 矢量场刚好描述这种时空对称性，每一个 Killing 矢量场确定度规的一个对称变换，对应地存在一个守恒荷。本文将慢慢引入 Killing 矢量场的物理意义，推导 Killing 方程并且介绍它在广义相对论史瓦西度规中的具体应用。

　　 二：Lie 导数和 Lie 括号

　　 广义相对论的数学基础是微分几何和微分流形，所谓的流形就是可用 $\mathbb{R}^{n}$ 即 n 维欧式空间 “粘” 出来的空间，它局部像 $\mathbb{R}^{n}$。研究广义相对论要基于微分几何的数学语言，其中 Lie 导数是微分几何的一种结构，描述时空对称性的 Killing 矢量场的数学语言是基于李导数而来的。什么是李导数，李导数和 Killing 矢量场之间有什么关联，下面将对其作仔细介绍。

　　 1：Lie 导数定义

　　 给定某矢量场 $\zeta^{\mu}(x)$，其中 $\epsilon$ 是个无穷小量，$\zeta^{\mu}(x)$ 是该矢量场 $\overrightarrow{\zeta}$ 在 x 方向的分量大小。在两点间建立一种映射关系：$\zeta^{\mu}(x):x^{\mu}\rightarrow x'^{\mu}=x^{\mu}+\epsilon\zeta^{\mu}$，其中 $\delta x^{\mu}=\epsilon\zeta^{\mu}$，$\frac{d x^{\mu}}{\epsilon}=\zeta^{\mu}$。在流形任意张量场 $T(x)$ 建立一种导数如下所示：

　　 2：标量场 Lie 导数

　　 对于一个标量场 f,其中 $f(x\rightarrow x')=f(x)$。标量场 f 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为： $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} f &=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(x')-f(x \rightarrow x')}{\epsilon}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(x')-f(x)}{\epsilon} \\ &=\lim _{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\partial_{\mu} fd x^{\mu}}{\epsilon}=\zeta^{\mu}\partial_{\mu}f \\ &=\zeta(f)=\nabla_{\zeta}f~, \end{aligned}$$ 可以得出：标量场的李导数等于其沿 $\zeta^{\mu}$ 方向的协变导数。

　　 3：切矢量场的 Lie 导数

　　 对于切矢量场 $A^{\mu}(x)$,其中 $A^{\mu}(x)$ 是矢量场 $\overrightarrow{A(x)}$ 在 x 方向的分量大小： $$\begin{aligned} &A^{\mu}_{(x)}=\frac{d x^{\mu}}{d \lambda}\\ &A^{\mu}\left(x \rightarrow x^{\prime}\right)=\frac{d x^{\prime \mu}}{d \lambda}=\frac{d\left(x^{\mu}+\epsilon \zeta^{\mu}\right)}{d \lambda}=\frac{d x^{\mu}}{d \lambda}+\epsilon\frac{d \zeta^{\mu}}{d \lambda} \\ &=A^{\mu}(x)+\epsilon \frac{d x^{\nu}}{d \lambda} \cdot \frac{d \zeta^{\mu}}{dx^{\nu}} =A^{\mu}_{(x)}+\epsilon A_{(x)}^{\nu}\partial_{\nu}\zeta^{\mu}~. \end{aligned}$$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为： $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} A^{\mu} &=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{A^{\mu}(x')-A^{\mu}(x \rightarrow x')}{\epsilon} \\ &=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{A^{\mu}(x')-A^{\mu}_{(x)}-\epsilon A_{(x)}^{\nu}\partial_{\nu}\zeta^{\mu}}{\epsilon} \\ &=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\partial_{\nu} A^{\mu}(x) d x^{\nu}}{\epsilon}-A^{\nu}(x) \partial_{\nu} \zeta^{\mu} \\ &=\zeta^{\nu} \partial_{\nu} A^{\mu}-A^{\nu} \partial_{\nu} \zeta^{\mu}~. \end{aligned}$$ 对于一个黎曼流形，它定义的几何条件是无挠性。则沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为：$\mathcal{L}_{\zeta} A^{\mu}=\zeta^{\nu} \nabla_{\nu} A^{\mu}-A^{\nu} \nabla_{\nu} \zeta^{\mu}$。

　　 4：Lie 括号

　　 对于一个完整矢量，此时 $\overrightarrow{A}=A^{\mu}\overrightarrow{e}_{\mu}$。$\overrightarrow{A}$ 则沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为： $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} \overrightarrow{A} &=\left(\mathcal{L}_{\zeta} A^{\mu}\right)\overrightarrow{e}_{\mu} \\ &=\left(\zeta^{\nu} \partial_{\nu} A^{\mu}-A^{\nu} \partial_{\nu} \zeta^{\mu}\right) \overrightarrow{e}_{\mu} =\overrightarrow{\zeta} \overrightarrow{A}-\overrightarrow{A} \overrightarrow{\zeta} \\ &=\zeta^{\mu} \partial_{\overrightarrow{e}_{\mu}} \overrightarrow{A}-A^{\mu} \partial_{\overrightarrow{e}_{\mu}} \overrightarrow{\zeta}\\ &=\partial_{\overrightarrow{\zeta}} \overrightarrow{A}-\partial_{\overrightarrow{A}} \overrightarrow{\zeta}:=[\zeta, A]~. \end{aligned}$$ 上式中引入的括号为李括号，同理，在无挠率的黎曼流形下，$\overrightarrow{A}$ 则沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为：$\mathcal{L}_{\zeta} \overrightarrow{A}=\nabla_{\overrightarrow{\zeta}} \overrightarrow{A}-\nabla_{\overrightarrow{A}} \overrightarrow{\zeta}$。

　　 5：任意阶张量的 Lie 导数

　　 $A^{\mu}$ 是矢量场 $\overrightarrow{A}$ 的分量大小，$B_{\mu}$ 是矢量场 $\overrightarrow{B}$ 的分量大小，两个矢量场分量的缩并 $A^{\mu}B_{\mu}$ 为一个标量。根据莱布尼茨法则，$A^{\mu}B_{\mu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为： $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta}\left(A^{\mu} B_{\mu}\right) &=\zeta^{\nu} \partial_{\nu}\left(A^{\mu} B_{\mu}\right) \\ &=\zeta^{\nu} (\partial_{\nu} A^{\mu}) B_{\mu}+\zeta^{\nu} A^{\mu} \partial_{\nu} B_{\mu} \\ &=(\mathcal{L}_{\zeta} A^{\mu}) B_{\mu}+A^{\mu} \mathcal{L}_{\zeta} B_{\mu} \\ &=\zeta^{\nu} \partial_{\nu} A^{\mu} B_{\mu}-A^{\nu} \partial_{\nu} \zeta^{\mu} B_{\mu}+A^{\mu} \mathcal{L}_{\zeta} B_{\mu }~. \end{aligned}$$ 求得出在无挠率的黎曼流形下协变矢量的李导数为： $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} B_{\mu} &=\zeta^{\nu} \partial_{\nu} B_{\mu}+(\partial_{\mu} \zeta^{\nu}) B_{\nu} \\ &=\zeta^{\nu} \nabla_{\nu} B_{\mu}+(\nabla_{\mu} \zeta^{\nu}) B_{\nu}~. \end{aligned}$$ 对比切矢量场 $A^{\mu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数和切矢量场 $B_{\mu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数可得：对于任意阶张量沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数，可写成如下形式： $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} A_{\nu}^{\mu} &=\zeta^{\rho} \partial_{\rho} A_{\nu}^{\mu}-A_{\nu}^{\rho} \partial_{\rho} \zeta^{\mu}+A_{\rho}^{\mu} \partial_{\nu} \zeta^{\rho} \\ &=\zeta^{\rho} \nabla_{\rho} A_{\nu}^{\mu}-A_{\nu}^{\rho} \nabla_{\rho} \zeta^{\mu}+A_{\rho}^{\mu} \nabla_{\nu} \zeta^{\rho}~. \end{aligned}$$

　　 6：度规场的 Lie 导数

　　 度规 $g_{\mu \nu}$ 是个二阶张量，利用黎曼流形度规兼容性 $\nabla_{\rho} g_{\mu \nu}=0$ 性质和以上任意阶张量的 Lie 导数等式，可求得度规张量场 $g_{\mu \nu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数： $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} g_{\mu \nu} &=\zeta^{\rho} \partial_{\rho} g_{\mu \nu}+g_{\rho \nu} \partial_{\mu} \zeta^{\rho}+g_{\mu \rho} \partial_{\nu} \zeta^{\rho} \\ &=\zeta^{\rho} \nabla_{\rho} g_{\mu \nu}+g_{\rho \nu} \nabla_{\mu} \zeta^{\rho}+g_{\mu \rho} \nabla_{\nu} \zeta^{\rho} \\ &=\nabla_{\mu} \zeta_{\nu}+\nabla_{\nu} \zeta_{\mu} ~. \end{aligned}$$

　　 三：Killing 矢量场和 Killing 等式

　　 1：Killing 矢量场

　　 如果矢量场 $\zeta$ 恰好为局域坐标的某个基矢，这时 $\zeta=\partial_{\rho}=\delta_{\rho}^{\mu} \partial_{\mu}$，$\zeta^{\mu}=\delta_{\rho}^{\mu}$，度规张量场 $g_{\mu \nu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数变为：$\mathcal{L}_{\zeta} g_{\mu \nu} =\mathcal{L}_{\partial_{\rho}} g_{\mu \nu}=\partial_{\rho} g_{\mu \nu}$。若度规张量场 $g_{\mu \nu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为 0，即 $\mathcal{L}_{\zeta} g_{\mu \nu} =0$，这时称 $\zeta$ 为 Killing 矢量场。容易看出，Killing 矢量场本质上是个保度规场。

　　 2:时空的对称性和 Killing 方程

　　 对于闵式时空，其度规为常数。时空线元 $$\begin{aligned} d s^{2}=\eta_{\mu \nu} \mathrm{d} x^{\mu} \mathrm{d} x^{\nu}=-\mathrm{d} t^{2}+\mathrm{d} x^{2}+\mathrm{d} y^{2}+\mathrm{d} z^{2}~. \end{aligned}$$ 对其坐标作平移变换 $x^{\mu}\rightarrow x^{\mu}+a^{\mu}$ 和洛伦兹变换 $x^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu} x^{\nu}$，会发现时空间隔 $d s^{2}$ 不变，闵式时空有个庞加莱对称性。庞加莱变换是一种等度规变换，它具有保度规性质。闵式时空对应的庞加莱群一共有十个生成元，4 个平移生成元，3 个转动生成元，3 个 boost 生成元，每个生成元对应相应的守恒量。由于 Killing 矢量场本质上是个保度规场，平坦时空的庞加莱变换是等度规变换，那么庞加莱群对应的每个群生成元对应一个 Killing 矢量。<br> 对于广义的弯曲时空，其时空线元 $d s^{2}=g_{\mu \nu} \mathrm{d} x^{\mu} \mathrm{d} x^{\nu}$。若在 $\sigma_{*}$ 矢量场上 $\partial_{\sigma_{*}} g_{\mu \nu}=0$，那么该时空在该坐标变换下 $x^{\sigma_{*}} \rightarrow x^{\sigma_{*}}+a^{\sigma_{*}}$ 有个对称性。很明显史瓦西时空具有该对称性，选定该对称性的时空为背景。引力是一种弯曲时空的几何效应，测试粒子在弯曲时空背景下沿测地线运动。测地线方程为 $p^{\lambda} \nabla_{\lambda} p^{\mu}=0$ 和 $p^{\lambda} \nabla_{\lambda} p_{\mu}=0$，对方程进行分解得 $p^{\lambda} \partial_{\lambda} p_{\mu}-\Gamma_{\lambda \mu}^{\sigma} p^{\lambda} p_{\sigma}=0$。其中$$\begin{aligned} p^{\lambda} \partial_{\lambda} p_{\mu}=m \frac{d x^{\lambda}}{d \tau} \partial_{\lambda} p_{\mu}=m \frac{d p_{\mu}}{d \tau}\end{aligned}~,$$ $$\begin{aligned} \Gamma_{\lambda \mu}^{\sigma} p^{\lambda} p_{\sigma} &=\frac{1}{2} g^{\sigma \nu}\left(\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}+\partial_{\mu} g_{\nu\lambda}-\partial_{\nu} g_{\lambda \mu}\right) p^{\lambda} p_{\sigma} \\ &=\frac{1}{2}\left(\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}+\partial_{\mu} g_{v \lambda}-\partial_{\nu} g_{\lambda \mu}\right) p^{\lambda} p^{\nu} \\ &=\frac{1}{2}\left(\partial_{\mu} g_{\nu \lambda}\right) p^{\lambda} p^{\nu}~, \end{aligned}$$ 可以得出 $m\frac{d p_{\mu}}{d \tau}=\frac{1}{2}\left(\partial_{\mu} g_{\nu \lambda}\right) p^{\lambda} p^{\nu}$。若 $\partial_{\sigma_{*}} g_{\mu \nu}=0$，很明显 $g_{\mu \nu}$ 与 $x^{\sigma_{*}}$ 无关，在 $x^{\sigma_{*}}$ 方向上四维动量 p 守恒，即 $\frac{d p_{\sigma_{*}}}{d \tau}=0$。根据以上 Killing 矢量场的定义，若 $\partial_{\sigma_{*}} g_{\mu \nu}=0$，则 $K=\partial_{\sigma_{*}}$ 是个沿 $x^{\sigma_{*}}$ 方向上的 Killing 矢量场，即沿 Killing 矢量场方向四维动量 p 守恒。<br> $K^{\mu}=(\partial_{\sigma_{*}})^{\mu}=\delta_{\sigma_{*}}^{\mu}$,$p_{\sigma_{*}}=K^{\mu}p_{\mu}=K_{\mu}p^{\mu}$。由于 $\frac{d p_{\sigma_{*}}}{d \tau}=0$，再根据测试粒子测地线方程可得：$p^{\mu} \nabla_{\mu} p_{\sigma_{*}}=p^{\mu} \nabla_{\mu}(K_{\nu}p^{\nu}) =0$。根据莱布尼茨法则对 $p^{\mu} \nabla_{\mu}(K_{\nu}p^{\nu})$ 进行展开得； $$\begin{aligned} p^{\mu} \nabla_{\mu}(K_{\nu}p^{\nu})=K_{\nu}p^{\mu} \nabla_{\mu}p^{\nu}+p^{\mu} p^{\nu}\nabla_{\mu}K_{\nu}\\ =p^{\mu} p^{\nu}\nabla_{\mu}K_{\nu}=p^{\mu} p^{\nu}\nabla(_{\mu}K_{\nu})=0~. \end{aligned}$$ 上式的第三项中利用了测地线方程 $p^{\mu} \nabla_{\mu}p^{\nu}=0$，最后一项 $p^{\mu} p^{\nu}\nabla_{\mu}K_{\nu}=p^{\mu} p^{\nu}\nabla(_{\mu}K_{\nu})$ 利用了 $p^{\mu} p^{\nu}$ 的对称性质。最后求得出 $\nabla(_{\mu}K_{\nu})=0$,即 Killing 等式。

　　 四：Killing 矢量场在史瓦西对称时空中的应用

　　 史瓦西度规描述的是一个静态，球对称的史瓦西时空，其表达式为： $$d s^{2}=-\left(1-\frac{2 G M}{r}\right) \mathrm{d} t^{2}+\left(1-\frac{2 G M}{r}\right)^{-1} \mathrm{~d} r^{2}+r^{2} d \Omega^{2}~,$$其中$$d \Omega^{2}=\mathrm{d} \theta^{2}+\sin ^{2} \theta \mathrm{d} \phi^{2}~.$$ 容易发现其度规 $\partial_{t} g_{tt}=0$,$\partial_{\phi} g_{\phi\phi}=0$。根据 Killing 矢量场本质上是个保度规场定义，可知史瓦西时空有两个 Killing 矢量场：一个是沿时间轴方向的 $\partial_{t}$，另一个是沿转动轴方向的 $\partial_{\phi}$。Killing 矢量场：$K=\partial_{t}$,其坐标分量 $K^{\mu}=\left(\partial_{t}\right)^{\mu}=(1,0,0,0)$;$R=\partial_{\phi}$,其坐标分量 $R^{\mu}=\left(\partial_{\phi}\right)^{\mu}=(0,0,0,1)$。$K_{\mu}=g_{\mu \nu}K^{\nu}=(-1+\frac{2 G M}{r},0,0,0)$，$R_{\mu}=g_{\mu \nu}R^{\nu}=(0,0,0,r^{2}\sin ^{2} \theta )$。每个 Killing 矢量场对应一个守恒量，沿时间轴方向的 Killing 矢量场对应该时空背景下的能量守恒，沿转动轴方向的 Killing 矢量场对应史瓦西时空背景下的角动量守恒。沿时间方向的守恒量 $P_{t}=K_{\mu}P^{\mu}=-E$,系统能量：$$E=-K_{\mu} \frac{d x^{\mu}}{d \lambda}=\left(1-\frac{2 G M}{r}\right) \frac{d t}{d \lambda~}~.$$ 沿转动轴方向的守恒量 $P_{\phi}=R_{\mu}P^{\mu}=L$,系统角动量：$$L=R_{\mu} \frac{d x^{\mu}}{d \lambda}=r^{2} \frac{d \phi}{d \lambda}~.$$ 测试粒子在史瓦西背景下运动，其能量和角动量守恒。

　　 参考资料：

　　 1：Spacetime and Geometry 作者：Sean Carroll

　　 2：General Relativity 作者：Robert M. Wald

　　 3：微分几何入门与广义相对论 作者：梁灿彬