广义相对论中的对称性和 Killing 矢量场

                     

贡献者: 郭长仲88; addis

   一:物理中的对称性

   对称性是物理学中的一条基本定律,物理学中对它的通俗解释是:如果一个物理定律在某些操作下保持不变,我们就说这个物理定律在这些操作下具有某种不变性,也即对称性.在经典力学中,关于对称性有一条著名的诺特定理:如果一个系统具有某种连续对称性,则该系统存在一个相应的守恒荷,即守恒律.例如:若一个系统存在平移不变对称性,该系统的能量守恒;若系统存在旋转对称不变性,对应的该系统角动量守恒.在场论中,我们可以以两种视角理解对称性:系统的运动方程不变和作用量保持不变.场论中将对称性分为两类:一种是时空对称性,时空坐标在变换时相应的场也在变,如庞加莱变换;另一种是内禀对称性,时空坐标不变,但场在变,如 $U_{(1)}$ 相位对称性.在广义相对论中,时空几何存在一种重要的对称性,其中 Killing 矢量场刚好描述这种时空对称性,每一个 Killing 矢量场确定度规的一个对称变换,对应地存在一个守恒荷.本文将慢慢引入 Killing 矢量场的物理意义,推导 Killing 方程并且介绍它在广义相对论史瓦西度规中的具体应用.

   二:Lie 导数和 Lie 括号

   广义相对论的数学基础是微分几何和微分流形,所谓的流形就是可用 $\mathbb{R}^{n}$ 即 n 维欧式空间 “粘” 出来的空间,它局部像 $\mathbb{R}^{n}$.研究广义相对论要基于微分几何的数学语言,其中 Lie 导数是微分几何的一种结构,描述时空对称性的 Killing 矢量场的数学语言是基于李导数而来的.什么是李导数,李导数和 Killing 矢量场之间有什么关联,下面将对其作仔细介绍.

   1:Lie 导数定义

   给定某矢量场 $\zeta^{\mu}(x)$,其中 $\epsilon$ 是个无穷小量,$\zeta^{\mu}(x)$ 是该矢量场 $\overrightarrow{\zeta}$ 在 x 方向的分量大小.在两点间建立一种映射关系:$\zeta^{\mu}(x):x^{\mu}\rightarrow x'^{\mu}=x^{\mu}+\epsilon\zeta^{\mu}$,其中 $\delta x^{\mu}=\epsilon\zeta^{\mu}$,$\frac{d x^{\mu}}{\epsilon}=\zeta^{\mu}$.在流形任意张量场 $T(x)$ 建立一种导数如下所示:

\begin{equation} \mathcal{L}_{\zeta}T=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{T(x')-T(x\rightarrow x')}{\epsilon}\equiv \frac{\delta T}{\epsilon} \end{equation}
以上为张量场 $T(x)$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数.

   2:标量场 Lie 导数

   对于一个标量场 f,其中 $f(x\rightarrow x')=f(x)$.标量场 f 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为: $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} f &=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(x')-f(x \rightarrow x')}{\epsilon}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(x')-f(x)}{\epsilon} \\ &=\lim _{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\partial_{\mu} fd x^{\mu}}{\epsilon}=\zeta^{\mu}\partial_{\mu}f \\ &=\zeta(f)=\nabla_{\zeta}f \end{aligned}$$ 可以得出:标量场的李导数等于其沿 $\zeta^{\mu}$ 方向的协变导数.

   3:切矢量场的 Lie 导数

   对于切矢量场 $A^{\mu}(x)$,其中 $A^{\mu}(x)$ 是矢量场 $\overrightarrow{A(x)}$ 在 x 方向的分量大小: $$\begin{aligned} &A^{\mu}_{(x)}=\frac{d x^{\mu}}{d \lambda}\\ &A^{\mu}\left(x \rightarrow x^{\prime}\right)=\frac{d x^{\prime \mu}}{d \lambda}=\frac{d\left(x^{\mu}+\epsilon \zeta^{\mu}\right)}{d \lambda}=\frac{d x^{\mu}}{d \lambda}+\epsilon\frac{d \zeta^{\mu}}{d \lambda} \\ &=A^{\mu}(x)+\epsilon \frac{d x^{\nu}}{d \lambda} \cdot \frac{d \zeta^{\mu}}{dx^{\nu}} =A^{\mu}_{(x)}+\epsilon A_{(x)}^{\nu}\partial_{\nu}\zeta^{\mu} \end{aligned}$$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为: $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} A^{\mu} &=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{A^{\mu}(x')-A^{\mu}(x \rightarrow x')}{\epsilon} \\ &=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{A^{\mu}(x')-A^{\mu}_{(x)}-\epsilon A_{(x)}^{\nu}\partial_{\nu}\zeta^{\mu}}{\epsilon} \\ &=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\partial_{\nu} A^{\mu}(x) d x^{\nu}}{\epsilon}-A^{\nu}(x) \partial_{\nu} \zeta^{\mu} \\ &=\zeta^{\nu} \partial_{\nu} A^{\mu}-A^{\nu} \partial_{\nu} \zeta^{\mu} \end{aligned}$$ 对于一个黎曼流形,它定义的几何条件是无挠性.则沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为:$\mathcal{L}_{\zeta} A^{\mu}=\zeta^{\nu} \nabla_{\nu} A^{\mu}-A^{\nu} \nabla_{\nu} \zeta^{\mu}$.

   4:Lie 括号

   对于一个完整矢量,此时 $\overrightarrow{A}=A^{\mu}\overrightarrow{e}_{\mu}$.$\overrightarrow{A}$ 则沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为: $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} \overrightarrow{A} &=\left(\mathcal{L}_{\zeta} A^{\mu}\right)\overrightarrow{e}_{\mu} \\ &=\left(\zeta^{\nu} \partial_{\nu} A^{\mu}-A^{\nu} \partial_{\nu} \zeta^{\mu}\right) \overrightarrow{e}_{\mu} =\overrightarrow{\zeta} \overrightarrow{A}-\overrightarrow{A} \overrightarrow{\zeta} \\ &=\zeta^{\mu} \partial_{\overrightarrow{e}_{\mu}} \overrightarrow{A}-A^{\mu} \partial_{\overrightarrow{e}_{\mu}} \overrightarrow{\zeta}\\ &=\partial_{\overrightarrow{\zeta}} \overrightarrow{A}-\partial_{\overrightarrow{A}} \overrightarrow{\zeta}:=[\zeta, A] \end{aligned}$$ 上式中引入的括号为李括号,同理,在无挠率的黎曼流形下,$\overrightarrow{A}$ 则沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为:$\mathcal{L}_{\zeta} \overrightarrow{A}=\nabla_{\overrightarrow{\zeta}} \overrightarrow{A}-\nabla_{\overrightarrow{A}} \overrightarrow{\zeta}$.

   5:任意阶张量的 Lie 导数

   $A^{\mu}$ 是矢量场 $\overrightarrow{A}$ 的分量大小,$B_{\mu}$ 是矢量场 $\overrightarrow{B}$ 的分量大小,两个矢量场分量的缩并 $A^{\mu}B_{\mu}$ 为一个标量.根据莱布尼茨法则,$A^{\mu}B_{\mu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为: $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta}\left(A^{\mu} B_{\mu}\right) &=\zeta^{\nu} \partial_{\nu}\left(A^{\mu} B_{\mu}\right) \\ &=\zeta^{\nu} (\partial_{\nu} A^{\mu}) B_{\mu}+\zeta^{\nu} A^{\mu} \partial_{\nu} B_{\mu} \\ &=(\mathcal{L}_{\zeta} A^{\mu}) B_{\mu}+A^{\mu} \mathcal{L}_{\zeta} B_{\mu} \\ &=\zeta^{\nu} \partial_{\nu} A^{\mu} B_{\mu}-A^{\nu} \partial_{\nu} \zeta^{\mu} B_{\mu}+A^{\mu} \mathcal{L}_{\zeta} B_{\mu } \end{aligned}$$ 求得出在无挠率的黎曼流形下协变矢量的李导数为: $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} B_{\mu} &=\zeta^{\nu} \partial_{\nu} B_{\mu}+(\partial_{\mu} \zeta^{\nu}) B_{\nu} \\ &=\zeta^{\nu} \nabla_{\nu} B_{\mu}+(\nabla_{\mu} \zeta^{\nu}) B_{\nu} \end{aligned}$$ 对比切矢量场 $A^{\mu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数和切矢量场 $B_{\mu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数可得:对于任意阶张量沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数,可写成如下形式: $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} A_{\nu}^{\mu} &=\zeta^{\rho} \partial_{\rho} A_{\nu}^{\mu}-A_{\nu}^{\rho} \partial_{\rho} \zeta^{\mu}+A_{\rho}^{\mu} \partial_{\nu} \zeta^{\rho} \\ &=\zeta^{\rho} \nabla_{\rho} A_{\nu}^{\mu}-A_{\nu}^{\rho} \nabla_{\rho} \zeta^{\mu}+A_{\rho}^{\mu} \nabla_{\nu} \zeta^{\rho} \end{aligned}$$

   6:度规场的 Lie 导数

   度规 $g_{\mu \nu}$ 是个二阶张量,利用黎曼流形度规兼容性 $\nabla_{\rho} g_{\mu \nu}=0$ 性质和以上任意阶张量的 Lie 导数等式,可求得度规张量场 $g_{\mu \nu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数: $$\begin{aligned} \mathcal{L}_{\zeta} g_{\mu \nu} &=\zeta^{\rho} \partial_{\rho} g_{\mu \nu}+g_{\rho \nu} \partial_{\mu} \zeta^{\rho}+g_{\mu \rho} \partial_{\nu} \zeta^{\rho} \\ &=\zeta^{\rho} \nabla_{\rho} g_{\mu \nu}+g_{\rho \nu} \nabla_{\mu} \zeta^{\rho}+g_{\mu \rho} \nabla_{\nu} \zeta^{\rho} \\ &=\nabla_{\mu} \zeta_{\nu}+\nabla_{\nu} \zeta_{\mu} \end{aligned}$$

   三:Killing 矢量场和 Killing 等式

   1:Killing 矢量场

   如果矢量场 $\zeta$ 恰好为局域坐标的某个基矢,这时 $\zeta=\partial_{\rho}=\delta_{\rho}^{\mu} \partial_{\mu}$,$\zeta^{\mu}=\delta_{\rho}^{\mu}$,度规张量场 $g_{\mu \nu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数变为:$\mathcal{L}_{\zeta} g_{\mu \nu} =\mathcal{L}_{\partial_{\rho}} g_{\mu \nu}=\partial_{\rho} g_{\mu \nu}$.若度规张量场 $g_{\mu \nu}$ 沿矢量场 $\zeta^{\mu}$ 的李导数为 0,即 $\mathcal{L}_{\zeta} g_{\mu \nu} =0$,这时称 $\zeta$ 为 Killing 矢量场.容易看出,Killing 矢量场本质上是个保度规场.

   2:时空的对称性和 Killing 方程

   对于闵式时空,其度规为常数.时空线元 $$\begin{aligned} d s^{2}=\eta_{\mu \nu} \mathrm{d} x^{\mu} \mathrm{d} x^{\nu}=-\mathrm{d} t^{2}+\mathrm{d} x^{2}+\mathrm{d} y^{2}+\mathrm{d} z^{2} \end{aligned}$$ 对其坐标作平移变换 $x^{\mu}\rightarrow x^{\mu}+a^{\mu}$ 和洛伦兹变换 $x^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu} x^{\nu}$,会发现时空间隔 $d s^{2}$ 不变,闵式时空有个庞加莱对称性.庞加莱变换是一种等度规变换,它具有保度规性质.闵式时空对应的庞加莱群一共有十个生成元,4 个平移生成元,3 个转动生成元,3 个 boost 生成元,每个生成元对应相应的守恒量.由于 Killing 矢量场本质上是个保度规场,平坦时空的庞加莱变换是等度规变换,那么庞加莱群对应的每个群生成元对应一个 Killing 矢量.<br> 对于广义的弯曲时空,其时空线元 $d s^{2}=g_{\mu \nu} \mathrm{d} x^{\mu} \mathrm{d} x^{\nu}$.若在 $\sigma_{*}$ 矢量场上 $\partial_{\sigma_{*}} g_{\mu \nu}=0$,那么该时空在该坐标变换下 $x^{\sigma_{*}} \rightarrow x^{\sigma_{*}}+a^{\sigma_{*}}$ 有个对称性.很明显史瓦西时空具有该对称性,选定该对称性的时空为背景.引力是一种弯曲时空的几何效应,测试粒子在弯曲时空背景下沿测地线运动.测地线方程为 $p^{\lambda} \nabla_{\lambda} p^{\mu}=0$ 和 $p^{\lambda} \nabla_{\lambda} p_{\mu}=0$,对方程进行分解得 $p^{\lambda} \partial_{\lambda} p_{\mu}-\Gamma_{\lambda \mu}^{\sigma} p^{\lambda} p_{\sigma}=0$.其中$$\begin{aligned} p^{\lambda} \partial_{\lambda} p_{\mu}=m \frac{d x^{\lambda}}{d \tau} \partial_{\lambda} p_{\mu}=m \frac{d p_{\mu}}{d \tau}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \Gamma_{\lambda \mu}^{\sigma} p^{\lambda} p_{\sigma} &=\frac{1}{2} g^{\sigma \nu}\left(\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}+\partial_{\mu} g_{\nu\lambda}-\partial_{\nu} g_{\lambda \mu}\right) p^{\lambda} p_{\sigma} \\ &=\frac{1}{2}\left(\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}+\partial_{\mu} g_{v \lambda}-\partial_{\nu} g_{\lambda \mu}\right) p^{\lambda} p^{\nu} \\ &=\frac{1}{2}\left(\partial_{\mu} g_{\nu \lambda}\right) p^{\lambda} p^{\nu} \end{aligned}$$ 可以得出 $m\frac{d p_{\mu}}{d \tau}=\frac{1}{2}\left(\partial_{\mu} g_{\nu \lambda}\right) p^{\lambda} p^{\nu}$.若 $\partial_{\sigma_{*}} g_{\mu \nu}=0$,很明显 $g_{\mu \nu}$ 与 $x^{\sigma_{*}}$ 无关,在 $x^{\sigma_{*}}$ 方向上四维动量 p 守恒,即 $\frac{d p_{\sigma_{*}}}{d \tau}=0$.根据以上 Killing 矢量场的定义,若 $\partial_{\sigma_{*}} g_{\mu \nu}=0$,则 $K=\partial_{\sigma_{*}}$ 是个沿 $x^{\sigma_{*}}$ 方向上的 Killing 矢量场,即沿 Killing 矢量场方向四维动量 p 守恒.<br> $K^{\mu}=(\partial_{\sigma_{*}})^{\mu}=\delta_{\sigma_{*}}^{\mu}$,$p_{\sigma_{*}}=K^{\mu}p_{\mu}=K_{\mu}p^{\mu}$.由于 $\frac{d p_{\sigma_{*}}}{d \tau}=0$,再根据测试粒子测地线方程可得:$p^{\mu} \nabla_{\mu} p_{\sigma_{*}}=p^{\mu} \nabla_{\mu}(K_{\nu}p^{\nu}) =0$.根据莱布尼茨法则对 $p^{\mu} \nabla_{\mu}(K_{\nu}p^{\nu})$ 进行展开得; $$\begin{aligned} p^{\mu} \nabla_{\mu}(K_{\nu}p^{\nu})=K_{\nu}p^{\mu} \nabla_{\mu}p^{\nu}+p^{\mu} p^{\nu}\nabla_{\mu}K_{\nu}\\ =p^{\mu} p^{\nu}\nabla_{\mu}K_{\nu}=p^{\mu} p^{\nu}\nabla(_{\mu}K_{\nu})=0 \end{aligned}$$ 上式的第三项中利用了测地线方程 $p^{\mu} \nabla_{\mu}p^{\nu}=0$,最后一项 $p^{\mu} p^{\nu}\nabla_{\mu}K_{\nu}=p^{\mu} p^{\nu}\nabla(_{\mu}K_{\nu})$ 利用了 $p^{\mu} p^{\nu}$ 的对称性质.最后求得出 $\nabla(_{\mu}K_{\nu})=0$,即 Killing 等式.

   四:Killing 矢量场在史瓦西对称时空中的应用

   史瓦西度规描述的是一个静态,球对称的史瓦西时空,其表达式为: $$d s^{2}=-\left(1-\frac{2 G M}{r}\right) \mathrm{d} t^{2}+\left(1-\frac{2 G M}{r}\right)^{-1} \mathrm{~d} r^{2}+r^{2} d \Omega^{2}$$,其中$$d \Omega^{2}=\mathrm{d} \theta^{2}+\sin ^{2} \theta \mathrm{d} \phi^{2}$$ 容易发现其度规 $\partial_{t} g_{tt}=0$,$\partial_{\phi} g_{\phi\phi}=0$.根据 Killing 矢量场本质上是个保度规场定义,可知史瓦西时空有两个 Killing 矢量场:一个是沿时间轴方向的 $\partial_{t}$,另一个是沿转动轴方向的 $\partial_{\phi}$.Killing 矢量场:$K=\partial_{t}$,其坐标分量 $K^{\mu}=\left(\partial_{t}\right)^{\mu}=(1,0,0,0)$;$R=\partial_{\phi}$,其坐标分量 $R^{\mu}=\left(\partial_{\phi}\right)^{\mu}=(0,0,0,1)$.$K_{\mu}=g_{\mu \nu}K^{\nu}=(-1+\frac{2 G M}{r},0,0,0)$,$R_{\mu}=g_{\mu \nu}R^{\nu}=(0,0,0,r^{2}\sin ^{2} \theta )$.每个 Killing 矢量场对应一个守恒量,沿时间轴方向的 Killing 矢量场对应该时空背景下的能量守恒,沿转动轴方向的 Killing 矢量场对应史瓦西时空背景下的角动量守恒.沿时间方向的守恒量 $P_{t}=K_{\mu}P^{\mu}=-E$,系统能量:$$E=-K_{\mu} \frac{d x^{\mu}}{d \lambda}=\left(1-\frac{2 G M}{r}\right) \frac{d t}{d \lambda}$$ 沿转动轴方向的守恒量 $P_{\phi}=R_{\mu}P^{\mu}=L$,系统角动量:$$L=R_{\mu} \frac{d x^{\mu}}{d \lambda}=r^{2} \frac{d \phi}{d \lambda}$$ 测试粒子在史瓦西背景下运动,其能量和角动量守恒.

   参考资料:

   1:Spacetime and Geometry 作者:Sean Carroll

   2:General Relativity 作者:Robert M. Wald

   3:微分几何入门与广义相对论 作者:梁灿彬


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