李群的李代数

贡献者：叶月2_; JierPeter

预备知识　李群，李代数，前推

未完成：需要证明

gl (n, R) \to T_{I} GL (n, R) \to Lie (GL (n, R))

给出同构关系

1. 光滑向量场

未完成：这个话题应该移动到更相关的位置；需新增覆叠映射词条

　　我们先回顾光滑向量场的两条性质。

引理 1　提升映射与向量场的交换性

　　设 $F : M \to N$ 是一个微分同胚，那么对于任意光滑函数 $f \in C^{\infty} (M)$ 和光滑向量场 $X \in X (M)$ ，都有：

\begin{matrix} (1) & (X f) \circ F^{- 1} = F_{*} (X) (f \circ F^{- 1}), \end{matrix}

其中

F_{*} : T M \to T N

是

F

的微分，或称为切映射，前推映射。

　　引理 1 根据 “向量场对光滑函数作用” 的定义就可以证出。

未完成：引用流形上的李括号的定义

引理 2　微分和李括号的交换性

　　设 $F : M \to N$ 是一个微分同胚，那么对于任意光滑向量场 $X, Y \in X (M)$ ，有 $F_{*} ([X, Y]) = [F_{*} (X), F_{*} (Y)]$ 。

　　证明：

　　我们只需要证明 $F_{*} (X Y) (f \circ F^{- 1}) = F_{*} (X) F_{*} (Y) (f \circ F^{- 1})$ 对于任意 $f \in C^{\infty} (M)$ 成立即可。

　　由引理 1 ，

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} F_{*} (X Y) (f \circ F^{- 1}) & = (X Y f) \circ F^{- 1} \\ = F_{*} (X) (Y f \circ F^{- 1}) \\ = F_{*} (X) (F_{*} (Y) (f \circ F^{- 1})) \\ = F_{*} (X) F_{*} (Y) (f \circ F^{- 1}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　证毕。

2. 李群上的左不变向量场

定义 1　左不变向量场

　　给定李群 $G$ ，对于任意 $g \in G$ ，定义映射 $l_{g} : G \to G$ 为左平移映射，即对于任意 $p \in G$ ，都有 $l_{g} (p) = g p$ 。

　　根据李群的定义， $l_{g}$ 是一个光滑映射，因此可以求其微分 $l_{g *} : T G \to T G$ ，该微分把一个 $p \in G$ 处的切向量映射为 $g p$ 处的切向量。

　　如果存在 $G$ 上的切向量场 $X$ ¹，使得对于任意 $g \in G$ ，都有 $l_{g *} (X_{p}) = X_{g p}$ ；换句话说，就是 $l_{g *} (X) = X$ ，那么称 $X$ 为 $G$ 上的一个左不变切向量场（left-invariant tangent vector field）。

　　定义 1 已经直白地说明了，一个左不变向量场 $X$ 唯一地由其在单位元处的取值 $X_{e}$ 决定的，即 $X_{p} = l_{p *} (X_{e})$ 。同时，任意给定 $X_{e}$ ，都能由此生成唯一的左不变向量场 $X$ 。这样，左不变向量场的性质被其在单位元处的取值完全决定，单位元就好像存储了全息信息一样，局部就可以描述整体。

定理 1　

　　左不变切向量场必为光滑向量场。

　　证明：

　　思路是证明 $X$ 在任意图中都是光滑的。考虑左不变场的性质，只需要证明在某一个图中的情况即可，其它图中可以进行类比²。证明的核心是李群中群运算导出光滑映射。

　　考虑李群 $G$ 上的左不变切向量场 $X$ 。由式 1 ， $X$ 完全由 $X_{p}$ 决定。设在某图 $ϕ : G \to R^{n}$ 中， $ϕ^{*} (X)_{ϕ (e)} = \frac{d}{d t} ϕ (c (t))$ ，其中 $c (t)$ 是 $I \to G$ 的光滑映射，且 $c (0) = e$ ，则

\begin{matrix} (3) & ϕ^{*} (X)_{ϕ (p)} = \frac{d}{d t} ϕ (p \cdot c (t)) . \end{matrix}

　　由李群的定义， $p \cdot c (t)$ 是 $G \times I \to G$ 的光滑映射³。不过这一条不重要。

　　 这个才是重要的：把自变量改为 $ϕ (p)$ 和 $t$ ，令 $g (x, y) = x \cdot y$ 为 $G \times G \to G$ 的光滑映射，则⁴

\begin{matrix} (4) & ϕ^{- 1} (ϕ (p)) \cdot ϕ^{- 1} (ϕ (c (t))) = g \circ (ϕ^{- 1} \times c) \end{matrix}

为

R^{n} \times I \to G

的光滑映射。

　　因此， $ϕ (p \cdot c (t)) = ϕ [ϕ^{- 1} (ϕ (p)) \cdot ϕ^{- 1} (ϕ (c (t)))]$ 是 $R^{n} \times I \to R^{n}$ 的光滑映射。

　　因此式 3 是光滑映射的导函数，故是 $R^{n} \times I \to R^{n}$ 的光滑映射。即， $ϕ^{*} (X)$ 是 $R^{n}$ 上的光滑向量场。

　　故 $X$ 是 $ϕ^{- 1} (R^{n})$ 上的光滑向量场，进而 $X$ 是 $G$ 上的光滑向量场。

　　证毕。

　　接下来这条性质是引入李代数的关键。

习题 1　

　　如果 $X, Y$ 是左不变切向量场，那么 $[X, Y] = X Y - Y X$ 也是。

　　利用引理 2 ，取左平移映射为所用的微分同胚，证明这一点。

3. 李群的李代数

　　前两节的结论让我们知道了如下事实：李群 $G$ 上全体左不变切向量场的集合， $L (G)$ ，构成了光滑向量场 $X (G)$ 的一个子线性空间。同时，由于左不变切向量场可以被局部描述，我们可以通过单位元上的切空间 $T_{e} G$ 来描述 $L (G)$ ；换句话说， $T_{e} G$ 和 $L (G)$ 是同构的。

定义 2　李群的李代数

　　令 $X, Y \in L (G)$ 是李群 $G$ 上的两个左不变向量场，任取 $p \in G$ 。定义 $X_{p}, Y_{p} \in T_{p} G$ 的李括号为

\begin{matrix} (5) & [X_{p}, Y_{p}] = [X, Y]_{p} . \end{matrix}

可以代入切场计算得证，这样定义的李括号具有双线性和 Jacobi 结合性。由习题 1 可知，李括号运算对左不变切场是封闭的，因此

T_{p} G

是一个李代数，即李群的李代数。由于左不变切场同构于切空间，且

l_{p}^{*} (X_{q}) = X_{p q}

，因此无论

p

点取何值，都不改变左不变切场之间的李代数关系。一般我们用

Lie (G)

表示李群上全体左不变切场构成的李代数。

定理 2　复李群的复李代数

　　复李群定义 3 的李代数是复李代数。

例 1　矩阵李群的李代数

　　设 $M (n, R)$ 是一个 $R$ 上的 $n$ 阶矩阵李群，同时也可视作一个李代数，李括号由矩阵乘法导出。可以证明其李代数 $g l (n, R)$ 同构于 $Lie G L (n, R)$ 。

\begin{matrix} (6) & g l (n, R) = {X ∣ e^{t X} \in G L (n, R), \forall t \in R} . \end{matrix}

这个李代数可以直接理解为单位元

e

处的切空间。

　　事实上， $e^{t X}$ 可对应由切向量 $X \in T_{e} G L (n, R)$ 生成的左不变切向量场的积分曲线。

常见李群的李代数

　　在物理上，除了一般线性群 $G L (n, R)$ ，我们还经常用到特殊正交群 $S O (n)$ 及特殊酉群 $S U (n)$ 。下面简单推导它们的李代数。

　　由于 $S O (n)$ 是 $G L (n, R)$ 的子流形，因此把李代数视作单位元的切空间时，前者的李代数 $so (n, R)$ ⁵亦是后者 $g l (n, R)$ 的子集。设任意 $X \in so (n, R)$ ，我们有：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} (e^{X})^{T} & = e^{X^{T}} = (e^{X})^{- 1} = e^{- X} \\ , \end{aligned} \end{matrix}

因此

so (n, R)

由n 阶实反对称矩阵构成。对于三维实正交矩阵，常约定李代数的基为

\begin{matrix} (8) & J_{1} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}), J_{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix}), J_{3} = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), \end{matrix}

读者可验证，上述基的线性组合确实能导出所有的 n 阶实反对称矩阵。

{c_{i} (t) = e^{t X_{i}} ∣ t \in R}

为

S O (n)

的光滑曲线，分别代表绕

x, y, z

轴的旋转，

t

为对应的旋转角，这可以通过指数函数的级数展开来验证。比如验证

\begin{matrix} (9) & e^{i J_{3}} = (\begin{matrix} \cos t & - \sin t & 0 \\ \sin t & \cos t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

　　于是，我们可以得到基的李括号关系：

\begin{matrix} (10) & [J_{i}, J_{j}] = ϵ_{i j k} J_{k} . \end{matrix}

　　同样地，我们利用指数映射来观察 $su (n, R)$ 的结构。首先设任意 $Y \in su (n, R)$ ，利用 $S U (n, R)$ 的定义得：

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} (e^{Y})^{†} & = e^{Y^{†}} = e^{- Y} \\ \det e^{Y} & = e^{Tr Y} = 1 \\ . \end{aligned} \end{matrix}

于是

n

阶无迹反厄米矩阵构成

su (n, R)

。以二维为例，无迹反厄米矩阵的一般形式为

\begin{matrix} (12) & (\begin{matrix} a i & b + c i \\ - b + c i & - a i \end{matrix}), \forall a, b, c \in R . \end{matrix}

　　因此， $s u (2, R)$ 的基为

\begin{matrix} (13) & J_{1}^{'} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}), J_{2}^{'} = (\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}), J_{3}^{'} = (\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{matrix}) . \end{matrix}

相应的，我们可以得到李括号关系为

\begin{matrix} (14) & [J_{i}^{'}, J_{j}^{'}] = 2 ϵ_{i j k} J_{k}^{'} . \end{matrix}

为了表示起来更加简洁，重定义李代数的基，使得

S_{i} = 1 / 2 J_{i}^{'}

，可以得到与式 10 相同的李括号关系。

\begin{matrix} (15) & [S_{i}, S_{j}] = ϵ_{i j k} S_{k} . \end{matrix}

　　可见， $S U (2)$ 与 $S O (3)$ 有同构的李代数。

　　在物理上，为了让以上李代数的基有物理意义，通常乘以 $- i$ ，使得结果为厄米矩阵，比如此时式 13 便变为泡利矩阵。同时指数映射为 $e^{i t X}$ 。

4. 诱导的李代数同态

　　如果 $G, H$ 都是李群，且有李群同态关系 $f : G \to H$ ，那么 $f_{*}$ 可以诱导李群上的李代数同态。

定理 3　

　　设 $Lie G = g, Lie H = h$ ，且 $f : G \to H$ 是李群同态。对于任意 $X \in g$ ，都有唯一 $Y \in h$ 与之 $f -$ 关联。进而 $f_{*} : g \to h$ 是李代数同态。

　　 证明：

　　对于任意 $X_{e}$ ，我们有 $Y_{e} = f_{*} X_{e}$ 。利用左平移映射的切映射，延拓 $Y_{e}$ 为左不变切向量场，即定义里的 $Y_{p} = l_{p *} Y_{e}$ 。接下来我们只需证明 $Y$ 确实与 $X$ 有 $f$ 关联即可。

　　由李群同态关系得

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} f (g_{1} g_{2}) & = f (g_{1}) f (g_{2}) \\ f \circ l_{g_{1}} (g_{2}) & = l_{f (g_{1})} \circ f (g_{2}), \end{aligned} \end{matrix}

则

f_{*} \circ l_{g *} = l_{f (g) *} \circ f_{*}

。

　　又因为

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} f_{*} X_{p} & = f_{*} \circ l_{p *} X_{e} \\ = l_{f (p) *} \circ f_{*} X_{e} \\ = Y_{f (p)}, \end{aligned} \end{matrix}

所以

Y

与

X

有

f -

关联。定理的第一部分得证。

　　接下来证明，若任意 $Y_{i}, Y_{j} \in X (H)$ 与任意 $X_{i}, X_{j} \in X (G)$ 分别有 $f$ 关联，即 $f_{*} X_{i} = Y_{i}$ ，则对应李括号也有 $f$ 关联，满足 $f_{*} [X_{i}, X_{j}] = [f_{*} X_{i}, f_{*} X_{j}] = [Y_{i}, Y_{j}]$ 。

　　设 $h \in C^{\infty} (H)$ ，由定理 1 得，

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} (f_{*} [X_{1}, X_{2}]) h & = [X_{1}, X_{2}] (h \circ f) \\ = (X_{1} X_{2} - X_{2} X_{1}) (h \circ f) \\ = X_{1} (Y_{2} h) \circ f - X_{2} (Y_{1} h) \circ f \\ = ([Y_{1}, Y_{2}] h) \circ f . \end{aligned} \end{matrix}

因此，

[X_{i}, X_{j}]

与

[Y_{i}, Y_{j}]

有

f -

关联。代入我们定理中的情况，便是李代数同态关系。定理第二部分得证。

推论 1　

　　设 $G, H$ 都是李群，且存在覆叠同态： $F : G \to H$ ，那么 $F_{*} : Lie G \to Lie H$ 是同构。

例 2　

　　 $su (2) \oplus su (2) ≅ so (4)$

　　由推论 1 和定理 2 可证。

推论 2　

　　同构的李群有同构的李代数。

1. ^ 注意，只要求是切向量场，没有要求连续性，更没有要求光滑性。但是稍后我们会看到，所谓的左不变向量场必然是光滑的。
2. ^ 这是因为如果 $p q = s$ ，那么 $l_{s} = l_{p} l_{q}$ 。这样一来，左不变场的性质可以由任何一点 $p$ 处的值完全确定，从而任何一个图中的情况都可以类比到其它图中。
3. ^ $c$ 是 $I \to G$ 的光滑映射，因此可以构造 $G \times I \to G \times G$ 的光滑映射 $f (x, t) = (x, c (t))$ 。由李群的定义， $g (x, y) = x \cdot y$ 是 $G \times G \to G$ 的光滑映射。这样一来， $p \cdot c (t) = g (f (p, t)) = g \circ f$ 就是光滑映射的复合，因而也光滑。
4. ^ 映射的乘积定义参见定义 8
5. ^ $R$ 表示基的线性组合是实系数，以区别复化的李代数。

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李群的李代数

1. 光滑向量场

引理 1 提升映射与向量场的交换性

引理 2 微分和李括号的交换性

2. 李群上的左不变向量场

定义 1 左不变向量场

定理 1

习题 1

3. 李群的李代数

定义 2 李群的李代数

定理 2 复李群的复李代数

例 1 矩阵李群的李代数

常见李群的李代数

4. 诱导的李代数同态

定理 3

推论 1

例 2

推论 2

引理 1　提升映射与向量场的交换性

引理 2　微分和李括号的交换性

定义 1　左不变向量场

定理 1　

习题 1　

定义 2　李群的李代数

定理 2　复李群的复李代数

例 1　矩阵李群的李代数

定理 3　

推论 1　

例 2　

推论 2　