李群的李代数

                     

贡献者: 叶月2_; JierPeter

预备知识 李群,李代数,前推

  

未完成:需要证明 $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})\to T_I\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})\to\operatorname{Lie}(\operatorname{GL}(n,\mathbb{R}))$ 给出同构关系

1. 光滑向量场

  

未完成:这个话题应该移动到更相关的位置;需新增覆叠映射词条

   我们先回顾光滑向量场的两条性质。

引理 1 提升映射与向量场的交换性

   设 $F:M\to N$ 是一个微分同胚,那么对于任意光滑函数 $f\in C^{\infty}(M)$ 和光滑向量场 $X\in\mathfrak{X}(M)$,都有:

\begin{equation} (Xf)\circ F^{-1}=F_*(X)(f\circ F^{-1})~, \end{equation}
其中 $F_*:TM\to TN$ 是 $F$ 的微分,或称为切映射,前推映射。

   引理 1 根据 “向量场对光滑函数作用” 的定义就可以证出。

  

未完成:引用流形上的李括号的定义

引理 2 微分和李括号的交换性

   设 $F:M\to N$ 是一个微分同胚,那么对于任意光滑向量场 $X, Y\in\mathfrak{X}(M)$,有 $F_*([X, Y])=[F_*(X), F_*(Y)]$。

   证明

   我们只需要证明 $F_*(XY)(f\circ F^{-1})=F_*(X)F_*(Y)(f\circ F^{-1})$ 对于任意 $f\in C^{\infty}(M)$ 成立即可。

   由引理 1

\begin{equation} \begin{aligned} F_*(XY)(f\circ F^{-1})&=(XYf)\circ F^{-1}\\ &=F_*(X)(Yf\circ F^{-1})\\ &=F_*(X)(F_*(Y)(f\circ F^{-1}))\\ &=F_*(X)F_*(Y)(f\circ F^{-1})~. \end{aligned} \end{equation}

   证毕

2. 李群上的左不变向量场

定义 1 左不变向量场

   给定李群 $G$,对于任意 $g\in G$,定义映射 $l_g:G\to G$ 为左平移映射,即对于任意 $p\in G$,都有 $l_g(p)=gp$。

   根据李群的定义,$l_g$ 是一个光滑映射,因此可以求其微分 $l_{g*}:TG\to TG$,该微分把一个 $p\in G$ 处的切向量映射为 $gp$ 处的切向量。

   如果存在 $G$ 上的切向量场 $X$1,使得对于任意$g\in G$,都有 $l_{g*}(X_p)=X_{gp}$;换句话说,就是 $l_{g*}(X)=X$,那么称 $X$ 为 $G$ 上的一个左不变切向量场(left-invariant tangent vector field)

   定义 1 已经直白地说明了,一个左不变向量场 $X$ 唯一地由其在单位元处的取值 $X_e$ 决定的,即 $X_p=l_{p*}(X_e)$。同时,任意给定 $X_e$,都能由此生成唯一的左不变向量场 $X$。这样,左不变向量场的性质被其在单位元处的取值完全决定,单位元就好像存储了全息信息一样,局部就可以描述整体。

定理 1 

   左不变切向量场必为光滑向量场。

   证明

   思路是证明 $X$ 在任意图中都是光滑的。考虑左不变场的性质,只需要证明在某一个图中的情况即可,其它图中可以进行类比2。证明的核心是李群中群运算导出光滑映射。

   考虑李群 $G$ 上的左不变切向量场 $X$。由式 1 ,$X$ 完全由 $X_p$ 决定。设在某图 $\phi: G\to\mathbb{R}^n$ 中,$\phi^*(X)_{\phi(e)}=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\phi(c(t))$,其中 $c(t)$ 是 $I\to G$ 的光滑映射,且 $c(0)=e$,则

\begin{equation} \phi^*(X)_{\phi(p)}=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\phi(p\cdot c(t))~. \end{equation}

   由李群的定义,$p\cdot c(t)$ 是 $G\times I\to G$ 的光滑映射3不过这一条不重要

   这个才是重要的:把自变量改为 $\phi(p)$ 和 $t$,令 $g(x, y)=x\cdot y$ 为 $G\times G\to G$ 的光滑映射,则4

\begin{equation} \phi^{-1}(\phi(p))\cdot \phi^{-1}(\phi(c(t)))=g\circ(\phi^{-1}\times c)~ \end{equation}
为 $\mathbb{R}^n\times I\to G$ 的光滑映射。

   因此,$\phi(p\cdot c(t))=\phi[\phi^{-1}(\phi(p))\cdot \phi^{-1}(\phi(c(t)))]$ 是 $\mathbb{R}^n\times I\to \mathbb{R}^n$ 的光滑映射。

   因此式 3 是光滑映射的导函数,故是 $\mathbb{R}^n\times I\to \mathbb{R}^n$ 的光滑映射。即,$\phi^*(X)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的光滑向量场。

   故 $X$ 是 $\phi^{-1}(\mathbb{R}^n)$ 上的光滑向量场,进而 $X$ 是 $G$ 上的光滑向量场。

   证毕

   接下来这条性质是引入李代数的关键。

习题 1 

   如果 $X, Y$ 是左不变切向量场,那么 $[X, Y]=XY-YX$ 也是。

   利用引理 2 ,取左平移映射为所用的微分同胚,证明这一点。

3. 李群的李代数

   前两节的结论让我们知道了如下事实:李群 $G$ 上全体左不变切向量场的集合,$L(G)$,构成了光滑向量场 $\mathfrak{X}(G)$ 的一个子线性空间。同时,由于左不变切向量场可以被局部描述,我们可以通过单位元上的切空间 $T_eG$ 来描述 $L(G)$;换句话说,$T_eG$ 和 $L(G)$ 是同构的。

定义 2 李群的李代数

   令 $X, Y\in L(G)$ 是李群 $G$ 上的两个左不变向量场,任取 $p\in G$。定义 $X_p, Y_p\in T_pG$ 的李括号为

\begin{equation} [X_p, Y_p]=[X, Y]_p~. \end{equation}
可以代入切场计算得证,这样定义的李括号具有双线性和 Jacobi 结合性。由习题 1 可知,李括号运算对左不变切场是封闭的,因此 $T_p G$ 是一个李代数,即李群的李代数。由于左不变切场同构于切空间,且 $l_p^*(X_q)=X_{pq}$,因此无论 $p$ 点取何值,都不改变左不变切场之间的李代数关系。一般我们用 $ \operatorname {Lie}(G)$ 表示李群上全体左不变切场构成的李代数。

定理 2 复李群的复李代数

   复李群定义 3 的李代数是复李代数。

例 1 矩阵李群的李代数

   设 $M(n,\mathbb R)$ 是一个 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶矩阵李群,同时也可视作一个李代数,李括号由矩阵乘法导出。可以证明其李代数 $\mathfrak gl(n,R)$ 同构于 $ \operatorname {Lie}GL(n,\mathbb R)$。

\begin{equation} \mathfrak gl(n,\mathbb R) = \{ \mathcal{X} \mid \mathrm{e} ^{t\mathcal{X}}\in GL(n,\mathbb R), \forall t\in\mathbb{R} \}~. \end{equation}
这个李代数可以直接理解为单位元 $e$ 处的切空间。

   事实上,$ \mathrm{e} ^{t\mathcal{X}}$ 可对应由切向量 $\mathcal{X}\in \operatorname {T}_e GL(n,\mathbb R)$ 生成的左不变切向量场的积分曲线

常见李群的李代数

   在物理上,除了一般线性群 $GL(n,\mathbb R)$,我们还经常用到特殊正交群 $SO(n)$ 及特殊酉群 $SU(n)$。下面简单推导它们的李代数。

   由于 $SO(n)$ 是 $GL(n,\mathbb R)$ 的子流形,因此把李代数视作单位元的切空间时,前者的李代数 $\mathfrak {so}(n,\mathbb R)$5亦是后者 $\mathfrak gl(n,\mathbb R)$ 的子集。设任意 $X\in \mathfrak {so}(n,\mathbb R)$,我们有:

\begin{equation} \begin{aligned} ( \mathrm{e} ^{X})^T&= \mathrm{e} ^{X^T}=( \mathrm{e} ^{X})^{-1}= \mathrm{e} ^{-X}\\ ~, \end{aligned} \end{equation}
因此 $\mathfrak {so}(n,\mathbb R)$ 由n 阶实反对称矩阵构成。对于三维实正交矩阵,常约定李代数的基为
\begin{equation}J_1= \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix} ,\quad J_2= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix} ,\quad J_3= \begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} ~,\end{equation}
读者可验证,上述基的线性组合确实能导出所有的 n 阶实反对称矩阵。$\{c_i(t)= \mathrm{e} ^{tX_i}\mid t\in \mathbb R\}$ 为 $SO(n)$ 的光滑曲线,分别代表绕 $x,y,z$ 轴的旋转,$t$ 为对应的旋转角,这可以通过指数函数的级数展开来验证。比如验证
\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} J_3}= \begin{pmatrix}\cos t&-\sin t&0\\\sin t&\cos t&0\\0&0&1\end{pmatrix} ~. \end{equation}

   于是,我们可以得到基的李括号关系:

\begin{equation} [J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k~. \end{equation}

   同样地,我们利用指数映射来观察 $\mathfrak {su}(n,\mathbb R)$ 的结构。首先设任意 $Y\in \mathfrak {su}(n,\mathbb R)$,利用 $SU(n,\mathbb R)$ 的定义得:

\begin{equation} \begin{aligned} ( \mathrm{e} ^Y)^{\dagger}&= \mathrm{e} ^{Y^{\dagger}}= \mathrm{e} ^{-Y}\\ \operatorname {det} \mathrm{e} ^{Y}&= \mathrm{e} ^{ \operatorname {Tr}Y}=1\\ ~. \end{aligned} \end{equation}
于是 $n$ 阶无迹反厄米矩阵构成 $\mathfrak {su}(n,\mathbb R)$。以二维为例,无迹反厄米矩阵的一般形式为
\begin{equation} \begin{pmatrix}a \mathrm{i} &b+c \mathrm{i} \\-b+c \mathrm{i} &-a \mathrm{i} \end{pmatrix} ,\quad\forall a,b,c\in \mathbb R~. \end{equation}

   因此,$\mathfrak su(2,\mathbb R)$ 的基为

\begin{equation} J'_1= \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} ,\quad J'_2= \begin{pmatrix}0& \mathrm{i} \\ \mathrm{i} &0\end{pmatrix} ,\quad J'_3= \begin{pmatrix} \mathrm{i} &0\\0&- \mathrm{i} \end{pmatrix} ~. \end{equation}
相应的,我们可以得到李括号关系为
\begin{equation} [J'_i,J'_j]=2\epsilon_{ijk} J'_k~. \end{equation}
为了表示起来更加简洁,重定义李代数的基,使得 $S_i=1/2J'_i$,可以得到与式 10 相同的李括号关系。
\begin{equation} [S_i,S_j]=\epsilon_{ijk} S_k~. \end{equation}

   可见,$SU(2)$ 与 $SO(3)$ 有同构的李代数。

   在物理上,为了让以上李代数的基有物理意义,通常乘以 $- \mathrm{i} $,使得结果为厄米矩阵,比如此时式 13 便变为泡利矩阵。同时指数映射为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t X}$。

4. 诱导的李代数同态

   如果 $G,H$ 都是李群,且有李群同态关系 $f:G\to H$,那么 $f_*$ 可以诱导李群上的李代数同态。

定理 3 

   设 $ \operatorname {Lie}G=\mathfrak g, \operatorname {Lie}H=\mathfrak h$,且 $f:G\to H$ 是李群同态。对于任意 $X\in \mathfrak g$,都有唯一 $Y\in \mathfrak h$ 与之 $f-$ 关联。进而 $f_*:\mathfrak g\to h$ 是李代数同态。

   证明:

   对于任意 $X_e$,我们有 $Y_e=f_*X_e$。利用左平移映射的切映射,延拓 $Y_e$ 为左不变切向量场,即定义里的 $Y_p=l_{p*}Y_e$。接下来我们只需证明 $Y$ 确实与 $X$ 有 $f$ 关联即可。

   由李群同态关系得

\begin{equation} \begin{aligned} f(g_1g_2)&=f(g_1)f(g_2)\\ f\circ l_{g_1}(g_2)&=l_{f(g_1)}\circ f(g_2)~, \end{aligned} \end{equation}
则 $f_*\circ l_{g*}=l_{f(g)*}\circ f_*$。

   又因为

\begin{equation} \begin{aligned} f_*X_p&=f_*\circ l_{p*}X_e\\ &=l_{f(p)*}\circ f_*X_e\\ &=Y_{f(p)}~, \end{aligned} \end{equation}
所以 $Y$ 与 $X$ 有 $f-$ 关联。定理的第一部分得证。

   接下来证明,若任意 $Y_i,Y_j\in \mathfrak{X}(H)$ 与任意 $X_i,X_j\in \mathfrak{X}(G)$ 分别有 $f$ 关联,即 $f_*X_i=Y_i$,则对应李括号也有 $f$ 关联,满足 $f_*[X_i,X_j]=[f_*X_i,f_*X_j]=[Y_i,Y_j]$。

   设 $h\in C^{\infty} (H)$,由定理 1 得,

\begin{equation} \begin{aligned} (f_*[X_1,X_2])h&=[X_1,X_2](h\circ f)\\ &=(X_1X_2-X_2X_1)(h\circ f)\\ &=X_1(Y_2h)\circ f-X_2(Y_1h)\circ f\\ &=([Y_1,Y_2]h)\circ f~. \end{aligned} \end{equation}
因此,$[X_i,X_j]$ 与 $[Y_i,Y_j]$ 有 $f-$ 关联。代入我们定理中的情况,便是李代数同态关系。定理第二部分得证。

推论 1 

   设 $G,H$ 都是李群,且存在覆叠同态:$F:G\to H$,那么 $F_*: \operatorname {Lie}G\to \operatorname {Lie}H$ 是同构。

例 2 

   $\mathfrak {su}(2)\oplus \mathfrak {su}(2)\cong \mathfrak{so}(4)$

   由推论 1 定理 2 得:


1. ^ 注意,只要求是切向量场,没有要求连续性,更没有要求光滑性。但是稍后我们会看到,所谓的左不变向量场必然是光滑的。
2. ^ 这是因为如果 $pq=s$,那么 $l_{s}=l_pl_q$。这样一来,左不变场的性质可以由任何一点 $p$ 处的值完全确定,从而任何一个图中的情况都可以类比到其它图中。
3. ^ $c$ 是 $I\to G$ 的光滑映射,因此可以构造 $G\times I\to G\times G$ 的光滑映射 $f(x, t)=(x, c(t))$。由李群的定义,$g(x, y)=x\cdot y$ 是 $G\times G\to G$ 的光滑映射。这样一来,$p\cdot c(t)=g(f(p, t))=g\circ f$ 就是光滑映射的复合,因而也光滑。
4. ^ 映射的乘积定义参见定义 8
5. ^ $\mathbb R$ 表示基的线性组合是实系数,以区别复化的李代数。


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