贡献者： JierPeter; 叶月2_
1. 光滑向量场
未完成：这个话题应该移动到更相关的位置
我们先回顾光滑向量场的两条性质。
引理 1 提升映射与向量场的交换性
设 $F:M\to N$ 是一个微分同胚，那么对于任意光滑函数 $f\in C^{\infty}(M)$ 和光滑向量场 $X\in\mathfrak{X}(M)$，都有：
\begin{equation}
(Xf)\circ F^{-1}=F_*(X)(f\circ F^{-1})~,
\end{equation}
其中 $F_*:TM\to TN$ 是 $F$ 的微分。
引理 1 根据 “向量场对光滑函数作用” 的定义就可以证出。
未完成：引用流形上的李括号的定义
引理 2 微分和李括号的交换性
设 $F:M\to N$ 是一个微分同胚，那么对于任意光滑向量场 $X, Y\in\mathfrak{X}(M)$，有 $F_*([X, Y])=[F_*(X), F_*(Y)]$。
证明：
我们只需要证明 $F_*(XY)(f\circ F^{-1})=F_*(X)F_*(Y)(f\circ F^{-1})$ 对于任意 $f\in C^{\infty}(M)$ 成立即可。
由引理 1 ，
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_*(XY)(f\circ F^{-1})&=(XYf)\circ F^{-1}\\
&=F_*(X)(Yf\circ F^{-1})\\
&=F_*(X)(F_*(Y)(f\circ F^{-1}))\\
&=F_*(X)F_*(Y)(f\circ F^{-1})~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕。
2. 李群上的左不变向量场
定义 1 左不变向量场
给定李群 $G$，对于任意 $g\in G$，定义映射 $l_g:G\to G$ 为左平移映射，即对于任意 $p\in G$，都有 $l_g(p)=gp$。
根据李群的定义，$l_g$ 是一个光滑映射，因此可以求其微分 $l_{g}^*:TG\to TG$，该微分把一个 $p\in G$ 处的切向量映射为 $gp$ 处的切向量。
如果存在 $G$ 上的切向量场 $X$1，使得对于任意$g\in G$，都有 $l_{g}^*(X_p)=X_{gp}$；换句话说，就是 $l^*_g(X)=X$，那么称 $X$ 为 $G$ 上的一个左不变切向量场（left-invariant tangent vector field）。
定义 1 已经直白地说明了，一个左不变向量场 $X$ 唯一地由其在单位元处的取值 $X_e$ 决定的，即 $X_p=l_{p}^*(X_e)$。同时，任意给定 $X_e$，都能由此生成唯一的左不变向量场 $X$。这样，左不变向量场的性质被其在单位元处的取值完全决定，单位元就好像存储了全息信息一样，局部就可以描述整体。
证明：
思路是证明 $X$ 在任意图中都是光滑的。考虑左不变场的性质，只需要证明在某一个图中的情况即可，其它图中可以进行类比2。证明的核心是李群中群运算导出光滑映射。
考虑李群 $G$ 上的左不变切向量场 $X$。由式 1 ，$X$ 完全由 $X_p$ 决定。设在某图 $\phi: G\to\mathbb{R}^n$ 中，$\phi^*(X)_{\phi(e)}=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\phi(c(t))$，其中 $c(t)$ 是 $I\to G$ 的光滑映射，且 $c(0)=e$，则
\begin{equation}
\phi^*(X)_{\phi(p)}=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\phi(p\cdot c(t))~.
\end{equation}
由李群的定义，$p\cdot c(t)$ 是 $G\times I\to G$ 的光滑映射3。不过这一条不重要。
这个才是重要的：把自变量改为 $\phi(p)$ 和 $t$，令 $g(x, y)=x\cdot y$ 为 $G\times G\to G$ 的光滑映射，则4
\begin{equation}
\phi^{-1}(\phi(p))\cdot \phi^{-1}(\phi(c(t)))=g\circ(\phi^{-1}\times c)~
\end{equation}
为 $\mathbb{R}^n\times I\to G$ 的光滑映射。
因此，$\phi(p\cdot c(t))=\phi[\phi^{-1}(\phi(p))\cdot \phi^{-1}(\phi(c(t)))]$ 是 $\mathbb{R}^n\times I\to \mathbb{R}^n$ 的光滑映射。
因此式 3 是光滑映射的导函数，故是 $\mathbb{R}^n\times I\to \mathbb{R}^n$ 的光滑映射。即，$\phi^*(X)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的光滑向量场。
故 $X$ 是 $\phi^{-1}(\mathbb{R}^n)$ 上的光滑向量场，进而 $X$ 是 $G$ 上的光滑向量场。
证毕。
接下来这条性质是引入李代数的关键。
习题 1
如果 $X, Y$ 是左不变切向量场，那么 $[X, Y]=XY-YX$ 也是。
利用引理 2 ，取左平移映射为所用的微分同胚，证明这一点。
3. 李群的李代数
前两节的结论让我们知道了如下事实：李群 $G$ 上全体左不变切向量场的集合，$L(G)$，构成了光滑向量场 $\mathfrak{X}(G)$ 的一个子线性空间。同时，由于左不变切向量场可以被局部描述，我们可以通过单位元上的切空间 $T_eG$ 来描述 $L(G)$；换句话说，$T_eG$ 和 $L(G)$ 是同构的。
定义 2 李群的李代数
令 $X, Y\in L(G)$ 是李群 $G$ 上的两个左不变向量场，任取 $p\in G$。定义 $X_p, Y_p\in T_pG$ 的李括号为
\begin{equation}
[X_p, Y_p]=[X, Y]_p~.
\end{equation}
因此 $T_p G$ 是一个李代数，即
李群的李代数。
定理 2 复李群的复李代数
复李群定义 3 的李代数是复李代数。
例 1 矩阵李群的李代数
设 $M$ 是一个 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 阶矩阵李群，那么其李代数作为集合是
\begin{equation}
S = \{ \mathcal{X}\in \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \mid \mathrm{e} ^{t\mathcal{X}}\in M, \forall t\in\mathbb{R} \}~.
\end{equation}
这个李代数可以直接理解为单位元 $e$ 处的切空间，其李括号由矩阵乘法导出。
事实上，$ \mathrm{e} ^{t\mathcal{X}}$ 是由切向量 $\mathcal{X}\in \operatorname {T}_e M$ 生成的左不变切向量场的积分曲线。
1. ^ 注意，只要求是切向量场，没有要求连续性，更没有要求光滑性。但是稍后我们会看到，所谓的左不变向量场必然是光滑的。
2. ^ 这是因为如果 $pq=s$，那么 $l_{s}=l_pl_q$。这样一来，左不变场的性质可以由任何一点 $p$ 处的值完全确定，从而任何一个图中的情况都可以类比到其它图中。
3. ^ $c$ 是 $I\to G$ 的光滑映射，因此可以构造 $G\times I\to G\times G$ 的光滑映射 $f(x, t)=(x, c(t))$。由李群的定义，$g(x, y)=x\cdot y$ 是 $G\times G\to G$ 的光滑映射。这样一来，$p\cdot c(t)=g(f(p, t))=g\circ f$ 就是光滑映射的复合，因而也光滑。
4. ^ 映射的乘积定义参见定义 8
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