李群的李代数

                     

贡献者: JierPeter; Giacomo

预备知识 李群,李代数

1. 光滑向量场

  

未完成:这个话题应该移动到更相关的位置

   我们先回顾光滑向量场的两条性质.

引理 1 提升映射与向量场的交换性

   设 $F:M\to N$ 是一个微分同胚,那么对于任意光滑函数 $f\in C^{\infty}(M)$ 和光滑向量场 $X\in\mathfrak{X}(M)$,都有:

\begin{equation} (Xf)\circ F^{-1}=F_*(X)(f\circ F^{-1}) \end{equation}
其中 $F_*:TM\to TN$ 是 $F$ 的微分.

   引理 1 根据 “向量场对光滑函数作用” 的定义就可以证出.

  

未完成:引用流形上的李括号的定义

引理 2 微分和李括号的交换性

   设 $F:M\to N$ 是一个微分同胚,那么对于任意光滑向量场 $X, Y\in\mathfrak{X}(M)$,有 $F_*([X, Y])=[F_*(X), F_*(Y)]$.

   证明

   我们只需要证明 $F_*(XY)(f\circ F^{-1})=F_*(X)F_*(Y)(f\circ F^{-1})$ 对于任意 $f\in C^{\infty}(M)$ 成立即可.

   由引理 1

\begin{equation} \begin{aligned} F_*(XY)(f\circ F^{-1})&=(XYf)\circ F^{-1}\\ &=F_*(X)(Yf\circ F^{-1})\\ &=F_*(X)(F_*(Y)(f\circ F^{-1}))\\ &=F_*(X)F_*(Y)(f\circ F^{-1}) \end{aligned} \end{equation}

   证毕

2. 李群上的左不变向量场

定义 1 左不变向量场

   给定李群 $G$,对于任意 $g\in G$,定义映射 $l_g:G\to G$ 为左平移映射,即对于任意 $p\in G$,都有 $l_g(p)=gp$.

   根据李群的定义,$l_g$ 是一个光滑映射,因此可以求其微分 $l_{g}^*:TG\to TG$,该微分把一个 $p\in G$ 处的切向量映射为 $gp$ 处的切向量.

   如果存在 $G$ 上的切向量场 $X$1,使得对于任意$g\in G$,都有 $l_g(X)=X$;换句话说,就是 $l_{g}^*(X_p)=X_g$,那么称 $X$ 为 $G$ 上的一个左不变切向量场(left-invariant tangent vector field)

   定义 1 已经直白地说明了,一个左不变向量场 $X$ 唯一地由其在单位元处的取值 $X_e$ 决定的,即 $X_p=l_{p}^*(X_e)$.同时,任意给定 $X_e$,都能由此生成唯一的左不变向量场 $X$.这样,左不变向量场的性质被其在单位元处的取值完全决定,单位元就好像存储了全息信息一样,局部就可以描述整体.

定理 1 

   左不变切向量场必为光滑向量场.

   证明

   思路是证明 $X$ 在任意图中都是光滑的.考虑左不变场的性质,只需要证明在某一个图中的情况即可,其它图中可以进行类比2.证明的核心是李群中群运算导出光滑映射.

   考虑李群 $G$ 上的左不变切向量场 $X$.由式 1 ,$X$ 完全由 $X_p$ 决定.设在某图 $\phi: G\to\mathbb{R}^n$ 中,$\phi^*(X)_{\phi(e)}=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\phi(c(t))$,其中 $c(t)$ 是 $I\to G$ 的光滑映射,且 $c(0)=e$,则

\begin{equation} \phi^*(X)_{\phi(p)}=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\phi(p\cdot c(t)) \end{equation}

   由李群的定义,$p\cdot c(t)$ 是 $G\times I\to G$ 的光滑映射3不过这一条不重要

   这个才是重要的:把自变量改为 $\phi(p)$ 和 $t$,令 $g(x, y)=x\cdot y$ 为 $G\times G\to G$ 的光滑映射,则4

\begin{equation} \phi^{-1}(\phi(p))\cdot \phi^{-1}(\phi(c(t)))=g\circ(\phi^{-1}\times c) \end{equation}
为 $\mathbb{R}^n\times I\to G$ 的光滑映射.

   因此,$\phi(p\cdot c(t))=\phi[\phi^{-1}(\phi(p))\cdot \phi^{-1}(\phi(c(t)))]$ 是 $\mathbb{R}^n\times I\to \mathbb{R}^n$ 的光滑映射.

   因此式 3 是光滑映射的导函数,故是 $\mathbb{R}^n\times I\to \mathbb{R}^n$ 的光滑映射.即,$\phi^*(X)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的光滑向量场.

   故 $X$ 是 $\phi^{-1}(\mathbb{R}^n)$ 上的光滑向量场,进而 $X$ 是 $G$ 上的光滑向量场.

   证毕

   接下来这条性质是引入李代数的关键.

习题 1 

   如果 $X, Y$ 是左不变切向量场,那么 $[X, Y]=XY-YX$ 也是.

   利用引理 2 ,取左平移映射为所用的微分同胚,证明这一点.

3. 李群的李代数

   前两节的结论让我们知道了如下事实:李群 $G$ 上全体左不变切向量场的集合,$L(G)$,构成了光滑向量场 $\mathfrak{X}(G)$ 的一个子线性空间.同时,由于左不变切向量场可以被局部描述,我们可以通过单位元上的切空间 $T_eG$ 来描述 $L(G)$;换句话说,$T_eG$ 和 $L(G)$ 是同构的.

定义 2 李群的李代数

   如果 $X, Y\in L(G)$ 是李群 $G$ 上的两个左不变向量场,那么定义 $X_e, Y_e\in T_eG$ 的李括号为

\begin{equation} [X_e, Y_e]=[X, Y]_e \end{equation}
因此 $T_e G$ 是一个一个李代数,即李群的李代数

定理 2 复李群的复李代数

   复李群定义 3 的李代数是复李代数.

  

未完成:需作休整


1. ^ 注意,只要求是切向量场,没有要求连续性,更没有要求光滑性.但是稍后我们会看到,所谓的左不变向量场必然是光滑的.
2. ^ 这是因为如果 $pq=s$,那么 $l_{s}=l_pl_q$.这样一来,左不变场的性质可以由任何一点 $p$ 处的值完全确定,从而任何一个图中的情况都可以类比到其它图中.
3. ^ $c$ 是 $I\to G$ 的光滑映射,因此可以构造 $G\times I\to G\times G$ 的光滑映射 $f(x, t)=(x, c(t))$.由李群的定义,$g(x, y)=x\cdot y$ 是 $G\times G\to G$ 的光滑映射.这样一来,$p\cdot c(t)=g(f(p, t))=g\circ f$ 就是光滑映射的复合,因而也光滑.
4. ^ 映射的乘积定义参见定义 7


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