李群的李代数

             

预备知识 李群,李代数

1. 光滑向量场

   我们先回顾光滑向量场的两条性质.

引理 1 提升映射与向量场的交换性

   设 $F:M\to N$ 是一个微分同胚,那么对于任意光滑函数 $f\in C^{\infty}(M)$ 和光滑向量场 $X\in\mathfrak{X}(M)$,都有:

\begin{equation} (Xf)\circ F^{-1}=F_*(X)(f\circ F^{-1}) \end{equation}
其中 $F_*:TM\to TN$ 是 $F$ 的微分.

   引理 1 根据 “向量场对光滑函数作用” 的定义就可以证出.

引理 2 微分和李括号的交换性

   设 $F:M\to N$ 是一个微分同胚,那么对于任意光滑向量场 $X, Y\in\mathfrak{X}(M)$,有 $F_*([X, Y])=[F_*(X), F_*(Y)]$.

   证明

   我们只需要证明 $F_*(XY)(f\circ F^{-1})=F_*(X)F_*(Y)(f\circ F^{-1})$ 对于任意 $f\in C^{\infty}(M)$ 成立即可.

   由引理 1

\begin{equation} \begin{aligned} F_*(XY)(f\circ F^{-1})&=(XYf)\circ F^{-1}\\ &=F_*(X)(Yf\circ F^{-1})\\ &=F_*(X)(F_*(Y)(f\circ F^{-1}))\\ &=F_*(X)F_*(Y)(f\circ F^{-1}) \end{aligned} \end{equation}

   证毕

2. 李群上的左不变向量场

定义 1 左不变向量场

   给定李群 $G$,对于任意 $g\in G$,定义映射 $l_g:G\to G$ 为左平移映射,即对于任意 $p\in G$,都有 $l_g(p)=gp$.

   根据李群的定义,$l_g$ 是一个光滑映射,因此可以求其微分 $l_{g*}:TG\to TG$,该微分把一个 $p\in G$ 处的切向量映射为 $gp$ 处的切向量.

   如果存在 $G$ 上的切向量场 $X$1,使得对于任意$g\in G$,都有 $l_g(X)=X$;换句话说,就是 $l_{g*}(X_p)=X_g$,那么称 $X$ 为 $G$ 上的一个左不变切向量场(left-invariant tangent vector field)

   定义 1 已经直白地说明了,一个左不变向量场 $X$ 唯一地由其在单位元处的取值 $X_e$ 决定的,即 $X_p=l_{p*}(X_e)$.同时,任意给定 $X_e$,都能由此生成唯一的左不变向量场 $X$.这样,左不变向量场的性质被其在单位元处的取值完全决定,单位元就好像存储了全息信息一样,局部就可以描述整体.

定理 1 

   左不变切向量场必为光滑向量场.

   证明

   考虑李群 $G$ 上的左不变切向量场 $X$.

   只需要证明对于任意 $f\in C^{\infty}(G)$,$Xf$ 都是光滑函数即可.

   $Xf$ 在 $p\in G$ 处的取值可以如下计算,其中取光滑道路 $c:I\to G$ 使得 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }c(t)|_{t=0}=X_e$,$c(0)=e$,而 $e$ 是 $G$ 的单位元:

\begin{equation} Xf|_p=X_pf=(l_{p*}eX_e)f=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(pc(t))|{t=0} \end{equation}

   我们只需要证明 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(pc(t))|{t=0}=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f\circ l_{p*}\circ c|_{t=0}$ 作为一个 $G\to \mathbb{R}$ 的函数是光滑的即可.注意,这是指 $f(pc(t))$ 的自变量为 $p$ 和 $t$,限制在 $t=0$ 处时 $t$ 不再是自变量.

   为了证明上面这段话,我们又只需要证明 $f\circ l_{p*}\circ c$ 是一个 $G\times I\to \mathbb{R}$ 的光滑函数即可.

   由于 $f, l_{p*}, c$ 都是光滑函数,其组合自然也是光滑函数,由此得证.

   证毕

   接下来这条性质是引入李代数的关键.

习题 1 

   如果 $X, Y$ 是左不变切向量场,那么 $[X, Y]=XY-YX$ 也是.

   利用引理 2 ,取左平移映射为所用的微分同胚,证明这一点.

3. 李群上的李代数

   前两节的结论让我们知道了如下事实:李群 $G$ 上全体左不变切向量场的集合,$L(G)$,构成了光滑向量场 $\mathfrak{X}(G)$ 的一个子线性空间.同时,由于左不变切向量场可以被局部描述,我们可以通过单位元上的切空间 $T_eG$ 来描述 $L(G)$;换句话说,$T_eG$ 和 $L(G)$ 是同构的.

定义 2 

   如果 $X, Y\in L(G)$ 是李群 $G$ 上的两个左不变向量场,那么定义 $X_e, Y_e\in T_eG$ 的李括号为

\begin{equation} [X_e, Y_e]=[X, Y]_e \end{equation}


1. ^ 注意,只要求是切向量场,没有要求连续性,更没有要求光滑性.但是稍后我们会看到,所谓的左不变向量场必然是光滑的.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利