李导数

贡献者：叶月2_; addis

TODO: 场不变，定理 5

1. 对向量场作用

　　区别于仿射联络，李导数（Lie derivative） $L : X (M) \times X (M) \to X (M)$ 是对向量场微分的另一种思路。

定义 1　

　　设 $V, W$ 为 $M$ 上的任意光滑向量场，令 $θ_{t} : M_{t} \to M$ 为 $V$ 的流，定义 $W$ 关于 $V$ 的李导数为

\begin{matrix} (1) & (L_{V} W)_{p} = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} (θ_{- t})_{*} W_{θ_{t} (p)} = lim_{t \to 0} \frac{(θ_{- t})_{*} W_{θ_{t} (p)} - W_{p}}{t} . \end{matrix}

　　由前推定义可知， $θ_{t *} W_{q} \in T_{θ_{t} (q)} M$ ，因而 $(θ_{- t})_{*} W_{θ_{t} (p)} \in T_{p} M$ ，所以该定义是合理的，我们利用前推得到了同一切空间的两个向量并进行微分。

　　其次，我们可以证明 $(L_{V} W)_{p} = [V, W]_{p}$ ，因李括号将两个光滑切场映射为光滑切场，从而可知李导数亦然如此，即 $p \mapsto (L_{V} W)_{p}$ 是光滑切场。结合李括号和前推的性质，我们有：

定理 1　

$L_{V} W = - L_{W} V .$
如果 $F : M \to N$ 是微分同胚，则 $F_{*} (L_{V} W) = L_{F_{*} V} F_{*} W .$

　　在这里，我们只证明最后一条，即 $F_{*} [V, W]_{p} = [F_{*} V, F_{*} W] |_{F (p)}$ 。

　　由于 $F$ 是微分同胚，那么对于任意 $X \in J (M)$ ，我们都可以在 $N$ 上找到唯一的向量场与之关联。因此我们可以设 $Y_{i} = F_{*} X_{i} \in J (N), f \in C^{\infty} N$ ，那么我们有

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} F_{*} [X_{1}, X_{2}] f & = [X_{1}, X_{2}] (f \circ F) \\ = (X_{1} X_{2} - X_{2} X_{1}) f \circ F, \end{aligned} \end{matrix}

又因为

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} (X_{1} X_{2}) (f \circ F) & = X_{1} [(Y_{2} f) \circ F] \\ = (Y_{1} Y_{2} f) \circ F, \end{aligned} \end{matrix}

同理可得：

(X_{2} X_{1}) (f \circ F) = (Y_{2} Y_{1} f) \circ F

。代入式 2 便得：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} F_{*} [X_{1}, X_{2}] f & = (Y_{1} Y_{2} f - Y_{2} Y_{1} f) \circ F \\ = ([Y_{1}, Y_{2}] f) \circ F = ([Y_{1}, Y_{2}] f) |_{F (p)}, \end{aligned} \end{matrix}

定理得证。

2. 对张量场作用

　　同样设 $θ$ 是光滑切场 $X$ 的流，对于任意 $p \in M$ ， $θ_{t}$ 是 $p$ 点附近一邻域与 $θ_{t} (p)$ 附近一邻域的微分同胚——这意味着前推和拉回都是有意义的。于是根据拉回对张量场的定义可知，若设 $τ$ 是 $k$ 阶张量场，则 $(θ_{t}^{*} τ)_{p} = θ_{t}^{*} τ_{θ_{t} (p)}$ ，依然得到 $p$ 点上的一个 $k$ 阶张量场。因此我们可以定义 $τ$ 关于 $X$ 的李导数为：

\begin{matrix} (5) & {(L_{X} τ)}_{p} = {\frac{\partial}{\partial t} |}_{t = 0} {(θ_{t}^{*} τ)}_{p} = lim_{t \to 0} \frac{θ_{t}^{*} τ_{θ_{t} (p)} - τ_{p}}{t} . \end{matrix}

　　 可以证明，李导数对光滑张量场作用，依然得到光滑张量场。

　　接下来，我们罗列一些李导数的常见性质。

定理 2　

　　在光滑流形 $M$ 上讨论。设 $σ, τ$ 为协变张量场， $f$ 为光滑函数， $ω, η$ 为微分形式， $X, Y_{i}$ 是光滑向量场。

$L_{X} f = X f$ .
$L_{X} (f σ) = (L_{X} f) σ + f L_{X} σ$ .
$L_{X} (σ \otimes τ) = (L_{X} σ) \otimes τ + σ \otimes L_{X} τ$ .
$L_{X} (ω \land η) = L_{X} ω \land η + ω \land L_{X} η$ .
$L_{X} (Y ⌟ ω) = (L_{X} Y) ⌟ η + Y ⌟ L_{X} ω$ .
设 $Y_{1}, \dots, Y_{k}$ 是光滑向量场，则
$\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} L_{X} (σ (Y_{1}, \dots, & Y_{k})) = (L_{X} σ) (Y_{1}, \dots, Y_{k}) \\ + σ (L_{X} Y_{1}, \dots, Y_{k}) + \dots + σ (Y_{1}, \dots, L_{X} Y_{k}) . \end{aligned} \end{matrix}$

　　 证明：

　　 $f$ 可看作 $0$ 阶张量场，因此其李导数亦可使用本节定义，

\begin{matrix} (7) & {(L_{X} f)}_{p} = {\frac{\partial}{\partial t} |}_{t = 0} {(θ_{t}^{*} f)}_{p} = {\frac{\partial}{\partial t} |}_{t = 0} (f \circ θ_{t} (p)) = X_{p} f . \end{matrix}

最后一个等号来自于

X

是

θ

最小生成元的定义。

　　 $3 - 5$ 条可视作李导数的莱布尼兹律，在这里只证第三条，，其余同理可得。

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} (L_{X} (σ \otimes τ))_{p} & = lim_{t \to 0} \frac{θ_{t}^{*} (σ \otimes τ)_{θ_{t} (p)} - (σ \otimes τ)_{p}}{t} \\ = lim_{t \to 0} \frac{θ_{t}^{*} σ_{θ_{t} (p)} \otimes θ_{t}^{*} τ_{θ_{t} (p)} - σ_{p} \otimes τ_{p}}{t} \\ = lim_{t \to 0} \frac{θ_{t}^{*} σ_{θ_{t} (p)} \otimes θ_{t}^{*} τ_{θ_{t} (p)} - θ_{t}^{*} σ_{θ_{t} (p)} \otimes τ_{p}}{t} \\ + lim_{t \to 0} \frac{θ_{t}^{*} σ_{θ_{t} (p)} \otimes τ_{p} - σ_{p} \otimes τ_{p}}{t} \\ = lim_{t \to 0} θ_{t}^{*} σ_{θ_{t} (p)} \otimes \frac{θ_{t}^{*} τ_{θ_{t} (p)} - τ_{p}}{t} + lim_{t \to 0} \frac{θ_{t}^{*} σ_{θ_{t} (p)} - σ_{p}}{t} \otimes τ_{p} \\ = σ_{p} \otimes (L_{X} τ)_{p} + (L_{X} σ)_{p} \otimes τ_{p} . \end{aligned} \end{matrix}

定理 3　

　　设 $f \in C^{\infty} (M)$ ，则 $L_{X} (d f) = d (L_{X} f)$

　　 $d f$ 是一阶张量场，因此我们可以利用定理 2 第六条。两边作用在任意光滑向量场 $Y$ 上，得

\begin{matrix} (9) & (L_{X} d f) (Y) = X (d f (Y)) - d f ([X, Y]) . \end{matrix}

并利用余切场的定义，即

d f (X) \equiv X f

，代入上式得：

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} X (d f (Y)) - d f ([X, Y]) & = X Y f - (X Y - Y X) f \\ = Y X f = d (X f) (Y) \\ = d (L_{X} f) (Y), \end{aligned} \end{matrix}

因此得证。

3. 对微分形式作用

　　尽管我们可以利用式 6 第六条来得到李导数对微分形式的作用结果，然而其成本是不可忽视的。对于任意 $p \in M$ ，我们需要引入定义在该点邻域的数个向量场 $(Y_{1}, Y_{2} . . . Y_{k})$ ，还要算得微分形式的作用结果。为了避免这样的麻烦，本节介绍一个便携的计算方法。

定理 4　

　　设 $X$ 为流形 $M$ 上的任意矢量场， $ω$ 是 $k$ 微分形式。那么我们有

\begin{matrix} (11) & L_{X} ω = i_{X} (d ω) + d (i_{X} ω) . \end{matrix}

　　 证明：

　　利用数学归纳法可以证明该结论。假设 $ω$ 为 $n$ 形式。

　　当 $n = 0$ ，设 $ω = f$ ， $f$ 为光滑函数。根据缩并定义可知， $i_{X} (d f) = X f$ 。所以

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} i_{X} (d ω) + d (i_{X} ω) & = X f + d (i_{X} f) \\ = X f = L_{X} f . \end{aligned} \end{matrix}

当

n = 1

时，

ω = \sum_{i} u_{i} d v_{i}

，其中

u, v

为任意函数。由于算符

d, L_{X}, i_{X}

都是线性映射，因此只要证明对任意

u d v

成立即可。

　　分别计算后，我们有：

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} i_{X} (d ω) & = i_{X} (d (u d v)) = i_{X} (d u \land d v) \\ = i_{X} (d u) \land d v - d u i_{X} (d v) \\ = (X u) d v - (X v) d u \\ d (i_{X} ω) & = d (i_{X} (u d v)) \\ = d (u i_{X} d v) = d u (X v) + u d (X v) \\ L_{X} (u d v) & = X u d v + u d (X v), \end{aligned} \end{matrix}

代入式 11 显然成立。

　　假设定理对 $1 < n < k$ 成立，且 $ω = \sum_{I} ω_{I} d x^{i_{1}} \land d x^{i_{2}} . . . \land d x^{i_{k}}$ 。那么可以设 $α = ω_{I} d x^{i_{1}}, β = d x^{i_{2}} \land . . . \land d x^{i_{k}}$ ，则 $ω = \sum_{I} α \land β$ 。只需要证明定理对其中一个排列成立即可。下面为表示方便，用 $X ⌟$ 来表示缩并。利用 $d, L$ 和缩并算符的性质，我们可以得到：

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} L_{X} ω & = L_{X} (α \land β) \\ = (L_{X} α) \land β + α \land (L_{X} β) \\ = (X ⌟ (d α) + d (X ⌟ α)) \land β + α \land (X ⌟ (d β) + d (X ⌟ β)) \\ = [X ⌟ (d α) + d (X ⌟ α)] \land β + α \land [X ⌟ (d β) + d (X ⌟ β)] . \end{aligned} \end{matrix}

另有把

ω = α \land β

看作一个整体，则

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} L_{X} ω & = L_{X} (α \land β) \\ = X ⌟ (d α \land β - α \land d β) + d (X ⌟ α) \land β - α \land (X ⌟ β)) \\ = (X ⌟ d α) β + d α \land (X ⌟ β) - (X ⌟ α) \land d β + α \land (X ⌟ d β) \\ + d (X ⌟ α) \land β + (X ⌟ α) \land d β - d α \land (X ⌟ β) + α \land d (X ⌟ β) = (14), \end{aligned} \end{matrix}

　　得证。

推论 1　

　　设 $X$ 是光滑向量场， $ω$ 是 $k$ 形式，则

\begin{matrix} (16) & L_{X} (d ω) = d (L_{X} ω) . \end{matrix}

　　 证明：

　　代入式 11 ，我们得

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} d (L_{X} ω) & = d (X ⌟ d ω + d (X ⌟ ω)) \\ = d (X ⌟ d ω) \\ L_{X} d ω & = X ⌟ d d ω + d (X ⌟ d ω) \\ = d (X ⌟ d ω), \end{aligned} \end{matrix}

因此得证。

　　至此，利用上述结论，我们可以简便地计算微分形式的李导数，不再需要引入向量场并计算微分形式和向量场作用的结果。

4. Killing 方程

　　依旧默认 $X$ 为光滑向量场而 $τ$ 是光滑张量场。由李导数对张量场作用的定义可知，若 $τ$ 在 $X$ 的积分曲线流下不变，即 $θ_{t}^{*} τ_{θ_{t} (p)} = τ_{p}$ ，则张量场关于 $X$ 的李导数不变。实际上反向也是成立的。

定理 5　

　　 $X$ 是光滑流形 $M$ 上的光滑切场。任意光滑张量场 $τ$ 在 $X$ 的流下不变当且仅当 $L_{X} τ = 0$ 。

　　可以这样理解，设被李导数作用后的张量场为 $ξ$ ，则对于任意 $p \in M$ ， $ξ_{p} = τ_{p} = θ_{t}^{*} τ_{θ_{t} (p)}$ 。

　　最常见的张量场是度规张量 $g$ ，若度规张量在某光滑向量场下不变，我们便把该光滑向量场称作 $K i l l i n g$ 矢量场。 $K i l l i n g$ 方程是等价于 $L_{X} τ = 0$ 的若干方程。

$X g_{i j} + g_{j k} \frac{\partial X^{k}}{\partial x^{i}} + g_{i k} \frac{\partial X^{k}}{\partial x^{j}} = 0$ 。因为 $g = g_{i j} d x^{i} \otimes d x^{j}$ ，利用式 16 ，我们有：
$\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} L_{X} g & = (L_{X} g_{i j}) d x^{i} \otimes d x^{j} + g_{i j} (L_{X} d x^{i}) \otimes d x^{j} + g_{i j} d x^{i} \otimes L_{X} d x^{j} \\ = X g_{i j} + g_{i j} d X^{i} \otimes d x^{j} + g_{i j} d x^{i} \otimes d X^{j} \\ = X g_{i j} + g_{k j} \frac{\partial X^{k}}{\partial x^{i}} d x^{i} \otimes d x^{j} + g_{i k} d x^{i} \otimes \frac{\partial X^{k}}{\partial x^{j}} d x^{j} \\ = (X g_{i j} + g_{j k} \frac{\partial X^{k}}{\partial x^{i}} + g_{i k} \frac{\partial X^{k}}{\partial x^{j}}) d x^{i} \otimes d x^{j} . \end{aligned} \end{matrix}$
$(\nabla_{i} X)_{j} + (\nabla_{j} X)_{i} = 0$
对于任意向量 $Y, Z$ 有 $g (\nabla_{Y} X, Z) + g (Y, \nabla_{Z} X) = 0$ 。

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