李导数

贡献者： 叶月2_; addis

1. 对向量场作用

　　 区别于仿射联络，李导数（Lie derivative）$\mathcal{L}:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to\mathfrak{X}(M)$ 是对向量场微分的另一种思路。

　　 由前推定义可知，$\theta_{t*}W_q\in T_{\theta_t(q)}M$，因而 $(\theta_{-t})_*W_{\theta_t(p)}\in T_p M$，所以该定义是合理的，我们利用前推得到了同一切空间的两个向量并进行微分。

　　 其次，我们可以证明 $(\mathcal{L}_VW)_p=[V,W]_p$，因李括号将两个光滑切场映射为光滑切场，从而可知李导数亦然如此，即 $p\mapsto(\mathcal{L}_VW)_p$ 是光滑切场。结合李括号和前推的性质，我们有：

　　 在这里，我们只证明最后一条，即 $F_*[V,W]_{p}=[F_*V,F_*W]|_{F(p)}$。

　　 由于 $F$ 是微分同胚，那么对于任意 $X\in \mathcal J(M)$，我们都可以在 $N$ 上找到唯一的向量场与之关联。因此我们可以设 $Y_i=F_*X_i\in \mathcal J(N),f\in C^{\infty}N$，那么我们有

2. 对张量场作用

　　 同样设 $\theta$ 是光滑切场 $X$ 的流，对于任意 $p\in M$，$\theta_t$ 是 $p$ 点附近一邻域与 $\theta_t(p)$ 附近一邻域的微分同胚——这意味着前推和拉回都是有意义的。于是根据拉回对张量场的定义可知，若设 $\tau$ 是 $k$ 阶张量场，则 $(\theta_t^*\tau)_p=\theta_t^*\tau_{\theta_t(p)}$，依然得到 $p$ 点上的一个 $k$ 阶张量场。因此我们可以定义 $\tau$ 关于 $X$ 的李导数为：

　　 可以证明，李导数对光滑张量场作用，依然得到光滑张量场。

　　 接下来，我们罗列一些李导数的常见性质。

　　 证明：

　　 $f$ 可看作 $0$ 阶张量场，因此其李导数亦可使用本节定义，

　　 $3-5$ 条可视作李导数的莱布尼兹律，在这里只证第三条，，其余同理可得。

　　 $ \,\mathrm{d}{f} $ 是一阶张量场，因此我们可以利用定理 2 第六条。两边作用在任意光滑向量场 $Y$ 上，得

3. 对微分形式作用

　　 尽管我们可以利用式 6 第六条来得到李导数对微分形式的作用结果，然而其成本是不可忽视的。对于任意 $p\in M$，我们需要引入定义在该点邻域的数个向量场 $(Y_1,Y_2...Y_k)$，还要算得微分形式的作用结果。为了避免这样的麻烦，本节介绍一个便携的计算方法。

　　 证明：

　　 利用数学归纳法可以证明该结论。假设 $\omega$ 为 $n$ 形式。

　　 当 $n=0$，设 $\omega=f$，$f$ 为光滑函数。根据缩并定义可知，$i_X(df)=Xf$。所以

　　 分别计算后，我们有：

　　 假设定理对 $1< n< k$ 成立，且 $\omega=\sum_{I}\omega_I \,\mathrm{d}{x} ^{i_1}\wedge \,\mathrm{d}{x} ^{i_2}...\wedge \,\mathrm{d}{x} ^{i_k}$。那么可以设 $\alpha=\omega_I \,\mathrm{d}{x} ^{i_1},\beta= \,\mathrm{d}{x} ^{i_2}\wedge...\wedge \,\mathrm{d}{x} ^{i_k}$，则 $\omega=\sum_I\alpha\wedge\beta$。只需要证明定理对其中一个排列成立即可。下面为表示方便，用 $X\lrcorner$ 来表示缩并。利用 $ \,\mathrm{d}{,} \mathcal L$ 和缩并算符的性质，我们可以得到：

　　 得证。

　　 证明：

　　 代入式 11 ，我们得

　　 至此，利用上述结论，我们可以简便地计算微分形式的李导数，不再需要引入向量场并计算微分形式和向量场作用的结果。

4. Killing 方程

　　 依旧默认 $X$ 为光滑向量场而 $\tau$ 是光滑张量场。由李导数对张量场作用的定义可知，若 $\tau$ 在 $X$ 的积分曲线流下不变，即 $\theta_t^*\tau_{\theta_t(p)}=\tau_p$，则张量场关于 $X$ 的李导数不变。实际上反向也是成立的。

　　 可以这样理解，设被李导数作用后的张量场为 $\xi$，则对于任意 $p\in M$，$\xi_p=\tau_p=\theta_t^*\tau_{\theta_t(p)}$。

　　 最常见的张量场是度规张量 $g$，若度规张量在某光滑向量场下不变，我们便把该光滑向量场称作 $Killing$ 矢量场。$Killing$ 方程是等价于 $\mathcal L_X\tau=0$ 的若干方程。

1. $Xg_{ij}+g_{jk}\frac{\partial X^k}{\partial x^i}+g_{ik}\frac{\partial X^k}{\partial x^j}=0$。 因为 $g=g_{ij} \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j$，利用式 16 ，我们有：
   \begin{equation} \begin{aligned} \mathcal L_X g&=(\mathcal L_Xg_{ij}) \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j+ g_{ij}(\mathcal L_X \,\mathrm{d}{x} ^i)\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j+g_{ij} \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \mathcal L_X \,\mathrm{d}{x} ^j\\ &= Xg_{ij}+g_{ij} \,\mathrm{d}{X} ^i\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j+g_{ij} \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \,\mathrm{d}{X} ^j\\ &=Xg_{ij}+g_{kj} \frac{\partial X^k}{\partial x^i} \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j+g_{ik} \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \frac{\partial X^k}{\partial x^j} \,\mathrm{d}{x} ^j\\ &=(Xg_{ij}+g_{jk} \frac{\partial X^k}{\partial x^i} +g_{ik} \frac{\partial X^k}{\partial x^j} ) \,\mathrm{d}{x} ^i\otimes \,\mathrm{d}{x} ^j~. \end{aligned} \end{equation}
2. $(\nabla_iX)_j+(\nabla_j X)_i=0$
3. 对于任意向量 $Y,Z$ 有 $g\left(\nabla_YX,Z\right)+g\left(Y,\nabla_ZX\right)=0$。