贡献者: JierPeter; Giacomo; addis; 叶月2_
1. 李代数
李代数(Lie algebra)是对域上的代数进行的一种推广。域上的代数是指域上的线性空间配合了一个矢量乘法,使得这个线性空间在矢量乘法下也能构成一个环。李代数也是域上线性空间配合了一个矢量乘法,这个矢量乘法和构成环的乘法几乎一样,但是有一点显著不同:将环乘法的结合律替代为 Jacobi 结合性。
李代数在现代理论物理的时空研究中应用广泛,常用于描述光滑张量场之间的作用——要注意的是,此时我们把一个光滑张量场本身看成一个向量。
定义 1 李代数
给定域 上的一个线性空间 。在 上定义一个 “乘法” 运算 ,对于任意 ,将它们的运算结果记为 ,称为李括号。 被称为一个李代数,如果它满足以下性质:
- 封闭性 对于任意 ,。
- 双线性性1 对于任意 和任意 ,都有
- 反对称性 对于任意 ,有 。
- Jacobi 结合性 对于任意 ,有
由于李括号用有时也被视为乘法,因此有时也称之为括积。
李代数定义中的双线性性可以通过反对称性和单线性性2推出,所以和小时百科中群的定义一样,是有冗余的。
定义 2 交换李代数
设 为域 上的 维李代数,那么如果对于任意的 ,都有 (等价的 ),则称这是一个交换李代数(commutative Lie algebra)或阿贝尔李代数(abelian Lie algebra)。
李代数和结合代数定义 1 (很多时候直接称代数)的关系极为紧密,每个结合代数都可以唯一地导出一个李代数:
定理 1 结合代数导出李代数
设 是域 上的一个结合代数,以 为环的乘法,那么如果定义
其中 ,则 构成一个李代数。
证明:
封闭性是显然的,因为 是封闭的。
由这个括积的定义,反对称性也是显然的,因为 恒成立。
由反对称性,我们只需要证明单线性性即可推出双线性性: 和 ,有:
最后是 Jacobi 结合性:
依次轮换 和 的位置,即可相互抵消,得到 。
由式 4 ,轮换 和 的顺序后把得到的三个式子相加,即可以得到 Jacobi 结合性。
未完成:该证明不够清晰
证毕。
知道了每个结合代数可以对应一个李代数后,我们自然会好奇,每个李代数是不是也能 “对应” 一个结合代数?答案是肯定的,见泛包络代数。
定义 3 中心
设 为域 上的李代数,记 ,称之为 的中心(center)。
李代数的中心,概念直接来自群等其它代数结构的中心,即 “和所有元素的运算都交换的元素所构成的集合”。对李代数来说,交换意味着李括号的结果为 。
2. 例子
结合代数对应李代数这一事实,使得我们很容易联想到一个常见的结合代数:矩阵代数。在本文中,将域 上的 阶可逆方阵的集合记为 ,那么这个集合自然构成 上的一个线性空间(以矩阵加法为向量加法),而矩阵乘法则使之构成一个环,因此这是一个结合代数。
例 1 一般线性李代数
域 上的 是一个结合代数。由这个结合代数可以导出李代数,其中对于矩阵 和 ,括积的定义为 。该李代数被称为一般线性李代数,名称和一般线性群 对应。
例 2 特殊线性李代数
对于域 和正整数 ,记 为 中迹为 的矩阵构成的结合代数,则它可以导出一个特殊线性李代数,名称也和特殊线性群 对应。
例 3 三维向量叉积
域 上的三维线性空间 中,将括积定义为叉积:,有 。那么这个线性空间配上叉积可以得到一个李代数。
例 4 李代数的积
若 都是李代数,那么定义李代数的积 ,对于任意 ,李括号运算为
可以证明,该李括号的定义满足李代数的必须性质。因此,“李代数的积” 也是李代数。
3. 结构常数
李代数的括积的作用是把两个向量映射为一个向量,而且还要求具有双线性性,因此括积实际上是一个三阶张量。如果设 为域 上的 维李代数,而 为它的一组基,那么对于任意的 和 ,存在 ,使得 3。这样的 就是括积张量的三维矩阵表示。
显然,括积张量的三维矩阵表示依赖于基的选取,和所有其它张量一样。当选定基以后,所得到的矩阵称为 关于基 的结构常数。
定理 2
设 为域 上的 维李代数,它在基 下的结构常数为 ,那么有:
- 。
- 。
定理 2 的证明思路简述如下,细节读者可自行补充:对于第一条,直接应用反交换性;对于第二条,考虑 ,再应用反交换性就能直接得到式中左边的第二项,以此类推,应用 Jacobi 结合性即可得到整个式子。
结构常数唯一地对应李代数,也就是说,我们也可以任取一个线性空间,然后通过定义满足定理 2 的结构常数来定义括积,从而得到一个李代数。
定理 3 结构常数的变换
设 为域 上的 维李代数,它在基 下的结构常数为 ,在基 下的结构常数为 ,而且有过渡矩阵 使得 ,那么有变换法则:
证明:
比较式 7 和式 8 ,消去 即可得 。
证毕。
回顾张量的坐标变换文章,我们发现这就是三阶张量的坐标变换式。
1. ^ 如果用爱因斯坦求和约定来表达,双线性性还可以写为 。
2. ^ 即对于参与运算的双方中某一方线性就可以,比如对后面的线性:。
3. ^ 注意使用爱因斯坦求和约定。
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