李代数

贡献者： JierPeter; Giacomo; addis; 叶月2_

预备知识 1　域上的代数

1. 李代数

　　李代数（Lie algebra）是对域上的代数进行的一种推广。域上的代数是指域上的线性空间配合了一个矢量乘法，使得这个线性空间在矢量乘法下也能构成一个环。李代数也是域上线性空间配合了一个矢量乘法，这个矢量乘法和构成环的乘法几乎一样，但是有一点显著不同：将环乘法的结合律替代为 Jacobi 结合性。

　　李代数在现代理论物理的时空研究中应用广泛，常用于描述光滑张量场之间的作用——要注意的是，此时我们把一个光滑张量场本身看成一个向量。

定义 1　李代数

　　给定域 $F$ 上的一个线性空间 $V$ 。在 $V$ 上定义一个 “乘法” 运算 $[\cdot, \cdot] : V \times V \to V$ ，对于任意 $v_{1}, v_{2} \in V$ ，将它们的运算结果记为 $[v_{1}, v_{2}]$ ，称为李括号。 $(V, [\cdot, \cdot])$ 被称为一个李代数，如果它满足以下性质：

封闭性 对于任意 $v_{1}, v_{2} \in V$ , $[v_{1}, v_{2}] \in V$ 。
双线性性¹ 对于任意 $c_{1}, c_{2} \in F$ 和任意 $v, v_{1}, v_{2}, u, u_{1}, u_{2} \in V$ ，都有
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} [v, c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2}] & = c_{1} [v, u_{1}] + c_{2} [v, u_{2}], \\ [c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2}, u] & = c_{1} [v_{1}, u] + c_{2} [v_{1}, u_{2}] . \end{aligned} \end{matrix}$
反对称性 对于任意 $v, u \in V$ ，有 $[v, u] = - [u, v]$ 。
Jacobi 结合性 对于任意 $x, y, z \in V$ ，有
$\begin{matrix} (2) & [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0 . \end{matrix}$

　　由于李括号用有时也被视为乘法，因此有时也称之为括积。

　　李代数定义中的双线性性可以通过反对称性和单线性性²推出，所以和小时百科中群的定义一样，是有冗余的。

定义 2　交换李代数

　　设 $g$ 为域 $F$ 上的 $n$ 维李代数，那么如果对于任意的 $x, y \in g$ ，都有 $[x, y] = [y, x]$ （等价的 $[x, y] = 0$ ），则称这是一个交换李代数（commutative Lie algebra）或阿贝尔李代数（abelian Lie algebra）。

　　李代数和结合代数定义 1 （很多时候直接称代数）的关系极为紧密，每个结合代数都可以唯一地导出一个李代数：

定理 1　结合代数导出李代数

　　设 $A$ 是域 $F$ 上的一个结合代数，以 $\times$ 为环的乘法，那么如果定义 $[x, y] := x \times y - y \times x,$ 其中 $x, y \in A$ ，则 $(A, [\cdot, \cdot])$ 构成一个李代数。

　　证明：

　　封闭性是显然的，因为 $\times$ 是封闭的。

　　由这个括积的定义，反对称性也是显然的，因为 $x \times y - y \times x = - (y \times x - x \times y)$ 恒成立。

　　由反对称性，我们只需要证明单线性性即可推出双线性性： $\forall x, y, z \in A$ 和 $a, b \in F$ ，有：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} [a x + b y, z] & = (a x + b y) \times z - z \times (a x + b y) \\ = a x \times z + b y \times z - a z \times x - b z \times y \\ = a (x \times z - z \times x) + b (y \times z - z \times y) \\ = a [x, z] + b [y, z] . \end{aligned} \end{matrix}

　　最后是 Jacobi 结合性：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} [x, [y, z]] & = x \times (y \times z - z \times y) - (y \times z - z \times y) \times x \\ = x \times (y \times z) + (z \times y) \times x - (y \times z) \times x - x \times (z \times y) . \end{aligned} \end{matrix}

　　依次轮换 $x, y$ 和 $z$ 的位置，即可相互抵消，得到 $[x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0$ 。

　　由式 4 ，轮换 $x, y$ 和 $z$ 的顺序后把得到的三个式子相加，即可以得到 Jacobi 结合性。

未完成：该证明不够清晰

　　证毕。

　　知道了每个结合代数可以对应一个李代数后，我们自然会好奇，每个李代数是不是也能 “对应” 一个结合代数？答案是肯定的，见泛包络代数。

定义 3　中心

　　设 $g$ 为域 $F$ 上的李代数，记 $C (g) = {x \in g | \forall y \in g, [x, y] = 0}$ ，称之为 $g$ 的中心（center）。

　　李代数的中心，概念直接来自群等其它代数结构的中心，即 “和所有元素的运算都交换的元素所构成的集合”。对李代数来说，交换意味着李括号的结果为 $0$ 。

2. 例子

　　结合代数对应李代数这一事实，使得我们很容易联想到一个常见的结合代数：矩阵代数。在本文中，将域 $F$ 上的 $n$ 阶可逆方阵的集合记为 $gl (n, F)$ ，那么这个集合自然构成 $F$ 上的一个线性空间（以矩阵加法为向量加法），而矩阵乘法则使之构成一个环，因此这是一个结合代数。

例 1　一般线性李代数

　　域 $F$ 上的 $gl (n, F)$ 是一个结合代数。由这个结合代数可以导出李代数，其中对于矩阵 $A$ 和 $B$ ，括积的定义为 $[A, B] = A B - B A$ 。该李代数被称为一般线性李代数，名称和一般线性群 $GL (n, F)$ 对应。

例 2　特殊线性李代数

　　对于域 $F$ 和正整数 $n$ ，记 $sl (n, F)$ 为 $gl (n, F)$ 中迹为 $0$ 的矩阵构成的结合代数，则它可以导出一个特殊线性李代数，名称也和特殊线性群 $SL (n, F)$ 对应。

例 3　三维向量叉积

　　域 $R$ 上的三维线性空间 $R^{3}$ 中，将括积定义为叉积： $\forall v, u \in R^{3}$ ，有 $[v, u] = v \times u$ 。那么这个线性空间配上叉积可以得到一个李代数。

例 4　李代数的积

　　若 $g, h$ 都是李代数，那么定义李代数的积 $g \times h$ ，对于任意 $X, X^{'} \in g, Y, Y^{'} \in h$ ，李括号运算为

\begin{matrix} (5) & [(X, Y), (X^{'}, Y^{'})] = [[X, X^{'}], [Y, Y^{'}]] . \end{matrix}

可以证明，该李括号的定义满足李代数的必须性质。因此，“李代数的积” 也是李代数。

3. 结构常数

预备知识 2　张量的坐标变换，爱因斯坦求和约定

　　李代数的括积的作用是把两个向量映射为一个向量，而且还要求具有双线性性，因此括积实际上是一个三阶张量。如果设 $g$ 为域 $F$ 上的 $n$ 维李代数，而 ${x_{i}}$ 为它的一组基，那么对于任意的 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ ，存在 $C_{i j}^{k} \in F$ ，使得 $[x_{i}, x_{j}] = C_{i j}^{k} x_{k}$ ³。这样的 $C_{i j}^{k}$ 就是括积张量的三维矩阵表示。

　　显然，括积张量的三维矩阵表示依赖于基的选取，和所有其它张量一样。当选定基以后，所得到的矩阵称为 $g$ 关于基 ${x_{i}}$ 的结构常数。

定理 2　

　　设 $g$ 为域 $F$ 上的 $n$ 维李代数，它在基 ${x_{i}}$ 下的结构常数为 $C_{i j}^{k}$ ，那么有：

$C_{i j}^{k} = - C_{j i}^{k}$ 。
$C_{i j}^{l} C_{l k}^{m} + C_{j k}^{l} C_{l i}^{m} + C_{k i}^{l} C_{l j}^{m} = 0$ 。

　　定理 2 的证明思路简述如下，细节读者可自行补充：对于第一条，直接应用反交换性；对于第二条，考虑 $[x_{i}, [x_{j}, x_{k}]] = [x_{i}, C_{j k}^{l} x_{l}] = C_{j k}^{l} C_{i l}^{m} x_{m}$ ，再应用反交换性就能直接得到式中左边的第二项，以此类推，应用 Jacobi 结合性即可得到整个式子。

　　结构常数唯一地对应李代数，也就是说，我们也可以任取一个线性空间，然后通过定义满足定理 2 的结构常数来定义括积，从而得到一个李代数。

定理 3　结构常数的变换

　　设 $g$ 为域 $F$ 上的 $n$ 维李代数，它在基 ${x_{i}}$ 下的结构常数为 $C_{i j}^{k}$ ，在基 ${y_{i}}$ 下的结构常数为 $D_{i j}^{k}$ ，而且有过渡矩阵 $a_{i}^{j}$ 使得 $y_{i} = a_{i}^{j} x_{j}$ ，那么有变换法则：

\begin{matrix} (6) & D_{i j}^{k} a_{k}^{j} = a_{i}^{m} a_{j}^{n} C_{m n}^{j} . \end{matrix}

　　证明：

\begin{matrix} (7) & [y_{i}, y_{j}] = D_{i j}^{k} y_{k} = D_{i j}^{k} a_{k}^{j} x_{j}, \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & [y_{i}, y_{j}] = [a_{i}^{m} x_{m}, a_{j}^{n} x_{n}] = a_{i}^{m} a_{j}^{n} [x_{m}, x_{n}] = a_{i}^{m} a_{j}^{n} C_{m n}^{j} x_{j} . \end{matrix}

　　比较式 7 和式 8 ，消去 $x_{j}$ 即可得 $D_{i j}^{k} a_{j}^{k} = a_{i}^{m} a_{j}^{n} C_{m n}^{j}$ 。

　　证毕。

　　回顾张量的坐标变换文章，我们发现这就是三阶张量的坐标变换式。

1. ^ 如果用爱因斯坦求和约定来表达，双线性性还可以写为 $[a^{i} v_{i}, b^{j} u_{j}] = a^{i} b^{j} [v_{i}, u_{j}]$ 。
2. ^ 即对于参与运算的双方中某一方线性就可以，比如对后面的线性： $[v, a x + b y] = a [v, x] + b [v, y]$ 。
3. ^ 注意使用爱因斯坦求和约定。

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李代数

1. 李代数

定义 1 李代数

定义 2 交换李代数

定理 1 结合代数导出李代数

定义 3 中心

2. 例子

例 1 一般线性李代数

例 2 特殊线性李代数

例 3 三维向量叉积

例 4 李代数的积

3. 结构常数

定理 2

定理 3 结构常数的变换

定义 1　李代数

定义 2　交换李代数

定理 1　结合代数导出李代数

定义 3　中心

例 1　一般线性李代数

例 2　特殊线性李代数

例 3　三维向量叉积

例 4　李代数的积

定理 2　

定理 3　结构常数的变换