李代数

                     

贡献者: JierPeter; Giacomo; addis; 叶月2_

预备知识 1 域上的代数

1. 李代数

   李代数(Lie algebra)是对域上的代数进行的一种推广。域上的代数是指域上的线性空间配合了一个矢量乘法,使得这个线性空间在矢量乘法下也能构成一个环。李代数也是域上线性空间配合了一个矢量乘法,这个矢量乘法和构成环的乘法几乎一样,但是有一点显著不同:将环乘法的结合律替代为 Jacobi 结合性。

   李代数在现代理论物理的时空研究中应用广泛,常用于描述光滑张量场之间的作用——要注意的是,此时我们把一个光滑张量场本身看成一个向量。

定义 1 李代数

   给定域 F 上的一个线性空间 V。在 V 上定义一个 “乘法” 运算 [,]:V×VV,对于任意 v1,v2V,将它们的运算结果记为 [v1,v2],称为李括号(V,[,]) 被称为一个李代数,如果它满足以下性质:

  • 封闭性 对于任意 v1,v2V,[v1,v2]V
  • 双线性性1 对于任意 c1,c2F 和任意 v,v1,v2,u,u1,u2V,都有
    (1)[v,c1u1+c2u2]=c1[v,u1]+c2[v,u2],[c1v1+c2v2,u]=c1[v1,u]+c2[v1,u2] .
  • 反对称性 对于任意 v,uV,有 [v,u]=[u,v]
  • Jacobi 结合性 对于任意 x,y,zV,有
    (2)[x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0 .

   由于李括号用有时也被视为乘法,因此有时也称之为括积

   李代数定义中的双线性性可以通过反对称性和单线性性2推出,所以和小时百科中群的定义一样,是有冗余的。

定义 2 交换李代数

   设 g 为域 F 上的 n 维李代数,那么如果对于任意的 x,yg,都有 [x,y]=[y,x](等价的 [x,y]=0),则称这是一个交换李代数(commutative Lie algebra)阿贝尔李代数(abelian Lie algebra)

   李代数和结合代数定义 1 (很多时候直接称代数)的关系极为紧密,每个结合代数都可以唯一地导出一个李代数:

定理 1 结合代数导出李代数

   设 A 是域 F 上的一个结合代数,以 × 为环的乘法,那么如果定义 [x,y]:=x×yy×x , 其中 x,yA,则 (A,[,]) 构成一个李代数。

   证明

   封闭性是显然的,因为 × 是封闭的。

   由这个括积的定义,反对称性也是显然的,因为 x×yy×x=(y×xx×y) 恒成立。

   由反对称性,我们只需要证明单线性性即可推出双线性性:x,y,zAa,bF,有:

(3)[ax+by,z]=(ax+by)×zz×(ax+by)=ax×z+by×zaz×xbz×y=a(x×zz×x)+b(y×zz×y)=a[x,z]+b[y,z] .

   最后是 Jacobi 结合性:

(4)[x,[y,z]]=x×(y×zz×y)(y×zz×y)×x=x×(y×z)+(z×y)×x(y×z)×xx×(z×y) .

   依次轮换 x,yz 的位置,即可相互抵消,得到 [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0

   由式 4 ,轮换 x,yz 的顺序后把得到的三个式子相加,即可以得到 Jacobi 结合性。

  

未完成:该证明不够清晰

   证毕

   知道了每个结合代数可以对应一个李代数后,我们自然会好奇,每个李代数是不是也能 “对应” 一个结合代数?答案是肯定的,见泛包络代数

定义 3 中心

   设 g 为域 F 上的李代数,记 C(g)={xg|yg,[x,y]=0},称之为 g中心(center)

   李代数的中心,概念直接来自群等其它代数结构的中心,即 “和所有元素的运算都交换的元素所构成的集合”。对李代数来说,交换意味着李括号的结果为 0

2. 例子

   结合代数对应李代数这一事实,使得我们很容易联想到一个常见的结合代数:矩阵代数。在本文中,将域 F 上的 n 阶可逆方阵的集合记为 gl(n,F),那么这个集合自然构成 F 上的一个线性空间(以矩阵加法为向量加法),而矩阵乘法则使之构成一个环,因此这是一个结合代数。

例 1 一般线性李代数

   域 F 上的 gl(n,F) 是一个结合代数。由这个结合代数可以导出李代数,其中对于矩阵 AB,括积的定义为 [A,B]=ABBA。该李代数被称为一般线性李代数,名称和一般线性群 GL(n,F) 对应。

例 2 特殊线性李代数

   对于域 F 和正整数 n,记 sl(n,F)gl(n,F) 中迹为 0 的矩阵构成的结合代数,则它可以导出一个特殊线性李代数,名称也和特殊线性群 SL(n,F) 对应。

例 3 三维向量叉积

   域 R 上的三维线性空间 R3 中,将括积定义为叉积:v,uR3,有 [v,u]=v×u。那么这个线性空间配上叉积可以得到一个李代数。

例 4 李代数的积

   若 g,h 都是李代数,那么定义李代数的积 g×h,对于任意 X,Xg,Y,Yh,李括号运算为

(5)[(X,Y),(X,Y)]=[[X,X],[Y,Y]] .
可以证明,该李括号的定义满足李代数的必须性质。因此,“李代数的积” 也是李代数。

3. 结构常数

预备知识 2 张量的坐标变换爱因斯坦求和约定

   李代数的括积的作用是把两个向量映射为一个向量,而且还要求具有双线性性,因此括积实际上是一个三阶张量。如果设 g 为域 F 上的 n 维李代数,而 {xi} 为它的一组基,那么对于任意的 xixj,存在 CijkF,使得 [xi,xj]=Cijkxk3。这样的 Cijk 就是括积张量的三维矩阵表示。

   显然,括积张量的三维矩阵表示依赖于基的选取,和所有其它张量一样。当选定基以后,所得到的矩阵称为 g 关于基 {xi}结构常数

定理 2 

   设 g 为域 F 上的 n 维李代数,它在基 {xi} 下的结构常数Cijk,那么有:

  1. Cijk=Cjik
  2. CijlClkm+CjklClim+CkilCljm=0

   定理 2 的证明思路简述如下,细节读者可自行补充:对于第一条,直接应用反交换性;对于第二条,考虑 [xi,[xj,xk]]=[xi,Cjklxl]=CjklCilmxm,再应用反交换性就能直接得到式中左边的第二项,以此类推,应用 Jacobi 结合性即可得到整个式子。

   结构常数唯一地对应李代数,也就是说,我们也可以任取一个线性空间,然后通过定义满足定理 2 的结构常数来定义括积,从而得到一个李代数。

定理 3 结构常数的变换

   设 g 为域 F 上的 n 维李代数,它在基 {xi} 下的结构常数Cijk,在基 {yi} 下的结构常数Dijk,而且有过渡矩阵aij 使得 yi=aijxj,那么有变换法则:

(6)Dijkakj=aimajnCmnj .

   证明

(7)[yi,yj]=Dijkyk=Dijkakjxj ,
(8)[yi,yj]=[aimxm,ajnxn]=aimajn[xm,xn]=aimajnCmnjxj .

   比较式 7 式 8 ,消去 xj 即可得 Dijkajk=aimajnCmnj

   证毕

   回顾张量的坐标变换文章,我们发现这就是三阶张量的坐标变换式。


1. ^ 如果用爱因斯坦求和约定来表达,双线性性还可以写为 [aivi,bjuj]=aibj[vi,uj]
2. ^ 即对于参与运算的双方中某一方线性就可以,比如对后面的线性:[v,ax+by]=a[v,x]+b[v,y]
3. ^ 注意使用爱因斯坦求和约定。


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