李代数

             

预备知识 域上的代数,爱因斯坦求和约定

1. 概念

   李代数是对域上的代数进行的一种推广.域上的代数是指域上的线性空间配合了一个矢量乘法,使得这个线性空间在矢量乘法下也能构成一个环.李代数也是域上线性空间配合了一个矢量乘法,这个矢量乘法和构成环的乘法几乎一样,但是有一点显著不同:将环乘法的结合律替代为 Jacobi 结合性.

   李代数在现代理论物理的时空研究中应用广泛,常用于描述光滑张量场之间的作用——要注意的是,此时我们把一个光滑张量场本身看成一个向量.

定义 1 李代数

   给定域 $\mathbb{F}$ 上的一个线性空间 $V$.在 $V$ 上定义一个 “乘法” 运算:对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2\in V$,将它们的运算结果记为 $[ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2]$.称这个结构 $(V, [*, *])$ 为一个李代数,如果它满足以下性质:

  • 封闭性 对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2\in V$,$[ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2]\in V$.
  • 双线性性 对于任意 $k_i, c_i\in \mathbb{F}$ 和任意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i, \boldsymbol{\mathbf{u}} _i\in V$,都有 $[k_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+k_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, c_1 \boldsymbol{\mathbf{u}} _1, c_2 \boldsymbol{\mathbf{u}} _2]=k_1c_1[ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{u}} _1]+k_1c_2[ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{u}} _2]+k_2c_1[ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, \boldsymbol{\mathbf{u}} _1]+k_2c_2[ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, \boldsymbol{\mathbf{u}} _2]$.
  • 反对称性 对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} \in V$,有 $[ \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} ]=-[ \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} ]$.
  • Jacobi 结合性 对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{z}} \in V$,有 $[ \boldsymbol{\mathbf{x}} , ([ \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{z}} ])]+[ \boldsymbol{\mathbf{z}} , ([ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} ])]+[ \boldsymbol{\mathbf{y}} , ([ \boldsymbol{\mathbf{z}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} ])]=0$.

   由于这个乘法用括号 $[*, *]$ 表示,因此有时也称之为 “括积”.

   李代数是对李群的性质进行进一步的抽象,是对李群的一些核心性质的代数刻画.

   李代数定义中的双线性性可以通过反对称性和单对称性1推出,所以和本书中群的定义一样,是有冗余的定义.如果用爱因斯坦求和约定来表达,双线性性还可以写为 $[a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i, b_j \boldsymbol{\mathbf{u}} _j]=a_ib_j[ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i, \boldsymbol{\mathbf{u}} _j]$.

定义 2 交换李代数

   设 $\mathfrak{g}$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维李代数,那么如果对于任意的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in\mathfrak{g}$,都有 $[ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} ]=0$,则称这是一个交换李代数(commutative Lie algebra)阿贝尔李代数(abelian Lie algebra)

   交换李代数之所以要求括积为零,是因为反对称性和交换性结合必然得到括积为零.

   李代数和结合代数的关系极为紧密.事实上,每个结合代数都可以唯一地导出一个李代数,这由以下定理决定:

定理 1 结合代数导出李代数

   设 $\mathfrak{A}$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的一个结合代数,即 $\mathfrak{A}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的线性空间,且定义了一个乘法 $\times$ 使得它还成为一个环,那么如果定义 $\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in\mathfrak{A}, [ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} ]= \boldsymbol{\mathbf{x}} \times \boldsymbol{\mathbf{y}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} \times \boldsymbol{\mathbf{x}} $,则这个括号 $[*, *]$ 配上 $\mathfrak{A}$ 构成一个李代数.

   证明

   封闭性是显然的,因为 $\times$ 是封闭的.

   由这个括积的定义,反对称性也是显然的,因为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \times \boldsymbol{\mathbf{y}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} \times \boldsymbol{\mathbf{x}} =-( \boldsymbol{\mathbf{y}} \times \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} \times \boldsymbol{\mathbf{y}} )$ 恒成立.

   由反对称性,我们只需要证明单线性性即可:$\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{z}} \in\frak{A}$ 和 $a, b\in\mathbb{F}$,有:

\begin{equation} \begin{aligned} {[a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{z}} ]}&=(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )\times \boldsymbol{\mathbf{z}} - \boldsymbol{\mathbf{z}} \times(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\ &=a \boldsymbol{\mathbf{x}} \times \boldsymbol{\mathbf{z}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} \times \boldsymbol{\mathbf{z}} -a \boldsymbol{\mathbf{z}} \times \boldsymbol{\mathbf{x}} -b \boldsymbol{\mathbf{z}} \times \boldsymbol{\mathbf{y}} \\ &=a( \boldsymbol{\mathbf{x}} \times \boldsymbol{\mathbf{z}} - \boldsymbol{\mathbf{z}} \times \boldsymbol{\mathbf{x}} )+b( \boldsymbol{\mathbf{y}} \times \boldsymbol{\mathbf{z}} - \boldsymbol{\mathbf{z}} \times \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\ &=a[ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{z}} ]+b[ \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{z}} ] \end{aligned} \end{equation}

   最后是 Jacobi 结合性:

\begin{equation} \begin{aligned} {[ \boldsymbol{\mathbf{x}} , [ \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{z}} ]]}&= \boldsymbol{\mathbf{x}} \times ( \boldsymbol{\mathbf{y}} \times \boldsymbol{\mathbf{z}} - \boldsymbol{\mathbf{z}} \times \boldsymbol{\mathbf{y}} )-( \boldsymbol{\mathbf{y}} \times \boldsymbol{\mathbf{z}} - \boldsymbol{\mathbf{z}} \times \boldsymbol{\mathbf{y}} )\times \boldsymbol{\mathbf{x}} \\ &= \boldsymbol{\mathbf{x}} \times( \boldsymbol{\mathbf{y}} \times \boldsymbol{\mathbf{z}} )+( \boldsymbol{\mathbf{z}} \times \boldsymbol{\mathbf{y}} )\times \boldsymbol{\mathbf{x}} -( \boldsymbol{\mathbf{y}} \times \boldsymbol{\mathbf{z}} )\times \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} \times( \boldsymbol{\mathbf{z}} \times \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\ &=( \boldsymbol{\mathbf{x}} \times \boldsymbol{\mathbf{y}} )\times \boldsymbol{\mathbf{z}} + \boldsymbol{\mathbf{z}} \times( \boldsymbol{\mathbf{y}} \times \boldsymbol{\mathbf{x}} )- \boldsymbol{\mathbf{y}} \times( \boldsymbol{\mathbf{z}} \times \boldsymbol{\mathbf{x}} )-( \boldsymbol{\mathbf{x}} \times \boldsymbol{\mathbf{z}} )\times \boldsymbol{\mathbf{y}} \\ &=[ \boldsymbol{\mathbf{z}} ] \end{aligned} \end{equation}

   由式 2 ,轮换 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{z}} $ 的顺序后把得到的三个式子相加,即可以得到 Jacobi 结合性.

   证毕

   知道了每个结合代数可以对应一个李代数后,我们自然会好奇,每个李代数是不是也能对应一个结合代数?答案是肯定的,见2.要注意的是,这种对应可能并不是直接对应,比如说下面例 3 中的三维叉积,就不是直接对应到一个三维空间的结合代数,而是用四元数结合代数导出四维李代数以后,商去其中心得到的商代数.

定义 3 中心

   设 $\mathfrak{g}$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的李代数,记 $C(\mathfrak{g})=\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in\mathfrak{g}|\forall \boldsymbol{\mathbf{y}} \in\mathfrak{g}, [ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} ]= \boldsymbol{\mathbf{0}} \}$,称之为 $\mathfrak{g}$ 的中心(center)

   李代数的中心,概念直接来自群等其它代数结构的中心,即 “和所有元素的运算都交换的元素所构成的集合”.李代数的特殊之处在于,两个元素若交换,则它们的乘积为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $,因此我们如上定义.

2. 例子

   结合代数对应李代数这一事实,使得我们很容易联想到一个常见的结合代数:矩阵代数.在本文中,将域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆方阵的集合记为 $ \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$,那么这个集合自然构成 $\mathbb{F}$ 上的一个线性空间(以矩阵加法为向量加法),而矩阵乘法则使之构成一个环,因此这是一个结合代数.

例 1 一般线性李代数

   域 $\mathbb{F}$ 上的 $ \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$ 是一个结合代数.由这个结合代数可以导出李代数,其中对于矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $,括积的定义为 $[ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} ]= \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{A}} $.该李代数被称为一般线性李代数,名称和一般线性群 $ \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$ 对应.

例 2 特殊线性李代数

   对于域 $\mathbb{F}$ 和正整数 $n$,记 $ \operatorname {sl}(n, \mathbb{F})$ 为 $ \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$ 中迹为 $0$ 的矩阵构成的结合代数,则它可以导出一个特殊线性李代数,名称也和特殊线性群 $ \operatorname {sl}(n, \mathbb{F})$ 对应.

例 3 三维向量叉积

   域 $\mathbb{R}$ 上的三维线性空间 $\mathbb{R}^3$ 中,将括积定义为叉积:$\forall \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} \in \mathbb{R}^3$,有 $[ \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} ]= \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{u}} $.那么这个线性空间配上叉积可以得到一个李代数.

3. 结构常数

预备知识 张量的坐标变换

   李代数的括积的作用是把两个向量映射为一个向量,而且还要求具有双线性性,因此括积实际上是一个三阶张量.如果设 $\mathfrak{g}$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维李代数,而 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^i\}$ 为它的一组基,那么对于任意的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^i$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^j$,存在 $C_k^{ij}\in\mathbb{F}$,使得 $[ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^i, \boldsymbol{\mathbf{x}} ^j]=C_k^{ij} \boldsymbol{\mathbf{x}} ^k$.这样的 $C_k^{ij}$ 就是括积张量的三维矩阵表示.

   显然,括积张量的三维矩阵表示依赖于基的选取,和所有其它张量一样.当选定基以后,所得到的矩阵称为 $\mathfrak{g}$ 关于基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\}$ 的结构常数

定理 2 

   设 $\mathfrak{g}$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维李代数,它在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^i\}$ 下的结构常数为 $C_k^{ij}$,那么有:

  1. $C_k^{ij}=-C_k^{ji}$.
  2. $C_l^{ij}C_m^{lk}+C_l^{jk}C_m^{li}+C_l^{ki}C_m^{lj}=0$3

   定理 2 的证明思路简述如下,细节读者可自行补充:对于第一条,直接应用反交换性;对于第二条,考虑 $[ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^i, [ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^j, \boldsymbol{\mathbf{x}} ^k]]=[ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^i, C^{jk}_l \boldsymbol{\mathbf{x}} ^l=C^{il}_mC^{jk}_l \boldsymbol{\mathbf{x}} ^m$,再应用反交换性就能直接得到式中左边的第二项,以此类推,应用 Jacobi 结合性即可得到整个式子.

   结构常数唯一地对应李代数,也就是说,我们也可以任取一个线性空间,然后通过定义满足定理 2 的结构常数来定义括积,从而得到一个李代数.

定理 3 结构常数的变换

   设 $\mathfrak{g}$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维李代数,它在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^i\}$ 下的结构常数为 $C_k^{ij}$,在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{y}} ^i\}$ 下的结构常数为 $D_k^{ij}$,而且有过渡矩阵$a^i_j$ 使得 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} ^i=a^i_j \boldsymbol{\mathbf{x}} ^j$,那么有变换法则:

\begin{equation} D^{ij}_ka^k_j=a^i_ma^j_nC_j^{mn} \end{equation}

   证明

\begin{equation} [ \boldsymbol{\mathbf{y}} ^i, \boldsymbol{\mathbf{y}} ^j]=D^{ij}_k \boldsymbol{\mathbf{y}} ^k=D^{ij}_ka^k_j \boldsymbol{\mathbf{x}} ^j \end{equation}
\begin{equation} [ \boldsymbol{\mathbf{y}} ^i, \boldsymbol{\mathbf{y}} ^j]=[a^i_m \boldsymbol{\mathbf{x}} ^m, a^j_n \boldsymbol{\mathbf{x}} ^n]=a^i_ma^j_n[ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^m, \boldsymbol{\mathbf{x}} ^n]=a^i_ma^j_nC_j^{mn} \boldsymbol{\mathbf{x}} ^j \end{equation}

   比较式 4 式 5 ,消去 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^j$ 即可得 $D^{ij}_ka^k_j=a^i_ma^j_nC_j^{mn}$.

   证毕

   回顾张量的坐标变换词条,我们发现这就是三阶张量的坐标变换式.


1. ^ 即对于参与运算的双方中某一方线性就可以,比如对后面的线性:$[ \boldsymbol{\mathbf{v}} ,a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} ]=a[ \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} ]+b[ \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} ]$.
2. ^ 尚未创作到相关词条
3. ^ 注意使用爱因斯坦求和约定.

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