度量空间的稠密性
贡献者： 零穹
预备知识 度量空间的闭包
[1] 在序集中根据偏序关系有稠密性的概念。比如有理数集是实数集的稠密子集的是指任意满足 的两个实数 ，恒有有理数 存在，使得 。更一般的，偏序集 是偏序集 的稠密子集是指，任意 中满足 的两元素 ，恒有 ，使得 （见稠密性与完备性）。也就是说： 是 的稠密子集，相当于 中的两元素 “之间” 都有 的两元素将它们分隔。
同样，在度量空间中，根据 “距离关系” 也有稠密性的概念。类比序集中的稠密性概念，我们可以猜测：度量空间 在 中是稠密子集，是指在 的任意两不同的元素之间恒有 的元素将它们分隔。即，任意 的两元素 ，恒有 存在，使得 。若将 “分半”，取它们的 “中间点”,则中间点和 之间又有 的元素将它们分隔。如此继续分下去，就会发现，任意 的元素的任一邻域都必然存在 的元素。即 的每一点都是 接触点。这就是说 （闭包的概念）。
定义 1 稠密子集
设 是度量空间 的两个子集。若 ，则称 在 中稠密。若 ，则称 在 中处处稠密。
由上面定义，若 在 中不稠密，则 中包含有另一与 无任一公共点的球 。
定义 2 无处稠密
若度量空间 的子集 在任一球中不稠密，则称 无处稠密（或处处不稠密）。
定义 3 可分空间
设 是度量空间。若 处处稠密且可数，则称 是可分空间。
[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。