度量空间的稠密性

                     

贡献者： 零穹

    补充例子
预备知识　度量空间的闭包

　　 [1] 在序集中根据偏序关系有稠密性的概念。比如有理数集是实数集的稠密子集的是指任意满足 $a< b$ 的两个实数 $a,b$，恒有有理数 $c$ 存在，使得 $a\leq c\leq b$。更一般的，偏序集 $B$ 是偏序集 $A$ 的稠密子集是指，任意 $A$ 中满足 $a< b$ 的两元素 $a,b$，恒有 $c\in B$，使得 $a\leq c\leq b$（见稠密性与完备性）。也就是说：$B$ 是 $A$ 的稠密子集，相当于 $A$ 中的两元素 “之间” 都有 $B$ 的两元素将它们分隔。

　　 同样，在度量空间中，根据 “距离关系” 也有稠密性的概念。类比序集中的稠密性概念，我们可以猜测：度量空间 $B$ 在 $A$ 中是稠密子集，是指在 $A$ 的任意两不同的元素之间恒有 $B$ 的元素将它们分隔。即，任意 $a\neq b$ 的两元素 $a,b\in A$，恒有 $c\in B$ 存在，使得 $d(a,c)+d(c,b)=d(a,b)$。若将 $a,b$ “分半”，取它们的 “中间点”,则中间点和 $a,b$ 之间又有 $B$ 的元素将它们分隔。如此继续分下去，就会发现，任意 $A$ 的元素的任一邻域都必然存在 $B$ 的元素。即 $A$ 的每一点都是 $B$ 接触点。这就是说 $A\subset [B]$（闭包的概念）。

定义 1　稠密子集

　　 设 $A,B$ 是度量空间 $X$ 的两个子集。若 $A\subset [B]$，则称 $B$ 在 $A$ 中稠密。若 $[A]=X$，则称 $A$ 在 $X$ 中处处稠密。

　　 由上面定义，若 $A$ 在 $B$ 中不稠密，则 $B$ 中包含有另一与 $A$ 无任一公共点的球 $B'$。

定义 2　无处稠密

　　 若度量空间 $X$ 的子集 $A$ 在任一球中不稠密，则称 $A$ 无处稠密（或处处不稠密）。

定义 3　可分空间

　　 设 $X$ 是度量空间。若 $A\subset X$ 处处稠密且可数，则称 $X$ 是可分空间。

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版

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