多项式插值

贡献者： addis

预备知识　范德蒙矩阵、范德蒙行列式

　　若有 $n$ 个数据点 $x_{1}, \dots, x_{n}$ ， $y_{1}, \dots, y_{n}$ （ $x_{i}$ 互不相等），使用多项式

\begin{matrix} (1) & p_{m - 1} (x) = c_{0} + c_{1} x + \dots, c_{m - 1} x^{m - 1} . \end{matrix}

插值。需要用

m - 1

阶多项式插值，可以列出线性方程组

\begin{matrix} (2) & (\begin{matrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \dots & x_{1}^{m - 1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \dots & x_{2}^{m - 1} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} & \dots & x_{3}^{m - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \dots & x_{n}^{m - 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} c_{0} \\ c_{1} \\ c_{2} \\ ⋮ \\ c_{m - 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} y_{0} \\ y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{m - 1} \end{matrix}) . \end{matrix}

现在来讨论什么时候该方程有唯一解。事实上系数矩阵就是范德蒙矩阵，当

x_{i}

互不相等时，它的秩等于

min {m, n}

。所以当

m > n

时，存在无穷个解；当

n > m

时一般无解（见超定方程组）；当

n = m

时能确保有且仅有唯一解，因为此时系数矩阵是满秩矩阵。

未完成：例程

1. 龙格现象

　　¹若点的个数较多，做多项式插值时会出现龙格现象（Runge's phenomenon），即多项式在两个端点处剧烈振动。一种解决方法是使用多个低阶多项式插值（未完成：splint interp）。另一种方法是不用插值而改为拟合，当多项式阶数 $m - 1 < 2 \sqrt{n}$ 时，就不会出现龙格现象。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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