多项式插值
贡献者： addis
若有 $n$ 个数据点 $x_1, \dots, x_n$，$y_1, \dots, y_n$（$x_i$ 互不相等），使用多项式
\begin{equation}
p_{m-1}(x) = c_0 + c_1 x + \dots, c_{m-1}x^{m-1}~.
\end{equation}
插值。需要用 $m-1$ 阶多项式插值，可以列出线性方程组
\begin{equation}
\begin{pmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{m-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-1}\\
1 & x_3 & x_3^2 & \dots & x_3^{m-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{m-1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}c_0\\ c_1\\ c_2\\ \vdots \\ c_{m-1}\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}y_0\\ y_1\\ y_2\\ \vdots \\ y_{m-1}\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
现在来讨论什么时候该方程有唯一解。事实上系数矩阵就是
范德蒙矩阵，当 $x_i$ 互不相等时，它的秩等于 $\min \left\{m, n \right\} $。所以当 $m > n$ 时，存在无穷个解；当 $n > m$ 时一般无解（见
超定方程组）；当 $n = m$ 时能确保有且仅有唯一解，因为此时系数矩阵是满秩矩阵。
未完成：例程
1. 龙格现象
1若点的个数较多，做多项式插值时会出现龙格现象（Runge's phenomenon），即多项式在两个端点处剧烈振动。一种解决方法是使用多个低阶多项式插值（未完成：splint interp）。另一种方法是不用插值而改为拟合，当多项式阶数 $m-1 < 2\sqrt{n}$ 时，就不会出现龙格现象。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。