一般积分

贡献者：零穹

预备知识　基本知识（常微分方程）

　　¹下面将介绍常微分方程的一般积分，它是常微分方程解的一般形式。物理学中 “运动积分”（或 “运动方程的积分”）（运动积分）和 “循环积分” 中的 “积分” 之所以叫 “积分” 的原因，可以在本词条得到解答。

　　 “积分” 的概念源于微积分，“积分” 和 “导数” 彼此对应：“你” 是 “我” 的导数，“我” 就是 “你” 的积分，反之亦然。微分方程是关于未知函数导数的方程，其主要目的是要求得该未知函数，满足微分方程的未知函数称为该方程的解，所以微分方程的解当然就是微分方程中对应的导数的积分。由于这样的理由，人们也把微分方程的解叫作微分方程的积分。

1. $n$ 阶常微分方程的一般积分

　　 $n$ 阶常微分方程一般形式为（式 1 ）：

\begin{equation} F \left(x,y,y',\cdots,y^{(n)} \right) =0~, \end{equation}

或写成（式 3 ）

\begin{equation} y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})~. \end{equation}

自变量 $x$ 的任何函数，若满足方程式 1 或式 2 ，就叫作这方程的解；而微分方程的求解问题也叫作求微分方程的积分问题。

　　对于 $n$ 阶微分方程式 1 或式 2 ，有存在与唯一定理，它可以叙述为：若函数 $f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$ 是 $(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$ 的单值函数，且在 $(x_0,y_0,y_0',\cdots,y_0^{(n-1)})$ 的一邻域内，$f$ 连续且有对 $y,y',\cdots,y^{(n-1)}$ 的一阶连续偏微商，则满足初始条件

\begin{equation} y|_{x=x_0}=y_0,y'|_{x=x_0}=y_0',\cdots,y^{(n-1)}|_{x=x_0}=y_0^{(n-1)}~ \end{equation}

的解存在且唯一。

　　改变初始条件中的常数 $y_0,y_0',\cdots,y_0^{(n-1)}$，就可以得到微分方程式 1 或式 2 的无穷多个解。这就是说，微分方程的解依赖于 $n$ 个任意常数。一般来说，这 $n$ 个任意常数不一定以初始条件的形式在解中出现，而以一般的形式出现²：

\begin{equation} y=\varphi(x,C_1,\cdots,C_n)~. \end{equation}

定义 1　一般积分

　　微分方程式 2 的这样的含有 $n$ 个任意常数的解式 4 ，叫作方程式 2 的一般积分。

　　一般积分式 4 也可以写成隐示式

\begin{equation} \psi(x,y,C_1,\cdots,C_n)=0~. \end{equation}

给常数 $C_1,\cdots,C_n$ 以确定的值，就得到方程的一个特殊解。

　　由方程式 4 或式 5 对 $x$ 求导，直到 $n-1$ 阶，再用 $x=x_0$ 及初始条件式 3 代入，就得到 $n$ 个方程。由这 $n$ 个方程，就可以确定出对应初始条件式 3 的一般积分式 4 中的任意常数 $C_1,\cdots,C_n$。

2. 常微分方程组的一般积分

　　根据定理 2 ，一般的常微分方程组都等价于一阶的常微分方程组（标准常微分方程组定义 1 ）。这就是说，我们只需要讨论下面 $n$ 个一阶微分方程的方程组

\begin{equation} y_i'=f_i(x,y_1,\cdots,y_n)\qquad (i=1,\cdots,n)~ \end{equation}

像一个方程的情形一样，也有存在与唯一定理，其可叙述为：若函数

\begin{equation} f_i(x,y_1,\cdots,y_n)\qquad (i=1,\cdots,n)~ \end{equation}

在 $(x_0,y_1^{(0)},y_2^{(0)},\cdots,y_n^{(0)})$ 的一邻域内连续且有对 $y,y_1,\cdots,y_n$ 的一阶连续偏微商，则满足初始条件

\begin{equation} y_1|_{x=x_0}=y_1{(0)},y_2|_{x=x_0}=y_2^{(0)},\cdots,y_n|_{x=x_0}=y_n^{(0)}~ \end{equation}

的解 $y_i=\omega_i(x)$ 存在且唯一。

　　和一个方程时一样的理由，方程组式 6 的解依赖于 $n$ 个任意常数，这些常数以一般的形式出现在解中：

\begin{equation} y_i=\psi_i(x,C_1,\cdots,C_n)\qquad (i=1,\cdots,n)~. \end{equation}

定义 2　微分方程组的一般积分

　　微分方程组式 6 的这样的含有 $n$ 个任意常数的解式 9 ，叫作方程组式 6 的一般积分。

　　给常数 $C_1,\cdots,C_n$ 以确定的值，就得到方程组式 6 的特殊解。若代入初始条件于式 9 ，就可由 $n$ 个方程组

\begin{equation} y_i^{(0)}=\psi_i(x_0,C_1,\cdots,C_n) \qquad (i=1,\cdots,n)~. \end{equation}

求出满足初始条件式 8 的任意常数的值，再把这些值代入式 9 ，就得到满足初始条件式 8 的解。

　　由式 9 ，可以得到微分方程组一般解的下面形状的公式：

\begin{equation} \varphi_i(x,y_1,\cdots,y_n)=C_i\qquad (i=1,\cdots,n)~. \end{equation}

　　于是，为了从微分方程组的积分求出方程组的一般积分，需要求出方程组的 $n$ 个这样的积分，才能由等式式 11 解出解出 $y_1,\cdots,y_n$ 来。

定义 3　微分方程组的积分

　　式 11 中的每一个都叫作微分方程组式 6 的一个积分。

　　 上面的定义正是物理中的 “运动积分”、“循环积分” 的 “积分” 之涵义。

　　有时我们说方程组的积分，不是指等式式 11 ，而是指函数 $\varphi_i(x,y_1,\cdots,y_n)$。就是说，若把方程组的任何解代入函数 $\varphi(x,y_1,\cdots,y_n)$ 中，$\varphi$ 成为常数，则函数 $\varphi$ 叫作这方程组的积分。这里 $\varphi$ 当然不是常数，因为解的初始条件是随意的，这个常数当然也是随意的。显然，方程组的一些积分的任意函数 $F(\varphi_1,\cdots,\varphi_k)$ 也是方程组的积分，这只是由式 11 推得的，并非什么新结果。

1. ^ 参考斯米尔诺夫《高等数学》第 2 卷第 1 分册
2. ^ 关于这一点，可以这样理解：当 $n$ 个任易常数确定时，解是唯一的，所以 $n$ 阶微分方程的解具有 $n$ 个自由度，故解应以任意形式依赖于这 $n$ 个任意常数。而以初始条件出现的 $n$ 个数可以看成表示这 $n$ 个任意常数的参数 $C_1,\cdots,C_n$ 的函数，当 $C_1,\cdots,C_n$ 确定时，就确定了对应的初始值

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一般积分

1. $n$ 阶常微分方程的一般积分

定义 1 一般积分

2. 常微分方程组的一般积分

定义 2 微分方程组的一般积分

定义 3 微分方程组的积分

定义 1　一般积分

定义 2　微分方程组的一般积分

定义 3　微分方程组的积分