一般积分

                     

贡献者: 零穹

预备知识 基本知识(常微分方程)

  1下面将介绍常微分方程的一般积分,它是常微分方程解的一般形式。物理学中 “运动积分”(或 “运动方程的积分”)(运动积分)和 “循环积分” 中的 “积分” 之所以叫 “积分” 的原因,可以在本词条得到解答。

   “积分” 的概念源于微积分,“积分” 和 “导数” 彼此对应:“你” 是 “我” 的导数,“我” 就是 “你” 的积分,反之亦然。微分方程是关于未知函数导数的方程,其主要目的是要求得该未知函数,满足微分方程的未知函数称为该方程的解,所以微分方程的解当然就是微分方程中对应的导数的积分。由于这样的理由,人们也把微分方程的解叫作微分方程的积分

1. $n$ 阶常微分方程的一般积分

   $n$ 阶常微分方程一般形式为(式 1 ):

\begin{equation} F \left(x,y,y',\cdots,y^{(n)} \right) =0 \end{equation}
或写成(式 3
\begin{equation} y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)}) \end{equation}
自变量 $x$ 的任何函数,若满足方程式 1 式 2 ,就叫作这方程的;而微分方程的求解问题也叫作求微分方程的积分问题

   对于 $n$ 阶微分方程式 1 式 2 ,有存在与唯一定理,它可以叙述为:若函数 $f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$ 是 $(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$ 的单值函数,且在 $(x_0,y_0,y_0',\cdots,y_0^{(n-1)})$ 的一邻域内,$f$ 连续且有对 $y,y',\cdots,y^{(n-1)}$ 的一阶连续偏微商,则满足初始条件

\begin{equation} y|_{x=x_0}=y_0,y'|_{x=x_0}=y_0',\cdots,y^{(n-1)}|_{x=x_0}=y_0^{(n-1)} \end{equation}
的解存在且唯一。

   改变初始条件中的常数 $y_0,y_0',\cdots,y_0^{(n-1)}$,就可以得到微分方程式 1 式 2 的无穷多个解。这就是说,微分方程的解依赖于 $n$ 个任意常数。一般来说,这 $n$ 个任意常数不一定以初始条件的形式在解中出现,而以一般的形式出现2

\begin{equation} y=\varphi(x,C_1,\cdots,C_n) \end{equation}

定义 1 一般积分

   微分方程式 2 的这样的含有 $n$ 个任意常数的解式 4 ,叫作方程式 2 一般积分

   一般积分式 4 也可以写成隐示式

\begin{equation} \psi(x,y,C_1,\cdots,C_n)=0 \end{equation}
给常数 $C_1,\cdots,C_n$ 以确定的值,就得到方程的一个特殊解

   由方程式 4 式 5 对 $x$ 求导,直到 $n-1$ 阶,再用 $x=x_0$ 及初始条件式 3 代入,就得到 $n$ 个方程。由这 $n$ 个方程,就可以确定出对应初始条件式 3 的一般积分式 4 中的任意常数 $C_1,\cdots,C_n$。

2. 常微分方程组的一般积分

   根据定理 2 ,一般的常微分方程组都等价于一阶的常微分方程组(标准常微分方程组定义 1 )。这就是说,我们只需要讨论下面 $n$ 个一阶微分方程的方程组

\begin{equation} y_i'=f_i(x,y_1,\cdots,y_n),\quad i=1,\cdots,n \end{equation}
像一个方程的情形一样,也有存在与唯一定理,其可叙述为:若函数
\begin{equation} f_i(x,y_1,\cdots,y_n),\quad i=1,\cdots,n \end{equation}
在 $(x_0,y_1^{(0)},y_2^{(0)},\cdots,y_n^{(0)})$ 的一邻域内连续且有对 $y,y_1,\cdots,y_n$ 的一阶连续偏微商,则满足初始条件
\begin{equation} y_1|_{x=x_0}=y_1{(0)},y_2|_{x=x_0}=y_2^{(0)},\cdots,y_n|_{x=x_0}=y_n^{(0)} \end{equation}
的解 $y_i=\omega_i(x)$ 存在且唯一。

   和一个方程时一样的理由,方程组式 6 的解依赖于 $n$ 个任意常数,这些常数以一般的形式出现在解中:

\begin{equation} y_i=\psi_i(x,C_1,\cdots,C_n),\quad i=1,\cdots,n \end{equation}

定义 2 微分方程组的一般积分

   微分方程组式 6 的这样的含有 $n$ 个任意常数的解式 9 ,叫作方程组式 6 一般积分

   给常数 $C_1,\cdots,C_n$ 以确定的值,就得到方程组式 6 特殊解。若代入初始条件于 式 9 ,就可由 $n$ 个方程组

\begin{equation} y_i^{(0)}=\psi_i(x_0,C_1,\cdots,C_n),\quad i=1,\cdots,n \end{equation}
求出满足初始条件式 8 的任意常数的值,再把这些值代入式 9 ,就得到满足初始条件式 8 的解。

   由式 9 ,可以得到微分方程组一般解的下面形状的公式:

\begin{equation} \varphi_i(x,y_1,\cdots,y_n)=C_i,\quad i=1,\cdots,n \end{equation}

   于是,为了从微分方程组的积分求出方程组的一般积分,需要求出方程组的 $n$ 个这样的积分,才能由等式式 11 解出解出 $y_1,\cdots,y_n$ 来。

定义 3 微分方程组的积分

   式 11 中的每一个都叫作微分方程组式 6 的一个积分

   上面的定义正是物理中的 “运动积分”、“循环积分” 的 “积分” 之涵义

   有时我们说方程组的积分,不是指等式式 11 ,而是指函数 $\varphi_i(x,y_1,\cdots,y_n)$。就是说,若把方程组的任何解代入函数 $\varphi(x,y_1,\cdots,y_n)$ 中,$\varphi$ 成为常数,则函数 $\varphi$ 叫作这方程组的积分。这里 $\varphi$ 当然不是常数,因为解的初始条件是随意的,这个常数当然也是随意的。显然,方程组的一些积分的任意函数 $F(\varphi_1,\cdots,\varphi_k)$ 也是方程组的积分,这只是由式 11 推得的,并非什么新结果。


1. ^ 参考斯米尔诺夫《高等数学》第 2 卷第 1 分册
2. ^ 关于这一点,可以这样理解:当 $n$ 个任易常数确定时,解是唯一的,所以 $n$ 阶微分方程的解具有 $n$ 个自由度,故解应以任意形式依赖于这 $n$ 个任意常数。而以初始条件出现的 $n$ 个数可以看成表示这 $n$ 个任意常数的参数 $C_1,\cdots,C_n$ 的函数,当 $C_1,\cdots,C_n$ 确定时,就确定了对应的初始值


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