一阶常微分方程解法:变量可分离方程
贡献者: JierPeter
形如 的微分方程,称作变量可分离方程。这类方程是最容易解的。
对方程两边进行移项,得到 ,这样就把变量分离开了。两边同时求积分,得到等式
其中 是积分常数。
可见,式 1 的左边是 的函数,右边是 的函数,只要能把这两个积分写出来,那么微分方程也就解出来了。
例 1
考虑方程 。
分离变量后有
算出积分后可得
即
将 重新记为一个新的常数 ,那么该方程的通解最终就可以表示为
1. 可化为变量可分离形式的方程
定理 1
形如 的方程,可以化为变量可分离的形式。
证明:
定义一个新的变量 ,于是 ,于是 。
于是原方程可写为
也就是
这是一个关于 和 的变量可分离方程。
证毕。
例 2
考虑方程 。
根据定理 1 的证明结论,取 ,将方程改写为 4
进行变量分离后,积分得
这就是其通解。
推论 1
形如 的方程,可以化为变量可分离的形式。
证明:
当 的时候,方程就是 ,右边只需要上下同时除以 就可以得到 ,这就符合了定理 1 的情况。
但是当 和 不全为零的时候,我们就得想办法化成相同的情况。
和 分别表示两条直线。它们的交点在原点,当且仅当 ,也就是说现在考虑的情况是这两条直线的交点不在原点——那我们就把它挪到原点不就好了?
联立 和 ,求出交点 。作变量代换(也就是移动整个坐标系,使得原点跑到两直线交点处):
这样就有 和 。
同时由于是平移,换句话说变量代换里 和 是常数,因此还有 ,。
于是原方程化为
如前所述,这可以化为变量可分离形式。
证毕。
推论 2
形如 的方程,都可以化为变量可分离的形式。
证明:
用和推论 1 相同的方法作变量代换即可。
证毕。
例 3
考虑方程 。
直线 和 的交点是 ,因此我们作变量代换:
得到
将
式 13 右边上下同除以 以后得
按定理 1 的方式,令 ,则式 14 又化为
移项,整理得
两边积分后即可得解。式 16 左边的积分稍有复杂,但技巧不难。
例 4
考虑方程 。
直线 和 的交点是 ,因此我们作变量代换:
得到
将式 18 化为
按定理 1 的方式,令 ,则式 19 又化为
接下来只需要积分即可。不过说起来容易做起来难,这里关于 的积分非常复杂,解到这一步能看出来它可以变量分离即可。
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