一阶常微分方程解法:变量可分离方程

             

贡献者: JierPeter

预备知识 常微分方程简介

   形如 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=f(x)g(y)$ 的微分方程,称作变量可分离方程.这类方程是最容易解的.

   对方程两边进行移项,得到 $\frac{1}{g(y)} \,\mathrm{d}{y} =f(x) \,\mathrm{d}{x} $,这样就把变量分离开了.两边同时求积分,得到等式

\begin{equation} \int\frac{1}{g(y)} \,\mathrm{d}{y} =\int f(x) \,\mathrm{d}{x} +C \end{equation}
其中 $C$ 是积分常数.

   可见,式 1 的左边是 $y$ 的函数,右边是 $x$ 的函数,只要能把这两个积分写出来,那么微分方程也就解出来了.

例 1 

   考虑方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=xy$.

   分离变量后有

\begin{equation} \int\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{y} =\int x \,\mathrm{d}{x} +C \end{equation}

   算出积分后可得

\begin{equation} \ln \left\lvert y \right\rvert =\frac{1}{2}x^2+C \end{equation}

   即

\begin{equation} \left\lvert y \right\rvert = \mathrm{e} ^{\frac{1}{2}x^2}\cdot \mathrm{e} ^C \end{equation}

   将 $ \mathrm{e} ^C$ 重新记为一个新的常数 $K$,那么该方程的通解最终就可以表示为

\begin{equation} y=\pm K \mathrm{e} ^{\frac{1}{2}x^2} \end{equation}

习题 1 

   求解方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{x}{y}$.答案是 $ \left\lvert x \right\rvert = \left\lvert y \right\rvert $,也可以写成 $x^2=y^2$.

习题 2 

   求解方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{t} }=\frac{t^2}{v+b}$.答案是 $3v^2+6bv=2t^3$,也可以写成 $t=(\frac{3}{2}v^2+3bv)^{1/3}$.

1. 可化为变量可分离形式的方程

定理 1 

   形如 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=g(\frac{y}{x})$ 的方程,可以化为变量可分离的形式.

   证明

   定义一个新的变量 $u=\frac{y}{x}$,于是 $y=ux$,于是 $ \,\mathrm{d}{y} =u \,\mathrm{d}{x} +x \,\mathrm{d}{u} $.

   于是原方程可写为

\begin{equation} u+x\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{x} }=g(u) \end{equation}
也就是
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{g(u)-u}{x} \end{equation}

   这是一个关于 $x$ 和 $u$ 的变量可分离方程.

   证毕

例 2 

   考虑方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{y}{x}+ \mathrm{e} ^{-\frac{y}{x}}$.

   根据定理 1 的证明结论,取 $u=y/x$,将方程改写为 4

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{1}{x \mathrm{e} ^u} \end{equation}

   进行变量分离后,积分得

\begin{equation} \mathrm{e} ^u=\ln \left\lvert x \right\rvert +C \end{equation}

   这就是其通解.

推论 1 

   形如 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$ 的方程,可以化为变量可分离的形式.

   证明

   当 $c_1=c_2=0$ 的时候,方程就是 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{a_1x+b_1y}{a_2x+b_2y}$,右边只需要上下同时除以 $x$ 就可以得到 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{a_1+b_1\frac{y}{x}}{a_2+b_2\frac{y}{x}}$,这就符合了定理 1 的情况.

   但是当 $c_1$ 和 $c_2$ 不全为零的时候,我们就得想办法化成相同的情况.

   $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 分别表示两条直线.它们的交点在原点,当且仅当 $c_1=c_2=0$,也就是说现在考虑的情况是这两条直线的交点不在原点——那我们就把它挪到原点不就好了?

   联立 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$,求出交点 $(x_0, y_0)$.作变量代换(也就是移动整个坐标系,使得原点跑到两直线交点处):

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} X=x-x_0\\ Y=y-y_0 \end{aligned}\right. \end{equation}

   这样就有 $a_1X+b_1Y=0$ 和 $a_2X+b_2Y=0$.

   同时由于是平移,换句话说变量代换里 $x_0$ 和 $y_0$ 是常数,因此还有 $ \,\mathrm{d}{X} = \,\mathrm{d}{x} $,$ \,\mathrm{d}{Y} = \,\mathrm{d}{y} $.

   于是原方程化为

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{Y} }{ \,\mathrm{d}{X} }=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y} \end{equation}

   如前所述,这可以化为变量可分离形式.

   证毕

推论 2 

   形如 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=g(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2})$ 的方程,都可以化为变量可分离的形式.

   证明

   用和推论 1 相同的方法作变量代换即可.

   证毕

例 3 

   考虑方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{3x+2y-4}{x+3y+1}$.

   直线 $3x+2y-4=0$ 和 $x+3y+1=0$ 的交点是 $(2, -1)$,因此我们作变量代换:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} X=x-2\\ Y=y+1 \end{aligned}\right. \end{equation}
得到
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{Y} }{ \,\mathrm{d}{X} }=\frac{3X+2Y}{X+3Y} \end{equation}
式 13 右边上下同除以 $X$ 以后得
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{Y} }{ \,\mathrm{d}{X} }=\frac{3+2Y/X}{1+3Y/X} \end{equation}

   按定理 1 的方式,令 $U=Y/X$,则式 14 又化为

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{U} }{ \,\mathrm{d}{X} }=\frac{\frac{3+2U}{1+3U}-U}{X} \end{equation}

   移项,整理得

\begin{equation} \int\frac{3U+1}{-3U^2+U+3} \,\mathrm{d}{U} =\int\frac{1}{X} \,\mathrm{d}{X} +C \end{equation}

   两边积分后即可得解.式 16 左边的积分稍有复杂,但技巧不难.

例 4 

   考虑方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=(\frac{2x+2y-6}{x+3y-7})^2$.

   直线 $2x+2y-6=0$ 和 $x+3y-7=0$ 的交点是 $(1, 2)$,因此我们作变量代换:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} X=x-1\\ Y=y-2 \end{aligned}\right. \end{equation}
得到
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{Y} }{ \,\mathrm{d}{X} }=(\frac{2X+2Y}{X+3Y})^2 \end{equation}

   将式 18 化为

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{Y} }{ \,\mathrm{d}{X} }=(\frac{2+2Y/X}{1+3Y/X})^2 \end{equation}

   按定理 1 的方式,令 $U=Y/X$,则式 19 又化为

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{U} }{ \,\mathrm{d}{X} }=\frac{(\frac{2+2U}{1+3U})^2-U}{X} \end{equation}

   接下来只需要积分即可.不过说起来容易做起来难,这里关于 $U$ 的积分非常复杂,解到这一步能看出来它可以变量分离即可.


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