一阶常微分方程解法:变量可分离方程

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 常微分方程简介

   形如 dydx=f(x)g(y) 的微分方程,称作变量可分离方程。这类方程是最容易解的。

   对方程两边进行移项,得到 1g(y)dy=f(x)dx,这样就把变量分离开了。两边同时求积分,得到等式

(1)1g(y)dy=f(x)dx+C ,
其中 C 是积分常数。

   可见,式 1 的左边是 y 的函数,右边是 x 的函数,只要能把这两个积分写出来,那么微分方程也就解出来了。

例 1 

   考虑方程 dydx=xy

   分离变量后有

(2)1ydy=xdx+C .

   算出积分后可得

(3)ln|y|=12x2+C ,

   即

(4)|y|=e12x2eC .

   将 eC 重新记为一个新的常数 K,那么该方程的通解最终就可以表示为

(5)y=±Ke12x2 .

习题 1 

   求解方程 dydx=xy。答案是 |x|=|y|,也可以写成 x2=y2

习题 2 

   求解方程 dvdt=t2v+b。答案是 3v2+6bv=2t3,也可以写成 t=(32v2+3bv)1/3.

1. 可化为变量可分离形式的方程

定理 1 

   形如 dydx=g(yx) 的方程,可以化为变量可分离的形式。

   证明

   定义一个新的变量 u=yx,于是 y=ux,于是 dy=udx+xdu

   于是原方程可写为

(6)u+xdudx=g(u) ,
也就是
(7)dudx=g(u)ux ,

   这是一个关于 xu 的变量可分离方程。

   证毕

例 2 

   考虑方程 dydx=yx+eyx

   根据定理 1 的证明结论,取 u=y/x,将方程改写为 4

(8)dudx=1xeu .

   进行变量分离后,积分得

(9)eu=ln|x|+C ,

   这就是其通解。

推论 1 

   形如 dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2 的方程,可以化为变量可分离的形式。

   证明

   当 c1=c2=0 的时候,方程就是 dydx=a1x+b1ya2x+b2y,右边只需要上下同时除以 x 就可以得到 dydx=a1+b1yxa2+b2yx,这就符合了定理 1 的情况。

   但是当 c1c2 不全为零的时候,我们就得想办法化成相同的情况。

   a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 分别表示两条直线。它们的交点在原点,当且仅当 c1=c2=0,也就是说现在考虑的情况是这两条直线的交点不在原点——那我们就把它挪到原点不就好了?

   联立 a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0,求出交点 (x0,y0)。作变量代换(也就是移动整个坐标系,使得原点跑到两直线交点处):

(10){X=xx0Y=yy0 ,

   这样就有 a1X+b1Y=0a2X+b2Y=0

   同时由于是平移,换句话说变量代换里 x0y0 是常数,因此还有 dX=dxdY=dy

   于是原方程化为

(11)dYdX=a1X+b1Ya2X+b2Y .

   如前所述,这可以化为变量可分离形式。

   证毕

推论 2 

   形如 dydx=g(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2) 的方程,都可以化为变量可分离的形式。

   证明

   用和推论 1 相同的方法作变量代换即可。

   证毕

例 3 

   考虑方程 dydx=3x+2y4x+3y+1

   直线 3x+2y4=0x+3y+1=0 的交点是 (2,1),因此我们作变量代换:

(12){X=x2Y=y+1 .
得到
(13)dYdX=3X+2YX+3Y ,
式 13 右边上下同除以 X 以后得
(14)dYdX=3+2Y/X1+3Y/X ,

   按定理 1 的方式,令 U=Y/X,则式 14 又化为

(15)dUdX=3+2U1+3UUX ,

   移项,整理得

(16)3U+13U2+U+3dU=1XdX+C ,

   两边积分后即可得解。式 16 左边的积分稍有复杂,但技巧不难。

例 4 

   考虑方程 dydx=(2x+2y6x+3y7)2

   直线 2x+2y6=0x+3y7=0 的交点是 (1,2),因此我们作变量代换:

(17){X=x1Y=y2 ,
得到
(18)dYdX=(2X+2YX+3Y)2 .

   将式 18 化为

(19)dYdX=(2+2Y/X1+3Y/X)2 .

   按定理 1 的方式,令 U=Y/X,则式 19 又化为

(20)dUdX=(2+2U1+3U)2UX ,

   接下来只需要积分即可。不过说起来容易做起来难,这里关于 U 的积分非常复杂,解到这一步能看出来它可以变量分离即可。


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