一阶常微分方程解法：变量可分离方程

贡献者： JierPeter

　　 形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)$ 的微分方程，称作变量可分离方程。这类方程是最容易解的。

　　 对方程两边进行移项，得到 $\frac{1}{g(y)}\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x$，这样就把变量分离开了。两边同时求积分，得到等式

　　 可见，式 1 的左边是 $y$ 的函数，右边是 $x$ 的函数，只要能把这两个积分写出来，那么微分方程也就解出来了。

1. 可化为变量可分离形式的方程

　　 证明：

　　 定义一个新的变量 $u=\frac{y}{x}$，于是 $y=ux$，于是 $\mathrm{d}y=u\mathrm{d}x+x\mathrm{d}u$。

　　 于是原方程可写为

　　 这是一个关于 $x$ 和 $u$ 的变量可分离方程。

　　 证毕。

　　 证明：

　　 当 $c_1=c_2=0$ 的时候，方程就是 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_{1}x+b_{1}y}{a_{2}x+b_{2}y}$，右边只需要上下同时除以 $x$ 就可以得到 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_1+b_1\frac{y}{x}}{a_2+b_2\frac{y}{x}}$，这就符合了定理 1 的情况。

　　 但是当 $c_1$ 和 $c_2$ 不全为零的时候，我们就得想办法化成相同的情况。

　　 $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ 和 $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ 分别表示两条直线。它们的交点在原点，当且仅当 $c_1=c_2=0$，也就是说现在考虑的情况是这两条直线的交点不在原点——那我们就把它挪到原点不就好了？

　　 联立 $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ 和 $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$，求出交点 $(x_0,y_0)$。作变量代换（也就是移动整个坐标系，使得原点跑到两直线交点处）：

　　 这样就有 $a_{1}X+b_{1}Y=0$ 和 $a_{2}X+b_{2}Y=0$。

　　 同时由于是平移，换句话说变量代换里 $x_0$ 和 $y_0$ 是常数，因此还有 $\mathrm{d}X=\mathrm{d}x$，$\mathrm{d}Y=\mathrm{d}y$。

　　 于是原方程化为

　　 如前所述，这可以化为变量可分离形式。

　　 证毕。

　　 证明：

　　 用和推论 1 相同的方法作变量代换即可。

　　 证毕。