理想气体的状态密度(相空间)

             

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预备知识 $N$ 维球体的体积,相空间

   相空间中能量小于 $E$ 的状态数

\begin{equation} \Omega_0 = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \frac{(2\pi mE)^{3N/2}}{\Gamma(3N/2+1)} \end{equation}
关于能量的状态密度函数为
\begin{equation} g(E) = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \frac{(2\pi m)^{3N/2}}{\Gamma(3N/2)} E^{3N/2 - 1} \end{equation}
关于动量绝对值的状态密度函数为
\begin{equation} g(p) = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \frac{2\pi^{3N/2}}{\Gamma(3N/2)} p^{3N - 1} \end{equation}

1. 推导

   在 $N$ 个独立的,可区分粒子的相空间中,能量小于 $E$ 的状态数(体积除以 $h^{3N}$,无量纲)为

\begin{equation} \Omega_0 = \frac{1}{N! h^{3N}} \int\limits_{\sum p^2 \leqslant 2mE} \,\mathrm{d}^{3N}{q} \,\mathrm{d}^{3N}{p} = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \int\limits_{\sum p^2 \leqslant 2mE} \,\mathrm{d}^{3N}{p} \end{equation}
其中积分 $\int_{\dots} \,\mathrm{d}^{3N}{p} $ 可以看做 $n=3N$ 维球体的体积,半径为 $R = \sqrt{2mE}$.

   $n$ 维空间中球体的体积

\begin{equation} V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}R^n \end{equation}
代入 $n=3N$ 和 $R = \sqrt{2mE} $,得
\begin{equation} \int\limits_{\sum p^2 \leqslant 2mE} \,\mathrm{d}^{3N}{p} = \frac{(2\pi mE)^{3N/2}}{\Gamma(3N/2+1)} \end{equation}
代入式 4 式 1 .再对 $E$ 求导得式 2

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