多维球体的体积

             

预备知识 gamma 函数

   半径为 $R$ 的 $n$ 维欧几里得空间中的球体的体积可以用 $\Gamma$ 函数表示为

\begin{equation} V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)} R^n = \frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!} R^n \end{equation}
其中阶乘和 Gamma 函数的关系见式 1 .若定义 $n$ 维球体的表面满足方程 $\sum_{i=1}^n x_i^2 = R_n^2$,其中 $x_i$ 为 $n$ 维直角坐标系中第 $i$ 个坐标.所有满足 $\sum_{i=1}^n x_i^2 \leqslant R_n^2$ 的坐标点都定义为球内的点,且定义 $n$ 维直角坐标系中的体积为 $V_n = \int \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \dots \,\mathrm{d}{x_n} $,积分是对所有球内的点积分.

   如果这些定义看起来很抽象,不妨代入到三维空间中考虑.三维直角坐标系中,$x_1, x_2, x_3$ 分别是 $x,y,z$, $R_3$ 是球的半径,球表面上任意一点都满足 $x^2 + y^2 + z^2 = R_3^2$,且球的体积分为 $\int \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} $ 是对球内部的所有点积分.另外,若把上述定义代入到 1 维和 2 维,不难发现所谓的 “1 维球” 和 “2 维球” 分别是半径为 $R_1$ 的线段和半径为 $R_2$ 的圆.

1. 推导

   由于正常人的空间想象力最高是 3 维,我们先由 3 维以内的球体总结出体积的递推公式,这样即使我们无法想象高维球的形状,也可以计算其体积.下面在推导前 3 个维度时,请把所有 $x_1, x_2, x_3$ 想象成 $xyz$.

图
图 1:二维和三维球的体积

2. 1 维球

   这是一条线段,满足 $x_1^2 \leqslant R_1^2$,“体积” 就是线段长度

\begin{equation} V_1 = \int \,\mathrm{d}{x_1} = 2 R_1 \end{equation}

3. 2 维球

   这是一个圆,满足 $x_1^2 + x_2^2 \leqslant R_2^2$,在计算体积 $V_2 = \int \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} $ 时,可以先对 $x_1$ 积分再对 $x_2$ 积分

\begin{equation} V_2 = \int \left(\int \,\mathrm{d}{x_1} \right) \,\mathrm{d}{x_2} = \int V_1(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} \end{equation}
在几何上,这就是说把圆从沿 $x_1$ 轴切成许多一维球(线段),由 $x_1^2 \leqslant R_2^2 - x_2^2$,一维球的半径为 $R_1(x_2) = (R_2^2 - x_2^2)^{1/2}$.代入式 2 ,得 $x_2$ 处切出的一维球的体积(线段的长度)为
\begin{equation} V_1 (x_2) = \int \,\mathrm{d}{x_1} = 2R_1 = 2(R_2^2 - x_2^2)^{1/2} \end{equation}
再代入式 3 ,得二维球的体积为(注意 $ -R_2 < x_2 < R_2$)
\begin{equation} V_2 = \int V_1 \,\mathrm{d}{x_2} = \int 2 (R_2^2 - x_2^2)^{1/2} \,\mathrm{d}{x_2} = \pi R_2^2 \end{equation}

4. 3 维球

   这是一个球体,满足 $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \leqslant R_3^2$,计算体积 $V_3 = \int \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x_3} $ 时,可以先对 $x_1 x_2$ 积分

\begin{equation} V_3 = \int \left(\int \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \right) \,\mathrm{d}{x_3} = \int V_2(x_3) \,\mathrm{d}{x_3} \end{equation}
在几何意义上,这是说把球沿 $x_1 x_2$ 平面切成许多二维球(圆),然后把球的体积(面积)沿 $x_3$ 轴积分.由 $x_1^2 + x_2^2 \leqslant R_3^2 - x_3^2$,得 $x_3$ 处二维球半径为 $R_2 = (R_3^2 - x_3^2)^{1/2}$.由式 5 得体积为
\begin{equation} V_2 (x_3) = \pi R_2^2 = \pi (R_3^2 - x_3^2) \end{equation}
代入式 6 得三维球体积(注意 $-R_2 < x_2 < R_2$)
\begin{equation} V_3 = \int V_2(x_3) \,\mathrm{d}{x_3} = \int \pi (R_3^2 - x_3^2) \,\mathrm{d}{x_3} = \frac43 \pi R^3 \end{equation}

5. $n$ 维球

   由以上两个推导,可以在代数上总结出递推的规律.把 $n$ 维球在 $n+1$ 维积分,得1

\begin{equation} V_4 = \int_{-R}^R \frac43 \pi (R_4^2 - x_4^2)^{3/2} \,\mathrm{d}{x_4} = \frac12 \pi^2 R^4 \end{equation}
令 $n$ 维球体体积维 $C_n R^n$,那么可以总结出递推公式为
\begin{equation} V_{n+1} = \int_{-R}^R C_n (R^2 - x^2)^{n/2} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
使用换元积分法,令 $x = R\sin\theta$,有
\begin{equation} \begin{aligned} \int_{-R}^R (R^2 - x^2)^{n/2} \,\mathrm{d}{x} &= R^{n+1} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{n+1}\theta \,\mathrm{d}{\theta} \\ &= \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(n/2+1)}{\Gamma[(n+1)/2+1]} R^{n+1} \end{aligned} \end{equation}
用阶乘表示递归公式(式 1 ),就是
\begin{equation} C_{n+1} = C_n \frac{\sqrt{\pi}(n/2)!}{[(n+1)/2]!} \end{equation}
已知 $C_1 = 2$,易得
\begin{equation} C_n = \frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!} \end{equation}
这样就得到了式 1


1. ^ 可使用 Mathematica 软件计算积分,见 Mathematica 积分

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