二维无限深方势阱

             

预备知识 无限深势阱,分离变量法解偏微分方程

  1现在我们来看一个粒子的二维运动.定态薛定谔方程为

\begin{equation} H \Psi(x, y) = E \Psi(x, y) \end{equation}
其中哈密顿算符为
\begin{equation} H = -\frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}^2 + V(x, y) = -\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} -\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial{y}^{2}} + V(x, y) \end{equation}

   前两项分别为 $x$ 和 $y$ 方向的动能算符,$V(x, y)$ 为势能(算符)

\begin{equation} V(x, y) = \begin{cases} 0 & (0 \leqslant x \leqslant a,\: 0 \leqslant y \leqslant b)\\ +\infty & (\text{其他情况}) \end{cases} \end{equation}
$V(x, y)$ 可以看成 $V_x(x)$ 和 $V_y(y)$ 两个函数相加,他们的定义为
\begin{equation} V_x(x) = \begin{cases} 0 & (0 \leqslant x \leqslant a)\\ +\infty & (\text{其他情况}) \end{cases} \end{equation}
\begin{equation} V_y(y) = \begin{cases} 0 & (0 \leqslant y \leqslant b)\\ +\infty & (\text{其他情况}) \end{cases} \end{equation}
于是总哈密顿算符可以记为两部分,每部分是一个一维简谐振子的哈密顿算符
\begin{equation} H = H_x + H_y \end{equation}
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} H_x &= -\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} + V_x(x)\\ H_y &= -\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial{y}^{2}} + V_y(y) \end{aligned}\right. \end{equation}

   为什么这样做呢?这使我们可以使用分离变量法.令

\begin{equation} \Psi(x, y) = \Psi_x(x)\Psi_y(y) \end{equation}
代入薛定谔方程两边同除以 $\Psi_x(x)\Psi_y(y)$ 得
\begin{equation} \frac{H_x \Psi_x(x)}{\Psi_x(x)} + \frac{H_y \Psi_y(y)}{\Psi_y(y)} = E \end{equation}
由于第一项只和 $x$ 有关,第二项只和 $y$ 有关,所以它们都是常数,令
\begin{equation} \begin{cases} H_x \Psi_x(x) = E_x \Psi_x(x)\\ H_y \Psi_y(y) = E_y \Psi_y(y) \end{cases} \end{equation}
他们分别是一维简谐振子的定态薛定谔方程.他们的各个束缚态波函数(式 4 )分别为
\begin{equation} \Psi_{x, i}(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi}{a} x\right) \quad (i = 1,2,...) \end{equation}
\begin{equation} \Psi_{y, j}(y) = \sqrt{\frac{2}{b}} \sin\left(\frac{n\pi }{b} y\right) \quad (j = 1,2,...) \end{equation}
对应的能量分别为
\begin{equation} E_{x, i} = \frac{\pi^2}{2 a^2} i^2 \qquad E_{y, j} = \frac{\pi^2}{2 b^2} j^2 \end{equation}
则总哈密顿算符的束缚态可以记为它们的乘积
\begin{equation} \Psi_{i, j}(x, y) = \Psi_{x, i}(x) \Psi_{y, j}(y) = \frac{2}{\sqrt{ab}} \sin\left(\frac{i \pi}{a} x\right) \sin\left(\frac{j \pi}{b} x\right) \end{equation}
对应的能量为
\begin{equation} E_{i, j} = E_{x,i} + E_{y,j} = \frac{\pi^2}{2} \left(\frac{i^2}{a^2} + \frac{j^2}{b^2} \right) \end{equation}
另外,由于 $\Psi_{x, i}(x)$ 和 $\Psi_{y, j}(y)$ 都是完备的,它们的乘积也是完备的,即二维势阱中任意波函数可以表示为
\begin{equation} \Psi(x, y) = \sum_{i,j} C_{i, j} \Psi_{x, i}(x) \Psi_{y, j}(y) \end{equation}
事实上,这就是二维傅里叶级数.


1. ^ 本词条使用原子单位

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