WKB 近似

             

贡献者: 零穹; addis

  1在某些定态问题中,WKB 近似方法可以比较容易地求解一维定态薛定谔方程.该方法基于将波函数按 $\hbar$ 作幂级数展开,就其本身而言,有两个基本问题:1.在远离转折点处的近似解;2.在转折点处的连接条件.并通过这两个问题求解定态薛定谔方程.

   WKB 近似适用于势能 $V$ 相比于波长变化十分缓慢的情形,其一级近似公式为

\begin{equation} \begin{aligned} u(x)&=\frac{A}{\sqrt{k(x)}} \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \int^x k(y) \,\mathrm{d}{y} }\\ k(x)&\equiv\left\{\begin{aligned} & \left[\frac{2m}{\hbar^2} \left(E-V(x) \right) \right] ^{1/2},\quad \text{when}\; E > V(x)\\ &- \mathrm{i} \kappa(x)\equiv- \mathrm{i} \left[\frac{2m}{\hbar^2}(V(x)-E) \right] ^{1/2},\quad \text{when}\; E < V(x) \end{aligned}\right. \end{aligned} \end{equation}
其中,$u(x)$ 为定态薛定谔方程的解.

   在二者的转折点 $a$ 处,连接函数为艾里函数 $ \operatorname {Ai}$,详见 “线性势能的定态薛定谔方程”.在转折点处的连接公式为

\begin{equation} u(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{D}{\sqrt{\kappa(x)}} \mathrm{e} ^{\pm\int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} } ,\quad(E < V,\text{视积分结果取衰减项})\\ &\frac{2D}{\sqrt{k(x)}} \sin\left(\int_a^x k(y) \,\mathrm{d}{y} +\frac{\pi}{4}\right) ,\quad(E > V) \end{aligned}\right. \end{equation}

1. 证明

WKB 近似解

   薛定谔方程

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\psi \end{equation}
的解一般总能写成如下形式
\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} W( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)/\hbar} \end{equation}
式 4 代入式 3 得到 $W$ 满足的方程
\begin{equation} \frac{\partial W}{\partial t} +\frac{1}{2m}(\nabla W)^2+V-\frac{ \mathrm{i} \hbar}{2m}\Delta W=0 \end{equation}
在经典极限($\hbar\rightarrow 0$)下,式 5 等同 $W$ (称为主函数)的哈密顿方程
\begin{equation} \frac{\partial W}{\partial t} +\frac{1}{2m}(\nabla W)^2+V=0 \end{equation}
如果 $\psi$ 是能量本征函数 $u( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Et/\hbar}$,则 $W$ 可写成
\begin{equation} W( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=S( \boldsymbol{\mathbf{r}} )-Et \end{equation}
在这种情况下,我们有
\begin{equation} u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} S( \boldsymbol{\mathbf{r}} )} \end{equation}
\begin{equation} \frac{1}{2m}(\nabla S)^2- \left[E-V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right] -\frac{ \mathrm{i} \hbar}{2m}\Delta S=0 \end{equation}

   在一维情况下,WKB 方法得到 $S$ 的按 $\hbar$ 幂展开式的头两项可以清楚的给出.下面以一维定态为例.

   一维薛定谔方程可写为 [21]

\begin{equation} \begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + \left[k(x) \right] ^2u=0\\ &k(x)\equiv\left\{\begin{aligned} & \left[\frac{2m}{\hbar^2} \left(E-V(x) \right) \right] ^{1/2},\quad \text{when}\; E > V(x)\\ &- \mathrm{i} \kappa(x)\equiv- \mathrm{i} \left[\frac{2m}{\hbar^2}(V(x)-E) \right] ^{1/2},\quad \text{when}\; E < V(x) \end{aligned}\right. \end{aligned} \end{equation}

   我们寻求式 10 如下形式的解

\begin{equation} u(x)=A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} S(x)/\hbar} \end{equation}
将上式代入式 10 ,得
\begin{equation} \mathrm{i} \hbar S''-S'^2+\hbar^2 \left[k(x) \right] ^2=0 \end{equation}
其中,撇号表示对 $x$ 求导.将 $S(x)$ 按 $\hbar$ 之幂作级数展开
\begin{equation} S(x)=\sum_{n=0}\hbar^nS_n(x) \end{equation}
式 13 代入式 12
\begin{equation} \sum_{n=0} \left( \mathrm{i} S_n''-\sum_{i=0}^{n+1}S_{n+1-i}'S_i' \right) \hbar^{n+1}+\hbar^2 \left[k(x) \right] ^2-S_0'^2=0 \end{equation}
按幂次将上式分解为多个全微分方程
\begin{equation} \begin{aligned} -S_0'^2+\hbar^2 \left[k(x) \right] ^2&=0\\ \hbar \left( \mathrm{i} S_0''-2S_0'S_1' \right) &=0\\ \cdots \end{aligned} \end{equation}
为求出一级近似解,通过比较系数,给出头两个方程
\begin{equation} \begin{aligned} -S_0'^2+\hbar^2k^2=0;\\ \mathrm{i} S_0''-2S_0'S_1'=0 \end{aligned} \end{equation}
容易求得式 16 第一式的解为
\begin{equation} S_0(x)=\pm\hbar\int^x k(y) \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
利用上式和式 16 第一式代入式 16 第二式可得
\begin{equation} S_1(x)=\frac{ \mathrm{i} }{2}\ln k(x) \end{equation}
式 17 式 18 已经将任意常数略去了.将 $S_0$ 和 $S_1$ 的结果代入式 11 ,可得 $u(x)$ 的一级近似解
\begin{equation} u(x)=A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (S_0+\hbar S_1)/\hbar}=\frac{A}{\sqrt{k(x)}} \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \int^x k(y) \,\mathrm{d}{y} } \end{equation}

解的渐进性质

   欲使式 19 的解成立,显然必须要求展开式式 13 是合理的.为了保证一级近似解适用,应该要求

\begin{equation} \left\lvert \frac{\hbar( \mathrm{i} S_0''-2S_0'S_1')}{-S_0'^2+\hbar^2k^2} \right\rvert \ll1 \end{equation}
式 17 式 18
\begin{equation} S_0'=\pm\hbar k,\quad S_0''=\pm\hbar k',\quad S_1'=\frac{ \mathrm{i} k'}{2k} \end{equation}
式 21 代入式 20 ,得
\begin{equation} \left\lvert \frac{k'}{k^2} \right\rvert \ll1 \end{equation}
引入波长 $\lambda=\frac{2\pi}{ \left\lvert k \right\rvert }$,则
\begin{equation} \frac{\lambda}{2\pi} \left\lvert \frac{k'}{k} \right\rvert \ll1 \end{equation}
式 10 代入式 23
\begin{equation} \frac{\lambda}{2\pi} \left\lvert \frac{ \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{x}} }{2(E-V)} \right\rvert \ll1 \end{equation}
式 23 表明,在可以和 $\lambda$ 相比的小距离中,“动量” 的相对变化 $k'/k$ 要十分小.为保证这一点,只要 $V(x)$ 随 $x$ 变化得十分缓慢,而粒子的 “动能” $(E-V)$ 又很大,使得 $ \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{x}} $ 与 “动能” 相比要小得多,则式 23 式 24 才成立.这表明,WKB 近似方法的适用有着它的适用范围.

   显然,当 $E=V(x)$ 时(满足此式的式子称为转折点),式 20 不成立.由此 WKB 近似不适用,只有在离开最近的转折点几个波长的地方,WKB 近似解才可能是有效的.

   以上的讨论完全适用于中心力场的径向方程,因为在中心力场径向方程中,只需要将 $r$ 代替 $x$,以 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2m+2}$ 代替 $V(x)$,以 $u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 代替 $u(x)$,相应方程便与一维薛定谔方程完全类同.

连接公式

   既然在转折点附近式 13 式 19 的解不适用.因此需要寻找 WKB 波函数在转折点处的连接公式,这需要另辟蹊径.

图
图 1:转折点 $x=a$ 附近的势能曲线

   为方便讨论,不失一般性,通常假定在 $x=a$ 处有一转折点,即设

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &E > V(x),\quad x > a(\text{经典允许区})\\ &E=V(x),\quad x=a\\ &E < V(x),\quad x < a(\text{经典禁区}) \end{aligned}\right. \end{equation}
图 1 所示.

   建立连接公式基本思想是:首先在转折点附近求解薛定谔方程;其次给出该解在离开转折点 “较远处” 所具有的渐进形式;最后,将这渐进解形式与 WKB 解相比较,从而找出 WKB 波函数的连接公式.

   1.在转折点附近求解薛定谔方程

   由于 $V(x)$ 随 $x$ 发生缓慢变化,因此可在点 a 处将 $V(x)$ 泰勒展开,并取线性部分,即

\begin{equation} V(x)=V(a)+V'(a)(x-a)=E+V'(a)(x-a) \end{equation}
其中,$V'(a) < 0$.于是在 $a$ 点附近的薛定谔方程为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{x}^{2}} -\frac{2mV'(a)}{\hbar^2}(x-a)u=0 \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} &\alpha= \left(\frac{2mV'(a)}{\hbar^2} \right) ^{\frac{1}{3}}\\ &\xi=\alpha(x-a) \end{aligned} \end{equation}
式 27 式变为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\xi}^{2}} -\xi u=0 \end{equation}
这是艾里函数满足的微分方程式 1 .显然,$u$ 应是 $\mathrm{Ai}(\xi)$ 和 $\mathrm{Bi}(\xi)$ 的线性组合
\begin{equation} u=c_1 \mathrm{Ai}(\xi)+c_2 \mathrm{Bi}(\xi) \end{equation}

   在经典允许区($\xi < 0$)中,$\mathrm{Ai}(\xi),\mathrm{Bi}(\xi)$ 都是 式 29 满足有限条件的解.在经典禁区($\xi > 0$),式 29 满足有限条件的解为 $\mathrm{Ai}(\xi)$.为使得 $u$ 在 $\xi=0$ 处连续,必有 $c_2=0$,所以

\begin{equation} u=c_1\mathrm{Ai}(\xi) \end{equation}

   2.渐进形式

   由 $\mathrm{Ai(x)}$ 函数的渐进形式,得式 31 的渐进形式

\begin{equation} \begin{aligned} &c_1 \operatorname {Ai}(\xi) \overset{\xi \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{c_1}{2\sqrt{\pi} \xi^{1/4}} \exp\left(-\frac{2}{3}\xi^{3/2}\right) \\ &c_1 \operatorname {Ai}(\xi) \overset{\xi \to -\infty}{\longrightarrow} \frac{c_1}{\sqrt{\pi} \left\lvert \xi \right\rvert ^{1/4}} \sin\left(\frac{2}{3} \left\lvert \xi \right\rvert ^{3/2}+\frac{\pi}{4}\right) \\ \end{aligned} \end{equation}

   3.连接公式

   我们的问题是要给出在 “远离” 转折点的 WKB 近似解的连接公式.为此,我们以例题得形式来证明连接公式

例 1 连接公式

   如图 2 的势能曲线 $V(x)$.

图
图 2:具有两个转折点的势能曲线

   试证明在 $a$ 点的连接公式为

\begin{equation} u(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{c}{2\sqrt{\kappa(x)}} \mathrm{e} ^{\int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} } ,\quad(E < V)\\ &\frac{c}{\sqrt{k(x)}} \sin\left(\int_a^x k(y) \,\mathrm{d}{y} +\frac{\pi}{4}\right) ,\quad(E > V) \end{aligned}\right. \end{equation}
证明: 在阱内 $(a < x < b)$ 有 $E < V(x)$,仍为经典允许区(注意,这里 $\xi < 0$),按式 19 ,WKB 一级近似解可表示为
\begin{equation} u(x)=\frac{c}{\sqrt{k(x)}} \sin\left(\int^x k(y) \,\mathrm{d}{y} +\delta\right) \end{equation}
其中,$\delta$ 为待定相因子.$c$ 为常数.

   在点 $a$ 附近

\begin{equation} V(x)\approx E+V'(a)(x-a) \end{equation}
从而
\begin{equation} \begin{aligned} \int_a^xk(y) \,\mathrm{d}{y} &= \frac{\sqrt{2m}}{\hbar}\int_a^x\sqrt{E-V(y)} \,\mathrm{d}{y} =\frac{2}{3} \left\lvert \xi \right\rvert ^{3/2} \\ \sqrt{k(x)} &= \left\lvert \xi \right\rvert ^{1/4}\alpha^{1/2} \end{aligned} \end{equation}
式 36 两式代入式 34 ,可得 WKB 近似解为
\begin{equation} u= \frac{C}{ \left\lvert \xi \right\rvert ^{1/4}} \sin\left({\frac{2}{3} \left\lvert \xi \right\rvert ^{3/2}+\delta}\right) \end{equation}
其中,$C=c/\alpha^{1/2}$

   式 37 式 32 第二式对比得

\begin{equation} \delta=\frac{\pi}{4},\qquad C=\frac{c_1}{\sqrt{\pi}} \end{equation}
从而 WKB 一级近似波函数在 $s=a$ 附近的阱内处的连接公式为
\begin{equation} u(x)=\frac{c}{\sqrt{k(x)}} \sin\left(\int_a^x k(y) \,\mathrm{d}{y} +\frac{\pi}{4}\right) \end{equation}

   在阱外 a 点附近,有 $E > V(x)$,为经典禁区(注意,这里 $\xi > 0$),按式 19 ,WKB 一级近似解可表示为

\begin{equation} u(x)=\frac{c'}{\sqrt{\kappa(x)}} \mathrm{e} ^{\int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} } \end{equation}

   而

\begin{equation} \begin{aligned} \int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} &= \frac{\sqrt{2m}}{\hbar}\int_a^x\sqrt{V(y)-E} \,\mathrm{d}{y} =\frac{2}{3}\xi^{3/2} \\ \sqrt{\kappa(x)} &= \alpha^{1/2} \left\lvert \xi \right\rvert ^{1/4} \end{aligned} \end{equation}
故 WKB 一级近似解可表示为
\begin{equation} u(x)=\frac{C'}{\xi^{1/4}} \mathrm{e} ^{-\frac{2}{3}\xi^{3/2}} \end{equation}
其中,$C'=c'/\alpha^{1/2}$

   式 42 式 32 第一式比较得

\begin{equation} C'=\frac{c_1}{2\sqrt{\pi}} \end{equation}
式 43 式 38 比较得
\begin{equation} c=2c' \end{equation}
从而在转折点 $x=a$ 附近阱外连接公式为
\begin{equation} u(x)=\frac{c}{2\sqrt{\kappa(x)}} \mathrm{e} ^{\int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} } \end{equation}
综上,在 $a$ 点连接公式为
\begin{equation} u(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{c}{2\sqrt{\kappa(x)}} \mathrm{e} ^{\int_a^x\kappa(y) \,\mathrm{d}{y} } ,\quad(E < V)\\ &\frac{c}{\sqrt{k(x)}} \sin\left(\int_a^x k(y) \,\mathrm{d}{y} +\frac{\pi}{4}\right) ,\quad(E > V) \end{aligned}\right. \end{equation}

   利用同样的方法,可讨论在 $b$ 点的连接公式.

   这样,连接公式式 2 的成立将十分显然.

  

未完成:Griffiths 例题 Potential well with one vertical wall.


1. ^ 本文参考 [24]


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