无限深圆形势阱

             

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预备知识 定态薛定谔方程,柱坐标中的亥姆霍兹方程
图
图 1:量子围栏:在金属表面上,用单个原子围成的圆形量子中,扫描隧道显微镜检测到的电子波函数

\begin{equation} -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = E\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
令 $k = \sqrt{2mE}$,得到标准形式的亥姆霍兹方程
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = -k^2\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
使用分离变量法,角向波函数为
\begin{equation} \Theta_{m_z}(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{im_z \theta} \end{equation}
径向方程为式 6 ($l = 0$,$x = kr$)
\begin{equation} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + (x^2 - m_z^2)y = 0 \end{equation}
所以径向波函数为
\begin{equation} R_{m_z}(r) = J_{m_z}(kr) \end{equation}
从物理上来看,能量分为角速度产生的能量以及径向速度产生的能量,角动量已经由 $m_z$ 固定,所以 $r \to 0$ 时角速度产生的能量占主导,$J_{m_z}(kr)$ 的局部波长变长,而 $r\to \infty$ 时径向速度几乎占据所有能量,这时 $J_{m_z}(kr)$ 的局部波数趋近于 $k$.

   再考虑到边界条件要求 $R_{m_z}(a) = 0$,可以得到每个能级的 $k_n$,$E_n = k_n^2/2$.波函数的正交性也可以从贝塞尔函数对应的正交归一性质得到.

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