估算理想气体的熵

贡献者： ACertainUser

预备知识　理想气体的熵：纯微观分析

1. 估算熵

\begin{equation} S = k\ln \Omega = Nk \left(\ln \frac{V}{N} \frac{(2\pi mkT)^{3/2}}{h^3} + \frac52 \right) ~, \end{equation}

　　我们借此估算标准状态（$p=10^5 \,\mathrm{Pa} , T=298 \,\mathrm{K} $）下 $1 \,\mathrm{mol} $ 氢气的熵。

　　我们知道气体体积 $$V=\frac{NkT}{p}~,$$ 氢气分子质量 $$m = \frac{2}{1000 N_A} = \frac{1}{500 N_A}~,$$ 物理学常数 : $$ \begin{aligned} k &= 1.38 \times 10^{-23} \,\mathrm{J/K} \\ N_A &= 6.02 \times 10^{23} \,\mathrm{mol^{-1}} \\ h &= 6.63\times10^{-34} \,\mathrm{J\cdot s} \end{aligned} ~.$$

　　先计算式 1 对数部分， $$ \begin{aligned} & \ln \frac{V}{N} \frac{(2\pi mkT)^{3/2}}{h^3} \\ = & \ln \frac{kT}{p h^3} \left(\frac{2\pi kT}{500 N_A} \right) ^{3/2}\\ = & \frac{5}{2} \ln k + \ln T - \ln p - 3 \ln h + \frac{3}{2} \ln\left(2 \pi T\right) - \frac{3}{2} \ln 500 - \frac{3}{2} \ln N_A \\ \approx & 11.64\\ \end{aligned}~, $$ 因此 $$ \begin{aligned} S \approx Nk (11.64+5/2) \approx 117.50 \,\mathrm{J/K} \end{aligned}~, $$ 与物理化学中氢的标准生成熵 $S = 130.57 \,\mathrm{J/K} $¹ 在同一数量级，相对误差在 $10\%$ 左右。考虑到氢气并非单原子气体（氢气 $H_2$ 是分子气体，每一个氢分子由两个氢原子组成），以及氢气并非真正的 “理想气体”，这个估计应该已经足够准确了。

2. 估算微观状态数

　　我们知道：

\begin{equation} S = k \ln \Omega~, \end{equation}

因此， $$ \Omega = e^{S/k}~ \approx e^{10^{25}} ~. $$ 可见，气体的微观状态数粗略估计为 $10^{10^{24}}$，即 $1$ 后面跟着 $10^{24}$ 个零（不是 $24$ 个零！）。

　　如果把这个数打印在纸条上，假定每一个数字宽 $1 \,\mathrm{mm} = 10^{-3} \,\mathrm{m} $，那么纸条的长度大概是 $10^{21} \,\mathrm{m} = 10^6 \,\mathrm{ly} = 1000 \,\mathrm{kly} $²，即 $1000$ 千光年。相比之下，银河系直径大概为 $100 \,\mathrm{kly} $ 左右³。看起来这个纸条能绕银河系三圈！⁴

1. ^ 数据来源：朱文涛等人的《简明物理化学》附录
2. ^ $ \,\mathrm{ly} $ 是光年，$ \,\mathrm{kly} $ 是千光年，$1 \,\mathrm{ly} = 9.46\times10^{15} \,\mathrm{m} $, $1 \,\mathrm{kly} $ = $1000 \,\mathrm{ly} $
3. ^ 数据来源：NASA
4. ^ 由于我们的估计相当粗糙，因此或许你能多/少绕几圈！但不论如何，这个数是超银河级的大

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