估算理想气体的熵

贡献者： ACertainUser

预备知识　理想气体的熵：纯微观分析

1. 估算熵

\begin{matrix} (1) & S = k \ln Ω = N k (\ln \frac{V}{N} \frac{(2 π m k T)^{3 / 2}}{h^{3}} + \frac{5}{2}), \end{matrix}

　　我们借此估算标准状态（ $p = 10^{5} Pa, T = 298 K$ ）下 $1 mol$ 氢气的熵。

　　我们知道气体体积 $V = \frac{N k T}{p},$ 氢气分子质量 $m = \frac{2}{1000 N_{A}} = \frac{1}{500 N_{A}},$ 物理学常数 : $\begin{aligned} k & = 1.38 \times 10^{- 23} J / K \\ N_{A} & = 6.02 \times 10^{23} {mol}^{- 1} \\ h & = 6.63 \times 10^{- 34} J \cdot s \end{aligned} .$

　　先计算式 1 对数部分， $\begin{aligned} \ln \frac{V}{N} \frac{(2 π m k T)^{3 / 2}}{h^{3}} \\ = & \ln \frac{k T}{p h^{3}} {(\frac{2 π k T}{500 N_{A}})}^{3 / 2} \\ = & \frac{5}{2} \ln k + \ln T - \ln p - 3 \ln h + \frac{3}{2} \ln (2 π T) - \frac{3}{2} \ln 500 - \frac{3}{2} \ln N_{A} \\ \approx & 11.64 \end{aligned},$ 因此 $\begin{array}{r} S \approx N k (11.64 + 5 / 2) \approx 117.50 J / K \end{array},$ 与物理化学中氢的标准生成熵 $S = 130.57 J / K$ ¹ 在同一数量级，相对误差在 $10 %$ 左右。考虑到氢气并非单原子气体（氢气 $H_{2}$ 是分子气体，每一个氢分子由两个氢原子组成），以及氢气并非真正的 “理想气体”，这个估计应该已经足够准确了。

2. 估算微观状态数

　　我们知道：

\begin{matrix} (2) & S = k \ln Ω, \end{matrix}

因此，

Ω = e^{S / k} \approx e^{10^{25}} .

可见，气体的微观状态数粗略估计为

10^{10^{24}}

，即

1

后面跟着

10^{24}

个零（不是

24

个零！）。

　　如果把这个数打印在纸条上，假定每一个数字宽 $1 mm = 10^{- 3} m$ ，那么纸条的长度大概是 $10^{21} m = 10^{6} ly = 1000 kly$ ²，即 $1000$ 千光年。相比之下，银河系直径大概为 $100 kly$ 左右³。看起来这个纸条能绕银河系三圈！⁴

1. ^ 数据来源：朱文涛等人的《简明物理化学》附录
2. ^ $ly$ 是光年， $kly$ 是千光年， $1 ly = 9.46 \times 10^{15} m$ , $1 kly$ = $1000 ly$
3. ^ 数据来源：NASA
4. ^ 由于我们的估计相当粗糙，因此或许你能多/少绕几圈！但不论如何，这个数是超银河级的大

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