映射的同伦和空间的同伦

             

预备知识 映射空间

   同胚的两个拓扑空间是完全相同的,在拓扑学意义下无法区分.证明两个拓扑空间同胚通常是非常困难的,但证明两个拓扑空间不同胚却可以有很多容易计算的方法,其中一个方法就是证明两个拓扑空间不同伦

   同伦是一种比同胚弱一些的关系,是拓扑学中的一种代数性质.为了介绍拓扑空间中的同伦,我们首先要讨论映射的同伦.我们对于映射之间的关系和拓扑空间之间的关系都使用了 “同伦” 这一术语,但不会造成混淆,因为两个 “同伦” 之间是相互导出的概念,并且所针对的对象不同.

1. 映射的同伦

定义 1 映射的同伦

  

   设有两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$,以及它们之间的两个连续映射 $f_0, f_1:X\rightarrow Y$;记 $I=[0, 1]$,取度量空间 $\mathbb{R}$ 的子空间拓扑.如果存在一个连续映射 $H: X\times I\rightarrow Y$,使得对于任何 $x\in X$,都有 $H(x, 0)=f_0(x)$ 和 $H(x, 1)=f_1(x)$.那么我们称 $f_0$ 和 $f_1$ 是同伦的映射,记为 $f_0\overset{H}{\cong} f_1$,或者简单记为 $f_0\cong f_1$;$H$ 称为从 $f_0$ 到 $f_1$ 的一个同伦或者伦移

   同伦的本质是道路.这句话有两个含义:第一,固定 $X$ 中的某一点 $x_0$,那么 $H(x_0, I)=p(I)$ 就是一个 $I$ 到 $Y$ 的映射,即一条道路;第二,在映射空间 $Y^X$ 中来看,$f_0$ 和 $f_1$ 分别是两个点,而 $H$ 就可以看成是一个从闭区间 $I$ 到 $Y^X$ 上的映射,即道路.因此,我们有以下两条重要定理,一个写为习题,一个写为定理:

习题 1 映射的同伦是道路(对给定点)

   各空间和映射的定义同定义 1 .给定 $x_0\in X$,对于任何的 $t\in I$,构造映射 $p:I\rightarrow Y$,其中 $p(t)=H(x_0, t)$.证明 $p$ 是一个连续映射,从而说明 $p$ 是一条道路.

图
图 1:习题 1 的示意图.固定 $x_0$ 之后,$p(t)=H(x_0, t)$ 在 $Y$ 中画出一条轨迹.

定理 1 映射的同伦是道路(对同伦本身)

  

   各空间和映射的定义同定义 1 .如果 $p:I\rightarrow Y^X$ 满足 $p(t)=f_t$,那么 $p$ 是一个连续映射.由此可推论出,$H$ 本身可以看成是映射空间里的一条道路.

   证明:

   直接引用定理 2 ,令 $Z=I$,$f=H$,则 $p=\widetilde{f}$,因此 $p$ 是连续映射.

   证毕.

   以上两条定理分别对于 $X$ 中的给定点以及 $X$ 整体的角度描述了同伦和道路的关系.第二个定理说明,两映射同伦,等价于说两映射是同一条道路的两端,还等价于说两映射是同一条道路上的两点.由于道路可以首尾相接从而得到新的道路,因此同一个映射空间中,如果 $f\cong g$ 而 $g\cong h$,那么一定有 $f\cong h$.这就是说,同伦关系是具有传递性的.考虑到同伦关系显然还有自反性和对称性,我们直接可得如下定理:

定理 2 

   映射的同伦关系是一个等价关系.

   映射之间还有复合运算,同伦关系也会继承到复合运算上.

定理 3 映射同伦关系的继承

  

   设 $X$,$Y$ 和 $Z$ 是三个拓扑空间,$f_0, f_1:X\rightarrow Y$,$g_0, g_1:Y\rightarrow Z$ 分别是连续映射,且有 $f_0\overset{F}{\cong}f_1$ 和 $g_0\overset{G}{\cong}g_1$.那么 $g_0\circ f_0\cong g_1\circ f_1$.

   证明:

   由于 $F:X\times I\rightarrow Y$ 和 $g_0:Y\rightarrow Z$ 都是连续映射,故 $g_0\circ F:X\times I\rightarrow Z$ 是一个连续映射,故 $g_0\circ F$ 是一个连接了 $g_0\circ f_0$ 和 $g_0\circ f_1$ 的道路.故 $g_0\circ f_0\cong g_0\circ f_1$.

   类似地,$G\circ(f_1\times 1_I):X\times I\rightarrow Z$1是一个连接了 $g_0\circ f_1$ 和 $g_1\circ f_1$ 的道路,故 $g_0\circ f_1\cong g_1\circ f_1$.

   综上,由映射同伦的传递性,$g_0f_0\cong g_1f_1$.

   证毕.

2. 拓扑空间的同伦

定义 2 空间同伦

   设有两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$,如果存在连续映射 $f:X\rightarrow Y$ 和 $g:Y\rightarrow X$,使得 $gf\cong 1_X$ 且 $fg\cong 1_Y$,那么我们称 $X$ 和 $Y$ 是同伦的,或者说具有相同的伦型.$f$ 称为从 $X$ 到 $Y$ 的同伦等价,反过来 $g$ 是从 $Y$ 到 $X$ 的同伦等价,二者互为同伦逆

   同伦和同胚一样,也是一个等价关系,只是要更弱一些,使得不同胚的空间也有可能同伦.当然,同胚的空间必然同伦.

习题 2 

   证明空间的同伦具有传递性,从而推论同伦是一个等价关系.

3. 思考

   在映射空间中所定义的紧开拓扑看起来很不接地气.本小节习题 1 直观地阐释了同伦的意义,即对于每个固定点 $x_0\in X$,同伦 $H$ 都会在 $Y$ 中画出一条道路,这意味着每个点的映射都是连续地变化的.定理 1 说明,整体上来看,$H$ 本身是映射空间 $Y^X$ 中的一条道路.从这个联系来看,思考一下为什么要用紧开拓扑来定义映射空间.


1. ^ $1_I:I\rightarrow I$ 是恒等映射,$f_1\times 1_I$ 的定义见乘积拓扑中的习题 1

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