映射的同伦和空间的同伦

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　映射空间

　　同胚的两个拓扑空间是完全相同的，在拓扑学意义下无法区分。证明两个拓扑空间同胚通常是非常困难的，但证明两个拓扑空间不同胚却可以有很多容易计算的方法，其中一个方法就是证明两个拓扑空间不同伦。

　　同伦是一种比同胚弱一些的关系。为了介绍拓扑空间中的同伦，我们首先要讨论映射的同伦。我们对于映射之间的关系和拓扑空间之间的关系都使用了 “同伦” 这一术语，但不会造成混淆，因为两个 “同伦” 之间是相互导出的概念，并且所针对的对象不同。

1. 映射的同伦

定义 1　映射的同伦

　　设有两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$ ，以及它们之间的两个连续映射 $f_{0}, f_{1} : X \to Y$ ；记 $I = [0, 1]$ ，取度量空间 $R$ 的子空间拓扑。如果存在一个连续映射 $H : X \times I \to Y$ ，使得对于任何 $x \in X$ ，都有 $H (x, 0) = f_{0} (x)$ 和 $H (x, 1) = f_{1} (x)$ 。那么我们称 $f_{0}$ 和 $f_{1}$ 是同伦的映射，记为 $f_{0} \overset{H}{≅} f_{1}$ ，或者简单记为 $f_{0} ≅ f_{1}$ ； $H$ 称为从 $f_{0}$ 到 $f_{1}$ 的一个同伦或者伦移。

　　 同伦的本质是道路。这句话有两个含义：第一，固定 $X$ 中的某一点 $x_{0}$ ，那么 $p (t) := H (x_{0}, t)$ 就是一个 $I$ 到 $Y$ 的映射，是一条道路；第二，在映射空间 $Y^{X}$ 中来看， $f_{0}$ 和 $f_{1}$ 分别是两个点，而 $H$ 就可以看成是一个从闭区间 $I$ 到 $Y^{X}$ 上的映射，也是一条道路。因此，我们有以下两条重要定理，一个写为习题，一个写为定理：

习题 1　映射的同伦是道路（对给定点）

　　各空间和映射的定义同定义 1 。给定 $x_{0} \in X$ ，对于任何的 $t \in I$ ，构造映射 $p : I \to Y$ ，其中 $p (t) = H (x_{0}, t)$ 。证明 $p$ 是一个连续映射，从而说明 $p$ 是一条道路。

图 1：习题 1 的示意图。固定

x_{0}

之后，

p (t) = H (x_{0}, t)

在

Y

中画出一条轨迹。

定理 1　映射的同伦是道路（对同伦本身）

　　各空间和映射的定义同定义 1 。如果 $p : I \to Y^{X}$ 满足 $p (t) = f_{t}$ ，那么 $p$ 是一个连续映射。由此可推论出， $H$ 本身可以看成是映射空间里的一条道路。

　　 证明：

　　直接引用定理 2 ，令 $Z = I$ ， $f = H$ ，则 $p = \tilde{f}$ ，因此 $p$ 是连续映射。

　　 证毕。

　　习题 1 和定理 1 分别对于 $X$ 中的给定点以及 $X$ 整体的角度描述了同伦和道路的关系。定理 1 说明，两映射同伦，等价于说两映射是同一条道路的两端，还等价于说两映射是同一条道路上的两点。由于道路可以首尾相接从而得到新的道路，因此同一个映射空间中，如果 $f ≅ g$ 而 $g ≅ h$ ，那么一定有 $f ≅ h$ 。这就是说，同伦关系是具有传递性的。考虑到同伦关系显然还有自反性和对称性，我们直接可得如下定理：

定理 2　

　　映射的同伦关系是一个等价关系。

　　映射之间还有复合运算，同伦关系也会继承到复合运算上。

定理 3　映射同伦关系的继承

　　设 $X$ ， $Y$ 和 $Z$ 是三个拓扑空间， $f_{0}, f_{1} : X \to Y$ ， $g_{0}, g_{1} : Y \to Z$ 分别是连续映射，且有 $f_{0} \overset{F}{≅} f_{1}$ 和 $g_{0} \overset{G}{≅} g_{1}$ 。那么 $g_{0} \circ f_{0} ≅ g_{1} \circ f_{1}$ 。

　　 证明：

　　由于 $F : X \times I \to Y$ 和 $g_{0} : Y \to Z$ 都是连续映射，故 $g_{0} \circ F : X \times I \to Z$ 是一个连续映射，故 $g_{0} \circ F$ 是一个连接了 $g_{0} \circ f_{0}$ 和 $g_{0} \circ f_{1}$ 的道路。故 $g_{0} \circ f_{0} ≅ g_{0} \circ f_{1}$ 。

　　类似地， $G \circ (f_{1} \times 1_{I}) : X \times I \to Z$ ¹是一个连接了 $g_{0} \circ f_{1}$ 和 $g_{1} \circ f_{1}$ 的道路，故 $g_{0} \circ f_{1} ≅ g_{1} \circ f_{1}$ 。

　　综上，由映射同伦的传递性， $g_{0} \circ f_{0} ≅ g_{1} \circ f_{1}$ 。

　　 证毕。

2. 拓扑空间的同伦

定义 2　空间同伦

　　设有两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$ ，如果存在连续映射 $f : X \to Y$ 和 $g : Y \to X$ ，使得 $g \circ f ≅ 1_{X}$ 且 $f \circ g ≅ 1_{Y}$ ，那么我们称 $X$ 和 $Y$ 是同伦的，或者说具有相同的同伦型。 $f$ 称为从 $X$ 到 $Y$ 的同伦等价，反过来 $g$ 是从 $Y$ 到 $X$ 的同伦等价，二者互为同伦逆。

　　同伦和同胚一样，也是一个等价关系，只是要更弱一些，使得不同胚的空间也有可能同伦。当然，同胚的空间必然同伦。

习题 2　

　　证明空间的同伦具有传递性，从而推论同伦是一个等价关系。

3. 思考

　　在映射空间中所定义的紧开拓扑看起来很不接地气。本小节习题 1 直观地阐释了同伦的意义，即对于每个固定点 $x_{0} \in X$ ，同伦 $H$ 都会在 $Y$ 中画出一条道路，这意味着每个点的映射都是连续地变化的。定理 1 说明，整体上来看， $H$ 本身是映射空间 $Y^{X}$ 中的一条道路。从这个联系来看，思考一下为什么要用紧开拓扑来定义映射空间。

1. ^ $1_{I} : I \to I$ 是恒等映射， $f_{1} \times 1_{I}$ 的定义见乘积拓扑中的习题 1 。

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映射的同伦和空间的同伦

1. 映射的同伦

定义 1 映射的同伦

习题 1 映射的同伦是道路（对给定点）

定理 1 映射的同伦是道路（对同伦本身）

定理 2

定理 3 映射同伦关系的继承

2. 拓扑空间的同伦

定义 2 空间同伦

习题 2

3. 思考

定义 1　映射的同伦

习题 1　映射的同伦是道路（对给定点）

定理 1　映射的同伦是道路（对同伦本身）

定理 2　

定理 3　映射同伦关系的继承

定义 2　空间同伦

习题 2　