三角形面积、海伦—秦九韶公式
贡献者： 零穹; addis; hfb25
1. 海伦—秦九韶公式
图 1：三角形
\begin{equation}
A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}~,
\end{equation}
秦九韶公式2是与海伦公式等价的一个公式
\begin{equation}
A = \frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2- \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2} \right) ^2}~.
\end{equation}
用叉乘计算
若已知三角形顶点的直角坐标，那么另一种方便的方法是使用 “矢量叉乘” 中例 1 的方法。
2. 海伦—秦九韶公式推导
设 $a,b,c$ 是三角形中角 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 相应的对边，那么有
\begin{equation}
A=\frac{1}{2}\text{底}\times\text{高}
=\frac{1}{2}ab\sin\gamma
=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2\gamma}~.\\
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
A&=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\frac{1}{4a^2b^2}(a^2+b^2-c^2)^2}\\
&=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\
&=\frac{1}{4}\sqrt{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}\\
&=\frac{1}{4}\sqrt{[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]}\\
&=\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}\frac{(c+a-b)}{2}\frac{(c-a+b)}{2}}\\
&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
例 1 海伦公式的应用
图 2：四边形的土地
某农民有一块形状为四边形的土地（图 2 ），现要种植玉米，为了节约成本，农民要计算土地面积以购买适应的种子量，而农民家里只有测距用的米尺，幸而该农民日常有看数学知识的习惯，知道海伦公式可以计算三角形的面积，现用米尺测得以下各顶点之间的距离：
\begin{equation}
\overline{AB}=50\mathrm{m},\overline{AC}=50\mathrm{m},\overline{BC}=80\mathrm{m},\overline{BD}=150\mathrm{m},\overline{CD}=120\mathrm{m}~.
\end{equation}
\begin{equation}
S=S_{\Delta ABC}+S_{\Delta BCD}~.
\end{equation}
\begin{equation}
s_{\Delta ABC}=\frac{\overline{AB}+\overline{AC}+\overline{BC}}{2}=90\mathrm{m}
,
s_{\Delta BCD}=\frac{\overline{BC}+\overline{BD}+\overline{CD}}{2}=175\mathrm{m}~.
\end{equation}
由海伦公式式 1
\begin{equation}
\begin{aligned}
&S_{\Delta ABC}=\sqrt{s_{\Delta ABC}(s_{\Delta ABC}-\overline{AB})(s_{\Delta ABC}-\overline{AC})(s_{\Delta ABC}-\overline{BC})}=1200\mathrm{m^2}~,
\\
&S_{\Delta BCD}=\sqrt{s_{\Delta BCD}(s_{\Delta BCD}-\overline{BC})(s_{\Delta BCD}-\overline{BD})(s_{\Delta BCD}-\overline{CD})}\approx 4781.1\mathrm{m^2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
S\approx 5961.1\mathrm{m^2}~.
\end{equation}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 秦九韶公式来自于他的 “三斜求积术”，可由勾股定理直接推出。
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