三角形面积、海伦—秦九韶公式

贡献者： 零穹; addis; hfb25

1. 海伦—秦九韶公式

　　¹若已知三角形的边长（图 1 ），其面积可以用海伦公式计算

　　 秦九韶公式²是与海伦公式等价的一个公式

用叉乘计算

　　 若已知三角形顶点的直角坐标，那么另一种方便的方法是使用 “矢量叉乘” 中例 1 的方法。

2. 海伦—秦九韶公式推导

　　 设 $a,b,c$ 是三角形中角 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 相应的对边，那么有

例 1　海伦公式的应用

图 2：四边形的土地

　　 某农民有一块形状为四边形的土地（图 2 ），现要种植玉米，为了节约成本，农民要计算土地面积以购买适应的种子量，而农民家里只有测距用的米尺，幸而该农民日常有看数学知识的习惯，知道海伦公式可以计算三角形的面积，现用米尺测得以下各顶点之间的距离：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \overline{AB}=50\mathrm{m},\overline{AC}=50\mathrm{m},\overline{BC}=80\mathrm{m},\overline{BD}=150\mathrm{m},\overline{CD}=120\mathrm{m}.\end{array}$$

则该土地面积 $S$ 为：

$$\begin{array}{}\text{(6)}& S=S_{\mathrm{\Delta }ABC}+S_{\mathrm{\Delta }BCD}.\end{array}$$

对 $\mathrm{\Delta }ABC$ 和 $\mathrm{\Delta }BCD$，其海伦公式中的 $s$ 分别为

$$\begin{array}{}\text{(7)}& s_{\mathrm{\Delta }ABC}=\frac{\overline{AB}+\overline{AC}+\overline{BC}}{2}=90\mathrm{m},s_{\mathrm{\Delta }BCD}=\frac{\overline{BC}+\overline{BD}+\overline{CD}}{2}=175\mathrm{m}.\end{array}$$

　　 由海伦公式式 1

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{rl}& S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\sqrt{s_{\mathrm{\Delta }ABC}(s_{\mathrm{\Delta }ABC}-\overline{AB})(s_{\mathrm{\Delta }ABC}-\overline{AC})(s_{\mathrm{\Delta }ABC}-\overline{BC})}=1200{\mathrm{m}}^2,\\ & S_{\mathrm{\Delta }BCD}=\sqrt{s_{\mathrm{\Delta }BCD}(s_{\mathrm{\Delta }BCD}-\overline{BC})(s_{\mathrm{\Delta }BCD}-\overline{BD})(s_{\mathrm{\Delta }BCD}-\overline{CD})}\approx 4781.1{\mathrm{m}}^2.\end{array}\end{array}$$

上式代入式 6 ，得土地面积为

$$\begin{array}{}\text{(9)}& S\approx 5961.1{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 秦九韶公式来自于他的 “三斜求积术”，可由勾股定理直接推出。