海伦—秦九韶公式

             

预备知识 余弦定理
图
图 1:三角形

  1若已知三角形的边长(图 1 ),其面积可以用海伦公式计算

\begin{equation} A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{equation}
其中 $s = (a+b+c)/2$.

   秦九韶公式2是与海伦公式等价的一个公式

\begin{equation} A = \frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2- \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2} \right) ^2} \end{equation}

1. 推导

   设 $a,b,c$ 是三角形中角 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 相应的对边,那么有

\begin{equation} A=\frac{1}{2}\text{底}\times\text{高} =\frac{1}{2}ab\sin\gamma =\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2\gamma}\\ \end{equation}
由余弦定理式 1 , 则上式可写为
\begin{equation} \begin{aligned} A&=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\frac{1}{4a^2b^2}(a^2+b^2-c^2)^2}\\ &=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\ &=\frac{1}{4}\sqrt{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}\\ &=\frac{1}{4}\sqrt{[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]}\\ &=\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}\frac{(c+a-b)}{2}\frac{(c-a+b)}{2}}\\ &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned} \end{equation}
上述过程中的第二式即为秦九韶公式.

例 1 海伦公式的应用

图
图 2:四边形的土地

   某农民有一块形状为四边形的土地(图 2 ),现要种植玉米,为了节约成本,农民要计算土地面积以购买适应的种子量,而农民家里只有测距用的米尺,幸而该农民日常有看数学知识的习惯,知道海伦公式可以计算三角形的面积,现用米尺测得以下各顶点之间的距离:

\begin{equation} \overline{AB}=50\mathrm{m},\overline{AC}=50\mathrm{m},\overline{BC}=80\mathrm{m},\overline{BD}=150\mathrm{m},\overline{CD}=120\mathrm{m} \end{equation}
则该土地面积 $S$ 为:
\begin{equation} S=S_{\Delta ACD}+S_{\Delta BCD} \end{equation}
对 $\Delta ABC$ 和 $\Delta BCD$,其海伦公式中的 $s$ 分别为
\begin{equation} s_{\Delta ABC}=\frac{\overline{AB}+\overline{AC}+\overline{BC}}{2}=90\mathrm{m} , s_{\Delta BCD}=\frac{\overline{BC}+\overline{BD}+\overline{CD}}{2}=175\mathrm{m} \end{equation}

   由海伦公式式 1

\begin{equation} \begin{aligned} &S_{\Delta ABC}=\sqrt{s_{\Delta ABC}(s_{\Delta ABC}-\overline{AB})(s_{\Delta ABC}-\overline{AC})(s_{\Delta ABC}-\overline{BC})}=1200\mathrm{m^2} \\ &S_{\Delta BCD}=\sqrt{s_{\Delta BCD}(s_{\Delta BCD}-\overline{BC})(s_{\Delta BCD}-\overline{BD})(s_{\Delta BCD}-\overline{CD})}\approx 4781.1\mathrm{m^2} \end{aligned} \end{equation}
上式代入式 6 ,得土地面积为
\begin{equation} S\approx 5961.1\mathrm{m^2} \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
2. ^ 秦九韶公式来自于他的 “三斜求积术”,可由勾股定理直接推出.

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