点到直线的距离

贡献者： hfb25; addis

本文处于草稿阶段。

　　一点 $(x_{1}, y_{1})$ 到直线 $a x + b y + c = 0$ 的最短距离为

\begin{matrix} (1) & \frac{| a x_{1} + b y_{1} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} . \end{matrix}

1. 推导

　　根据垂线段最短，点 $(x_{1}, y_{1})$ 距离直线 $a x + b y + c = 0$ 最近的点也位于该直线的垂线上。

　　过点 $(x_{1}, y_{1})$ 且垂直于直线 $a x + b y + c = 0$ 的直线方程为

\begin{matrix} (3) & b x - a y - b x_{1} - a y_{1} = 0 . \end{matrix}

　　它与直线 $a x + b y + c = 0$ 的交点 $(x_{2}, y_{2})$ 满足

\begin{matrix} (4) & {\begin{aligned} a x_{2} + b y_{2} + c & = 0 \\ b x_{2} - a y_{2} - b x_{1} + a y_{1} & = 0 \end{aligned} . \end{matrix}

　　解得

\begin{matrix} (5) & {\begin{array}{r} x_{2} = \frac{b^{2} x_{1} - a b y_{1} - a c}{a^{2} + b^{2}} \\ y_{2} = \frac{a^{2} y_{1} - a b x_{1} - b c}{a^{2} + b^{2}} \end{array} . \end{matrix}

　　根据两点距离公式得

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} d & = \sqrt{(x_{1} - \frac{b^{2} x_{1} - a b y_{1} - a c}{a^{2} + b^{2}})^{2} + (y_{1} - \frac{a^{2} y_{1} - a b x_{1} - b c}{a^{2} + b^{2}})^{2}} \\ = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} \sqrt{(a^{2} x_{1} + a b y_{1} + a c)^{2} + (b^{2} y_{1} + a b x_{1} + b c)^{2}} \\ = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sqrt{(a x_{1} + b y_{1} + c)^{2}} \\ = \frac{| a x_{1} + b y_{1} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} . \end{aligned} \end{matrix}

2. 推导 2

预备知识　几何矢量的内积

　　设直线 $a x + b y + c = 0$ 的法向量为 $n$ ，则

\begin{matrix} (7) & a \cdot n = \cos \frac{π}{2} = 0, \end{matrix}

所以

n = (a, b)

。其中

a = (b, - a)

，称为直线的方向向量。

　　那么直线的单位法向量（背向原点）为 $\hat{n} = (- a / d, - b / d)$ ，其中

\begin{matrix} (8) & d = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

未完成：图

　　若令原点到直线上任意一点的矢量为 $r$ ，那么直线方程可以表示为

\begin{matrix} (9) & r \cdot \hat{n} = \frac{c}{d}, \end{matrix}

即直线到原点的距离为

c / \sqrt{a^{2} + b^{2}}

。

　　令任意一点为 $r_{1} = (x_{1}, y_{1})$ ，那么 $r_{1}$ 到直线的距离为

\begin{matrix} (10) & | (r_{1} - r) \cdot \hat{n} | = | r_{1} \cdot \hat{n} - r \cdot \hat{n} | = \frac{| a x_{1} + b y_{1} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} . \end{matrix}

未完成：推导过程配图

3. 高维情形

未完成：预备知识

　　我们将推导 2拓展到有限维的情况。

　　考虑一条 $n (n > 2)$ 维空间中的直线，它的方程可以表示为

\begin{matrix} (11) & r = r_{0} + λ \hat{a} . \end{matrix}

其中

r_{0}

是原点到直线上某点的矢量，

\hat{a}

是直线的单位方向向量（

n

维）。

λ

是一个参数，表示点在直线上的位置。

未完成：图

　　令任意一点为 $r_{1}$ 。

　　设与 $r_{1} - r_{0}$ 共面的直线的法向量 $n = k_{1} \hat{a} + k_{2} (r_{1} - r_{0})$ ，则有下列方程

\begin{matrix} (12) & k_{1} + k_{2} \hat{a} \cdot (r_{1} - r_{0}) = 0 (\hat{a} \cdot n = 0) . \end{matrix}

　　上述方程有无数个解，为了简单化，令 $k_{2} = - 1$ 。我们得到

\begin{matrix} (13) & n = [\hat{a} \cdot (r_{1} - r_{0})] \hat{a} - (r_{1} - r_{0}) . \end{matrix}

　　点 $r_{1}$ 到直线的距离为¹

\begin{matrix} (14) & d = \frac{1}{| n |} | (r_{1} - r_{0}) \cdot n | = \frac{{| r_{1} - r_{0} |}^{2} - [\hat{a} \cdot (r_{1} - r_{0})]^{2}}{| [\hat{a} \cdot (r_{1} - r_{0})] \hat{a} - (r_{1} - r_{0}) |} . \end{matrix}

　　我们可以知道

\begin{matrix} (15) & {| (x \cdot y) y - x |}^{2} = (x \cdot y)^{2} ({| y |}^{2} - 2) + {| x |}^{2}, \end{matrix}

　　所以

\begin{matrix} (16) & d = | [\hat{a} \cdot (r_{1} - r_{0})] \hat{a} - (r_{1} - r_{0}) | . \end{matrix}

　　容易证明上述公式与 $r_{0}$ 的选取无关，因为 $d$ 是一个几何量。

　　如果我们取 $r_{1} = 0$ ，则上述公式可以简化为

\begin{matrix} (17) & d = | r_{0} - (\hat{a} \cdot r_{0}) \hat{a} |, \end{matrix}

这就是直线到原点的距离。

未完成：图

1. ^ $| x \cdot y | \leq | x | | y |$ 。

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