广义力

贡献者： addis

预备知识　欧拉—拉格朗日方程

1. 拉格朗日方程的广义力拓展

　　在之前的讨论中，所有的系统外力都可以包含进拉格朗日量 $L = T - V$ 的势能项 $V$ 中。和之前一样，为了书写方便式中 $q$ 代表 $q_{1}, \dots, q_{N}$ ， $\dot{q}$ 也同理。本文仍然假设 $V$ 不显含 $\dot{q}$ ，即并非广义势能。我们可以先把 $V$ 看成所有质点位置 $r_{j}$ 和 $t$ 的函数，这样势能 $V$ 对每个质点产生的力就是

\begin{matrix} (1) & F_{j}^{(V)} = - \nabla_{j} V (r_{1}, r_{2}, \dots, t) = - \frac{\partial V}{\partial x_{j}} \hat{x} - \frac{\partial V}{\partial y_{j}} \hat{y} - \frac{\partial V}{\partial z_{j}} \hat{z}, \end{matrix}

然后再把每个

r_{j}

看成广义坐标

q

和时间

t

的函数，就有

V = V (q, t)

。

　　这些力一般来说是保守力（如重力，弹簧弹力等），然而许多情况中还可能出现种种非保守力，例如摩擦力等，较难用势能描述。这时引入广义力（generalized force）的概念会更方便。每个广义坐标 $q_{i}$ 对应一个广义力，定义为（ $i = 1, \dots, N$ ，下同）

\begin{matrix} (2) & Q_{i} = \sum_{j} F_{j}^{(a)} \cdot \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{i}}, \end{matrix}

其中

F_{j}^{(a)}

是作用点为

r_{j}

的主动力（即非约束力）¹。

　　若除了势能项 $V$ 产生的主动力（式 1 ）外还存在其他主动力 $F_{j}^{(e)}$ （上标 $e$ 表示 extra），那么拉格朗日方程（式 1 ）可以拓展为

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \frac{\partial L}{\partial q_{i}} + Q_{i}^{(e)}, \end{matrix}

其中

Q_{i}^{(e)}

的定义是把式 2 中的

F_{j}

替换为

F_{j}^{(e)}

。上式的证明见 “拉格朗日方程的证明、达朗贝尔定理”。

　　在该证明过程中还会发现，式 3 中的 $\partial L / \partial q_{i} = \partial T / \partial q_{i} - \partial V / \partial q_{i}$ 的最后一项同样符合广义力的定义

\begin{matrix} (4) & Q_{i}^{(V)} = - \frac{\partial V}{\partial q_{i}} = \sum_{j} F_{j}^{(V)} \cdot \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{i}}, \end{matrix}

那么如果令总广义力为

\begin{matrix} (5) & Q_{i} = Q_{i}^{(V)} + Q_{i}^{(e)}, \end{matrix}

那么拉格朗日方程式 3 也可以完全抛开势能项记为（假设

V

不显含

\dot{q}

）

\begin{matrix} (6) & \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \frac{\partial T}{\partial q_{i}} + Q_{i} . \end{matrix}

例 1　受阻耦合弹簧振子

　　例 3 中，若两个滑块受到于速度相反，大小与速度平方成正比的摩擦力，比例系数为 $α$ ，求运动方程。

　　注意摩擦力是取决于运动方向的。令 ${\dot{x}}_{i} ⩾ 0$ 时 $s_{i} = 1$ ， ${\dot{x}}_{i} < 0$ 时 $s_{i} = - 1$ ，那么使用式 2 ，广义力为

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} Q_{x} & = F_{1} \frac{\partial x_{1}}{\partial x} + F_{2} \frac{\partial x_{2}}{\partial x} = (- α s_{1} {\dot{x}}_{1}^{2}) \cdot \frac{1}{2} + (- α s_{2} {\dot{x}}_{2}^{2}) \cdot \frac{- 1}{2} \\ = \frac{α}{2} (s_{1} {\dot{x}}_{1}^{2} - s_{2} {\dot{x}}_{2}^{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

同理得

\begin{matrix} (8) & Q_{X} = - α (s_{1} {\dot{x}}_{1}^{2} + s_{2} {\dot{x}}_{2}^{2}), \end{matrix}

现在

s_{1}, s_{2}, {\dot{x}}_{1}, {\dot{x}}_{2}

可以进一步写成

\dot{x}, \dot{X}

的函数，具体略。求得含摩擦力的运动方程为

\begin{matrix} (9) & m \ddot{x} = - 3 k x + 2 Q_{x}, m \ddot{X} = - k X + \frac{Q_{X}}{2} . \end{matrix}

2. 广义力做功

　　若干力 $F_{j}$ 对系统的功率为

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} P & = \sum_{j} F_{j} \cdot {\dot{r}}_{j} = \sum_{i, j} F_{j} \cdot \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{i}} {\dot{q}}_{i} + \sum_{j} F_{j} \cdot \frac{\partial r_{j}}{\partial t} \\ = \sum_{i} Q_{i} {\dot{q}}_{i} + \sum_{j} F_{j} \cdot \frac{\partial r_{j}}{\partial t} . \end{aligned} \end{matrix}

所以若系统没有不稳定约束，即最后一项

\partial r_{j} / \partial t = 0

，则每个广义力的功率为

\begin{matrix} (11) & P_{i} = Q_{i} {\dot{q}}_{i}, \end{matrix}

一段时间内的做功为

\begin{matrix} (12) & W_{i} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} Q_{i} {\dot{q}}_{i} d t, \end{matrix}

总功率和总功就是对所有

P_{i}

和

W_{i}

求和。

　　在学了虚功后会看到，广义力对广义坐标积分等于虚功（子节 1 ）。

1. ^ 事实上把式 2 中的主动力 $F_{j}^{(a)}$ 换成质点 $j$ 的所受的合力也无妨，合力包括约束力和主动力。然而达朗贝尔原理（式 18 ）告诉我们约束力对广义力的贡献为零。

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广义力

1. 拉格朗日方程的广义力拓展

例 1 受阻耦合弹簧振子

2. 广义力做功

例 1　受阻耦合弹簧振子