贡献者： addis
1. 拉格朗日方程的广义力拓展
在之前的讨论中，所有的系统外力都可以包含进拉格朗日量 $L = T-V$ 的势能项 $V$ 中。和之前一样，为了书写方便式中 $q$ 代表 $q_1, \dots, q_N$，$\dot q$ 也同理。本文仍然假设 $V$ 不显含 $\dot q$，即并非广义势能。我们可以先把 $V$ 看成所有质点位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j$ 和 $t$ 的函数，这样势能 $V$ 对每个质点产生的力就是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(V)} = - \boldsymbol\nabla _j V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2,\dots,t) = - \frac{\partial V}{\partial x_j} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - \frac{\partial V}{\partial y_j} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \frac{\partial V}{\partial z_j} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
然后再把每个 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j$ 看成广义坐标 $q$ 和时间 $t$ 的函数，就有 $V = V(q,t)$。
这些力一般来说是保守力（如重力，弹簧弹力等），然而许多情况中还可能出现种种非保守力，例如摩擦力等，较难用势能描述。这时引入广义力（generalized force）的概念会更方便。每个广义坐标 $q_i$ 对应一个广义力，定义为（$i=1,\dots,N$，下同）
\begin{equation}
Q_i = \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(a)} \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} ~,
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(a)}$ 是作用点为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j$ 的主动力（即非约束力）
1。
若除了势能项 $V$ 产生的主动力（式 1 ）外还存在其他主动力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(e)}$（上标 $e$ 表示 extra），那么拉格朗日方程（式 1 ）可以拓展为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i} + Q_i^{(e)}~,
\end{equation}
其中 $Q_i^{(e)}$ 的定义是把
式 2 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j$ 替换为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(e)}$。上式的证明见 “
拉格朗日方程的证明、达朗贝尔定理”。
在该证明过程中还会发现，式 3 中的 $ \partial L/\partial q_i = \partial T/\partial q_i - \partial V/\partial q_i $ 的最后一项同样符合广义力的定义
\begin{equation}
Q_i^{(V)} = - \frac{\partial V}{\partial q_i} = \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(V)} \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} ~,
\end{equation}
那么如果令总广义力为
\begin{equation}
Q_i = Q_i^{(V)} + Q_i^{(e)}~,
\end{equation}
那么拉格朗日方程
式 3 也可以完全抛开势能项记为（假设 $V$ 不显含 $\dot q$）
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial T}{\partial q_i} + Q_i~.
\end{equation}
例 1 受阻耦合弹簧振子
例 3 中，若两个滑块受到于速度相反，大小与速度平方成正比的摩擦力，比例系数为 $\alpha$，求运动方程。
注意摩擦力是取决于运动方向的。令 $\dot x_i \geqslant 0$ 时 $s_i = 1$，$\dot x_i < 0$ 时 $s_i = -1$，那么使用式 2 ，广义力为
\begin{equation}
\begin{aligned}
Q_x &= F_1 \frac{\partial x_1}{\partial x} + F_2 \frac{\partial x_2}{\partial x} = (-\alpha s_1\dot x_1^2) \cdot \frac{1}{2} + (-\alpha s_2\dot x_2^2) \cdot \frac{-1}{2}\\
&= \frac{\alpha}{2}(s_1\dot x_1^2 - s_2 \dot x_2^2)~.
\end{aligned}
\end{equation}
同理得
\begin{equation}
Q_X = -\alpha(s_1 \dot x_1^2 + s_2\dot x_2^2)~,
\end{equation}
现在 $s_1,s_2,\dot x_1,\dot x_2$ 可以进一步写成 $\dot x, \dot X$ 的函数，具体略。求得含摩擦力的运动方程为
\begin{equation}
m\ddot x = - 3kx + 2Q_x~, \qquad
m\ddot X = - kX + \frac{Q_X}{2}~.
\end{equation}
2. 广义力做功
若干力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j$ 对系统的功率为
\begin{equation}
\begin{aligned}
P &= \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j
= \sum_{i,j} \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} \dot q_i + \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial t} \\
&= \sum_i Q_i \dot q_i + \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial t} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
所以
若系统没有不稳定约束，即最后一项 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j/\partial t = 0$，则每个广义力的功率为
\begin{equation}
P_i = Q_i \dot q_i~,
\end{equation}
一段时间内的做功为
\begin{equation}
W_i = \int_{t_1}^{t_2} Q_i \dot q_i \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
总功率和总功就是对所有 $P_i$ 和 $W_i$ 求和。
在学了虚功后会看到，广义力对广义坐标积分等于虚功（子节 1 ）。
1. ^ 事实上把式 2 中的主动力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(a)}$ 换成质点 $j$ 的所受的合力也无妨，合力包括约束力和主动力。然而达朗贝尔原理（式 18 ）告诉我们约束力对广义力的贡献为零。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。