广义力

                     

贡献者: addis

预备知识 欧拉—拉格朗日方程

1. 拉格朗日方程的广义力拓展

   在之前的讨论中,所有的系统外力都可以包含进拉格朗日量 $L = T-V$ 的势能项 $V$ 中.和之前一样,为了书写方便式中 $q$ 代表 $q_1, \dots, q_N$,$\dot q$ 也同理.本文仍然假设 $V$ 不显含 $\dot q$,即并非广义势能.我们可以先把 $V$ 看成所有质点位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j$ 和 $t$ 的函数,这样势能 $V$ 对每个质点产生的力就是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(V)} = - \boldsymbol\nabla _j V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2,\dots,t) = - \frac{\partial V}{\partial x_j} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - \frac{\partial V}{\partial y_j} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \frac{\partial V}{\partial z_j} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
然后再把每个 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j$ 看成广义坐标 $q$ 和时间 $t$ 的函数,就有 $V = V(q,t)$.

   这些力一般来说是保守力(如重力,弹簧弹力等),然而许多情况中还可能出现种种非保守力,例如摩擦力等,较难用势能描述.这时引入广义力(generalized force)的概念会更方便.每个广义坐标 $q_i$ 对应一个广义力,定义为($i=1,\dots,N$,下同)

\begin{equation} Q_i = \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(a)} \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(a)}$ 是作用点为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j$ 的主动力(即非约束力)1

   若除了势能项 $V$ 产生的主动力(式 1 )外还存在其他主动力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(e)}$(上标 $e$ 表示 extra),那么拉格朗日方程(式 1 )可以拓展为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i} + Q_i^{(e)} \end{equation}
其中 $Q_i^{(e)}$ 的定义是把式 2 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j$ 替换为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(e)}$.上式的证明见 “拉格朗日方程的证明、达朗贝尔定理”.

   在该证明过程中还会发现,式 3 中的 $ \partial L/\partial q_i = \partial T/\partial q_i - \partial V/\partial q_i $ 的最后一项同样符合广义力的定义

\begin{equation} Q_i^{(V)} = - \frac{\partial V}{\partial q_i} = \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(V)} \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} \end{equation}
那么如果令总广义力为
\begin{equation} Q_i = Q_i^{(V)} + Q_i^{(e)} \end{equation}
那么拉格朗日方程式 3 也可以完全抛开势能项记为(假设 $V$ 不显含 $\dot q$)
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial T}{\partial q_i} + Q_i \end{equation}

例 1 受阻耦合弹簧振子

   例 3 中,若两个滑块受到于速度相反,大小与速度平方成正比的摩擦力,比例系数为 $\alpha$,求运动方程.

   注意摩擦力是取决于运动方向的.令 $\dot x_i \geqslant 0$ 时 $s_i = 1$,$\dot x_i < 0$ 时 $s_i = -1$,那么使用式 2 ,广义力为

\begin{equation} \begin{aligned} Q_x &= F_1 \frac{\partial x_1}{\partial x} + F_2 \frac{\partial x_2}{\partial x} = (-\alpha s_1\dot x_1^2) \cdot \frac{1}{2} + (-\alpha s_2\dot x_2^2) \cdot \frac{-1}{2}\\ &= \frac{\alpha}{2}(s_1\dot x_1^2 - s_2 \dot x_2^2) \end{aligned} \end{equation}
同理得
\begin{equation} Q_X = -\alpha(s_1 \dot x_1^2 + s_2\dot x_2^2) \end{equation}
现在 $s_1,s_2,\dot x_1,\dot x_2$ 可以进一步写成 $\dot x, \dot X$ 的函数,具体略.求得含摩擦力的运动方程为
\begin{equation} m\ddot x = - 3kx + 2Q_x~, \qquad m\ddot X = - kX + \frac{Q_X}{2} \end{equation}

2. 广义力做功

   若干力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j$ 对系统的功率为

\begin{equation} \begin{aligned} P &= \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j = \sum_{i,j} \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} \dot q_i + \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial t} \\ &= \sum_i Q_i \dot q_i + \sum_j \boldsymbol{\mathbf{F}} _j \boldsymbol\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial t} \end{aligned} \end{equation}
所以若系统没有不稳定约束,即最后一项 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j/\partial t = 0$,则每个广义力的功率为
\begin{equation} P_i = Q_i \dot q_i \end{equation}
一段时间内的做功为
\begin{equation} W_i = \int_{t_1}^{t_2} Q_i \dot q_i \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
总功率和总功就是对所有 $P_i$ 和 $W_i$ 求和.

   在学了虚功后会看到,广义力对广义坐标积分等于虚功(子节 1 ).


1. ^ 事实上把式 2 中的主动力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _j^{(a)}$ 换成质点 $j$ 的所受的合力也无妨,合力包括约束力和主动力.然而达朗贝尔原理(式 18 )告诉我们约束力对广义力的贡献为零.


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