哈密顿—雅可比方程

贡献者：零穹

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预备知识 1　端点可变的作用量

　　对作用量

\begin{matrix} (1) & S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t . \end{matrix}

由式 2 ，就有

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} + H (q^{(2)}, p^{(2)}, t^{(2)}) = 0 . \end{matrix}

同样，用式 2 中的

\begin{matrix} (3) & p_{i}^{(2)} = \frac{\partial S}{\partial {q^{i}}^{(2)}} . \end{matrix}

代入式 2 ，就得到方程：

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} + H ({q^{1}}^{(2)}, \dots, {q^{n}}^{(2)}; \frac{\partial S}{\partial {q^{1}}^{(2)}}, \dots, \frac{\partial S}{\partial {q^{n}}^{(2)}}; t^{(2)}) = 0 . \end{matrix}

　　若去掉表示末时刻的上指标 $(2)$ ，而默认所有变量都对应末时刻的值，上式就写成

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial S}{\partial t} + H (q^{1}, \dots, q^{n}; \frac{\partial S}{\partial q^{1}}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q^{n}}; t) = 0 . \end{matrix}

这个关于

S

的一阶偏微分方程，就称为哈密顿-雅可比方程。

1. 利用哈密顿-雅可比方程求解系统的运动

预备知识 2　正则变换

　　¹一阶偏微分方程的解（全积分）包含的独立常数之个数与独立变量的数目相同。由式 5 ，这里 $S$ 的独立变量是 $n$ 个坐标和 1 个时间，共 $n + 1$ 个。而 $S$ 仅以其导数的形式出现在方程中，所以解中的任意常数中有一个是以相加的形式出现的，故哈密顿-雅可比方程解的全积分形式为

\begin{matrix} (6) & S = f (t, q^{1}, \dots, q^{n}, α_{1}, \dots, α^{n}) + A, \end{matrix}

其中

α_{1}, \dots, α_{n}, A

是任意常数。

　　在相空间中进行正则变换，并以 $f (t, q, α)$ 为母函数，而 $α_{1}, α_{n}$ 为新的动量，新的坐标以 $β^{1}, \dots, β^{n}$ 表示。由式 15

\begin{matrix} (7) & p_{i} = \frac{\partial f}{\partial q^{i}}, β^{i} = \frac{\partial f}{\partial α_{i}}, H^{'} = H + \frac{\partial f}{\partial t} . \end{matrix}

由于

f

满足哈密顿-雅可比方程，所以

\begin{matrix} (8) & H^{'} = H + \frac{\partial f}{\partial t} = H + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 . \end{matrix}

由于正则变换下新变量的运动方程任满足正则形式，而由上式，这时

H^{'} = 0

，所以

\begin{matrix} (9) & {\dot{α}}_{i} = 0, {\dot{β}}^{i} = 0, \end{matrix}

即

α_{i}, β^{i}

都为常数。

　　另外，利用 $n$ 个方程

\begin{matrix} (10) & β^{i} = \frac{\partial f}{\partial α_{i}} . \end{matrix}

可以将

n

个坐标

q

用时间和

2 n

个常数

α, β

表示出来，这给出了运动方程的通积分。

1. ^ 参考朗道《力学》

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