哈密顿—雅可比方程

                     

贡献者: 零穹

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预备知识 端点可变的作用量

   对作用量

\begin{equation} S=\int_{t_1}^{t_2}L \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
式 2 ,就有
\begin{equation} \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} +H \left(q^{(2)},p^{(2)},t^{(2)} \right) =0 \end{equation}
同样,用式 2 中的
\begin{equation} p_i^{(2)}= \frac{\partial S}{\partial {q^i}^{(2)}} \end{equation}
代入式 2 ,就得到方程:
\begin{equation} \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} +H \left({q^1}^{(2)},\cdots,{q^n}^{(2)}; \frac{\partial S}{\partial {q^1}^{(2)}} ,\cdots, \frac{\partial S}{\partial {q^n}^{(2)}} ;t^{(2)} \right) =0 \end{equation}

   若去掉表示末时刻的上指标 $(2)$,而默认所有变量都对应末时刻的值,上式就写成

\begin{equation} \frac{\partial S}{\partial t} +H \left({q^1},\cdots,{q^n}; \frac{\partial S}{\partial {q^1}} ,\cdots, \frac{\partial S}{\partial {q^n}} ;t \right) =0 \end{equation}
这个关于 $S$ 的一阶偏微分方程,就称为哈密顿-雅可比方程

1. 利用哈密顿-雅可比方程求解系统的运动

预备知识 正则变换

  1一阶偏微分方程的解(全积分)包含的独立常数之个数与独立变量的数目相同。由式 5 ,这里 $S$ 的独立变量是 $n$ 个坐标和 1 个时间,共 $n+1$ 个。而 $S$ 仅以其导数的形式出现在方程中,所以解中的任意常数中有一个是以相加的形式出现的,故哈密顿-雅可比方程解的全积分形式为

\begin{equation} S=f(t,q^1,\cdots,q^n,\alpha_1,\cdots,\alpha^n)+A \end{equation}
其中 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n,A$ 是任意常数。

   在相空间中进行正则变换,并以 $f(t,q,\alpha)$ 为母函数,而 $\alpha_1,\alpha_n$ 为新的动量,新的坐标以 $\beta^1,\cdots,\beta^n$ 表示。由式 15

\begin{equation} p_i= \frac{\partial f}{\partial q^i} ,\quad \beta^i= \frac{\partial f}{\partial \alpha_i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial f}{\partial t} \end{equation}
由于 $f$ 满足哈密顿-雅可比方程,所以
\begin{equation} H'=H+ \frac{\partial f}{\partial t} =H+ \frac{\partial S}{\partial t} =0 \end{equation}
由于正则变换下新变量的运动方程任满足正则形式,而由上式,这时 $H'=0$,所以
\begin{equation} \dot\alpha_i=0,\quad\dot\beta^i=0 \end{equation}
即 $\alpha_i,\beta^i$ 都为常数。

   另外,利用 $n$ 个方程

\begin{equation} \beta^i= \frac{\partial f}{\partial \alpha_i} \end{equation}
可以将 $n$ 个坐标 $q$ 用时间和 $2n$ 个常数 $\alpha,\beta$ 表示出来,这给出了运动方程的通积分。


1. ^ 参考朗道《力学》


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