哈密顿—雅可比方程

                     

贡献者: 零穹

  • 本文存在未完成的内容。
预备知识 1 端点可变的作用量

   对作用量

\begin{equation} S=\int_{t_1}^{t_2}L \,\mathrm{d}{t} ~. \end{equation}
式 2 ,就有
\begin{equation} \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} +H \left(q^{(2)},p^{(2)},t^{(2)} \right) =0~. \end{equation}
同样,用式 2 中的
\begin{equation} p_i^{(2)}= \frac{\partial S}{\partial {q^i}^{(2)}} ~. \end{equation}
代入式 2 ,就得到方程:
\begin{equation} \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} +H \left({q^1}^{(2)},\cdots,{q^n}^{(2)}; \frac{\partial S}{\partial {q^1}^{(2)}} ,\cdots, \frac{\partial S}{\partial {q^n}^{(2)}} ;t^{(2)} \right) =0~. \end{equation}

   若去掉表示末时刻的上指标 $(2)$,而默认所有变量都对应末时刻的值,上式就写成

\begin{equation} \frac{\partial S}{\partial t} +H \left({q^1},\cdots,{q^n}; \frac{\partial S}{\partial {q^1}} ,\cdots, \frac{\partial S}{\partial {q^n}} ;t \right) =0~. \end{equation}
这个关于 $S$ 的一阶偏微分方程,就称为哈密顿-雅可比方程

1. 利用哈密顿-雅可比方程求解系统的运动

预备知识 2 正则变换

  1一阶偏微分方程的解(全积分)包含的独立常数之个数与独立变量的数目相同。由式 5 ,这里 $S$ 的独立变量是 $n$ 个坐标和 1 个时间,共 $n+1$ 个。而 $S$ 仅以其导数的形式出现在方程中,所以解中的任意常数中有一个是以相加的形式出现的,故哈密顿-雅可比方程解的全积分形式为

\begin{equation} S=f(t,q^1,\cdots,q^n,\alpha_1,\cdots,\alpha^n)+A~, \end{equation}
其中 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n,A$ 是任意常数。

   在相空间中进行正则变换,并以 $f(t,q,\alpha)$ 为母函数,而 $\alpha_1,\alpha_n$ 为新的动量,新的坐标以 $\beta^1,\cdots,\beta^n$ 表示。由式 15

\begin{equation} p_i= \frac{\partial f}{\partial q^i} ,\quad \beta^i= \frac{\partial f}{\partial \alpha_i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial f}{\partial t} ~. \end{equation}
由于 $f$ 满足哈密顿-雅可比方程,所以
\begin{equation} H'=H+ \frac{\partial f}{\partial t} =H+ \frac{\partial S}{\partial t} =0~. \end{equation}
由于正则变换下新变量的运动方程任满足正则形式,而由上式,这时 $H'=0$,所以
\begin{equation} \dot\alpha_i=0,\quad\dot\beta^i=0~, \end{equation}
即 $\alpha_i,\beta^i$ 都为常数。

   另外,利用 $n$ 个方程

\begin{equation} \beta^i= \frac{\partial f}{\partial \alpha_i} ~. \end{equation}
可以将 $n$ 个坐标 $q$ 用时间和 $2n$ 个常数 $\alpha,\beta$ 表示出来,这给出了运动方程的通积分。


1. ^ 参考朗道《力学》


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利