正则变换

                     

贡献者: 零穹; addis

预备知识 哈密顿正则方程

   简单来说,正则变换就是在相空间中选择另一组变量 $P,Q$ 作为坐标,使得和原来的变量 $p,q$ 之间一一对应,并且要求新坐标 $P,Q$ 仍满足哈密顿正则方程。本词条阐明正则变换的意义,条件,生成函数及生成函数的四种主要形式。

   为了适应现代语言的书写习惯,本词条将指标 q 的坐标分量指标写在上面,而动量 p 的指标写在下面。

1. 为什么要作正则变换

   若存在循环坐标 $q^s$,即拉氏量 $L$ 不显含 $q^s$,则哈密顿量

\begin{equation} H=\sum_i p_i\dot q^i-L \end{equation}
显然也不含循环坐标 $q^s$。由哈密顿正则方程式 5
\begin{equation} \dot p_s=- \frac{\partial H}{\partial q^s} =0 \end{equation}
即 $p_s$ 是体系的循环积分(守恒量)。这就是说,哈密顿正则方程具有容易获得系统循环积分的优点。

   之所以要在相空间中选择新的变量作为坐标,是因为人们总希望尽可能多找到系统运动方程的积分(守恒量),也就是要使尽可能多的坐标成为循环坐标。然而,能否出现循环坐标及循环坐标的数量是同坐标系的选择直接相关的,这可以从下面的例子看出。

例 1 

   已知在二维平面上,质量为 $m$ 的质点受到来自 $O$ 点的引力场的作用(引力势能为 $-\mu\frac{m}{r}$)。那么在极坐标和平面直角坐标系下,其拉氏量和动量分别为

\begin{equation} \begin{aligned} L&=\frac{m}{2} \left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2 \right) +\mu\frac{m}{r}\\ L&=\frac{m}{2} \left(\dot x^2+\dot y^2 \right) +\mu\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ p_\theta&= \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} =mr^2\dot\theta\\ p_r&= \frac{\partial L}{\partial \dot r} =m\dot r\\ p_x&= \frac{\partial L}{\partial \dot x} =m\dot x\\ p_y&= \frac{\partial L}{\partial \dot y} =m\dot y \end{aligned} \end{equation}

   而哈密顿量分别为(注意,在拉氏量 $L=T-V$ 时,$H=T+V$)

\begin{equation} \begin{aligned} H&=\frac{m}{2} \left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2 \right) -\mu\frac{m}{r}\\ &=\frac{1}{2m} \left(p_r^2+\frac{p_\theta^2}{r^2} \right) -\mu\frac{m}{r}\\ H&=\frac{m}{2}(\dot x^2+\dot y^2)-\mu\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ &=\frac{1}{2m} \left(p_x^2+p_y^2 \right) -\mu\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{aligned} \end{equation}

   从哈密顿量看到,在极坐标系中 $\theta$ 是循环坐标,从而就有一循环积分;而在直角坐标系中,并无循环坐标存在。

   考虑到通过正则方程获得循环积分的便利性,和循环坐标与坐标系选择的相关性,人们一方面要在进行坐标变换时,使新坐标描述系统时仍能满足正则方程;一方面要设法找到成为循环坐标的变量。说白了,我们所需要的和真正感兴趣的坐标变换,绝非随意的一种变换,而是指在限定意义下的坐标变换,即以新坐标描述的体系的哈密顿量仍能满足正则方程为前提条件,这样的坐标变换就称为正则变换(canonical transformation)

2. 正则变换的条件

   在相空间中,设旧坐标 $(p,q)$ 和新坐标 $(Q,P)$ 的转换关系为

\begin{equation} Q^i=Q^i(p,q,t),\quad P_i=P_i(p,q,t) \end{equation}

   设新坐标描述的哈密顿量为 $H'=H'(P,Q)$,要使运动方程具有正则形式,即新变量要满足下面的正则方程

\begin{equation} \dot Q^i= \frac{\partial H'}{\partial P_i} ,\quad \dot P_i=- \frac{\partial H'}{\partial Q^i} \end{equation}
该方程可以通过下面变分得到
\begin{equation} \delta\int \left(\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i-H' \,\mathrm{d}{t} \right) =0 \end{equation}
而旧变量的哈密顿正则方程是通过变分
\begin{equation} \delta\int \left(\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-H \,\mathrm{d}{t} \right) =0 \end{equation}
得到的。要使 式 7 式 8 描述的是同一物理系统,那么它们的被积函数只能相差某个关于相空间坐标的函数 $F$ 的全微分,因为这是在变分时不起作用的常数。因此
\begin{equation} \sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-H \,\mathrm{d}{t} =\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i-H' \,\mathrm{d}{t} + \,\mathrm{d}{F} \end{equation}
显然,若坐标变换满足该条件,该变换便是正则变换

定义 1 正则变换

   在相空间 $(p,q)$ 中,若以新变量 $(P,Q)$ 为新坐标,且新旧坐标的变换

\begin{equation} Q^i=Q^i(p,q,t),\quad P_i=P_i(p,q,t) \end{equation}
满足关系
\begin{equation} \sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-H \,\mathrm{d}{t} =\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i-H' \,\mathrm{d}{t} + \,\mathrm{d}{F} \end{equation}
其中 $H,H'$ 分别是以旧坐标 $(p,q)$ 和新坐标 $(P,Q)$ 描述的哈密顿量。则称坐标变换式 10 为对应物理系统的正则变换,函数 $F$ 称为该正则变换的生成函数母函数

3. 生成函数的四种形式

   既然生成函数只要是关于相空间坐标的函数,那么我们就可以期望它是变量 $p,q,P,Q$ 的函数,在各种可能的生成函数中,主要的生成函数是自变量为一新一旧变量和时间 $t$ 的函数。这有四种可能:$F_1(p,P,t),F_2(p,Q,t),F_3(q,P,t),F_4(q,Q,t)$。

生成函数 $F_4(q,Q,t)$

   改写 式 11 为:

\begin{equation} \,\mathrm{d}{F} =\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
则得到的生成函数是关于新旧变量 $q,Q$(和时间 $t$)的函数 $F=F(q,Q,t)$。此时,有
\begin{equation} p_i= \frac{\partial F}{\partial q^i} ,\quad P_i=- \frac{\partial F}{\partial Q^i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F}{\partial t} \end{equation}
显然,$F_4=F$。

生成函数 $F_3(q,P,t)$

   若在式 12 中让 $F$ 由 $F+\sum_iP_i Q^i$ 代替,那么

\begin{equation} \,\mathrm{d}\left(F+\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i \right) =\sum_i p_i \,\mathrm{d}{q} ^i+\sum_i Q^i \,\mathrm{d}{P} _i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
于是就得到关于 $q,P$ 的母函数 $F_3=F+\sum_iP_i Q^i$。此时
\begin{equation} p_i= \frac{\partial F_3}{\partial q^i} ,\quad Q^i= \frac{\partial F_3}{\partial P_i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F_3}{\partial t} \end{equation}

生成函数 $F_2(p,Q,t)$

   同理,若用 $F-\sum_ip_iq^i$ 代替 $F$,就有

\begin{equation} \,\mathrm{d}\left(F-\sum_ip_i q^i \right) =-\sum_i q^i \,\mathrm{d}{p} _i-\sum_i P_i \,\mathrm{d}{Q} ^i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
于是就得到关于 $p,Q$ 的母函数 $F_2=F-\sum_ip_i q^i$。此时
\begin{equation} q^i=- \frac{\partial F_2}{\partial p_i} ,\quad P_i=- \frac{\partial F_2}{\partial Q^i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F_2}{\partial t} \end{equation}

生成函数 $F_1(p,P,t)$

   用 $F_2+\sum_iP_iQ^i$ 代替式 16 中的 $F_2$,就有

\begin{equation} \,\mathrm{d}\left(F-\sum_ip_i q^i+\sum_i P_i Q^i \right) =-\sum_i q^i \,\mathrm{d}{p} _i+\sum_i Q^i \,\mathrm{d}{P} _i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
于是就得到关于 $p,P$ 的母函数 $F_1=F-\sum_ip_i q^i+\sum_i P_i Q^i$。此时
\begin{equation} q^i=- \frac{\partial F_1}{\partial p_i} ,\quad Q^i= \frac{\partial F_1}{\partial P_i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F_1}{\partial t} \end{equation}

   对于这四种母函数,实际上只需要记住关于 $q,Q$ 的母函数 $F_4=F$,其满足

\begin{equation} \,\mathrm{d}{F} =\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}

小记

   其它几种可以这样方便记忆:若母函数自变量相对 $F$ 只改变关于新变量 $P,Q$ 的函数,则只要母函数 $F$ 加上 $\sum_iP_iQ^i$;若只改变成关于旧变量 $p,q$ 的函数,则 $F$ 减 $-\sum_ip_iq^i$;若同时改变,则 $F$ 既加上 $\sum_iP_iQ^i$ 又减 $-\sum_ip_iq^i$。

   值得注意的是,母函数关于时间的偏导数总具有相同的形式 $H'-H$。

   正则变换的广泛性,使得原来的广义坐标和广义动量 $q,p$ 的概念丧失其原始含义,因为 $P,Q$ 都和 $p,q$ 联系在一起,$Q$ 不再是纯粹的空间坐标,$P$ 也不再是纯粹的动量。$P,Q$ 的区别仅仅在于名称的不同,例如变换 $Q^i=p_i,P_i=-q^i$ 并不影响方程的正则形式。由于这个原因,变量 $p,q$ 经常被称为正则共轭变量

   使用何种母函数,要视方便程度而定。

定理 1 

   泊松括号想对正则变换是不变的,即

\begin{equation} \{f,g\}_{p,q}=\{P,Q\}_{P,Q} \end{equation}
其中下指标是指微分运算是对哪两个变量进行的。

  1为避免繁琐的证明,可这样论证:假定 $g$ 是某个系统的哈密顿量,那么 $\{f,g\}_{p,q}= \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} $。然而 $ \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} $ 只依赖于该系统的运动性质,而不以变量的特定选择有关。因此,从一组正则变量变到另一组正则变量时,泊松括号并不改变。

例 2 一个重要的例子

   设 $p_t,q_t$ 是正则变量 $p,q$ 在 $t$ 时刻的值,而 $p_{t+\tau},q_{t+\tau}$ 是在另一时刻 $t+\tau$ 的值。后者是前者的某一函数

\begin{equation} \begin{aligned} p_{t+\tau}&=p(p_t,q_t,t,\tau)\\ q_{t+\tau}&=q(p_t,q_t,t,\tau) \end{aligned} \end{equation}
若将这一变换视作 $p_t,q_t$ 到 $p_{t+\tau},q_{t+\tau}$ 的坐标变换,则这即是正则变换,因为由式 2
\begin{equation} \,\mathrm{d}{S} =\sum \left(p_{t+\tau} \,\mathrm{d}{q_{t+\tau}} -p_{t} \,\mathrm{d}{q_{t}} \right) -(H_{t+\tau}-H_t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
式 12 对比,可知 $-S$ 是变换的母函数。


1. ^ 参考 朗道《力学》


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