贡献者： 零穹; addis
简单来说，正则变换就是在相空间中选择另一组变量 $P,Q$ 作为坐标，使得和原来的变量 $p,q$ 之间一一对应，并且要求新坐标 $P,Q$ 仍满足哈密顿正则方程。本文阐明正则变换的意义，条件，生成函数及生成函数的四种主要形式。
为了适应现代语言的书写习惯，本文将指标 q 的坐标分量指标写在上面，而动量 p 的指标写在下面。
1. 为什么要作正则变换
若存在循环坐标 $q^s$，即拉氏量 $L$ 不显含 $q^s$，则哈密顿量
\begin{equation}
H=\sum_i p_i\dot q^i-L~,
\end{equation}
显然也不含循环坐标 $q^s$。由哈密顿正则方程
式 5
\begin{equation}
\dot p_s=- \frac{\partial H}{\partial q^s} =0~,
\end{equation}
即 $p_s$ 是体系的循环积分（守恒量）。这就是说，哈密顿正则方程具有容易获得系统循环积分的优点。
之所以要在相空间中选择新的变量作为坐标，是因为人们总希望尽可能多找到系统运动方程的积分（守恒量），也就是要使尽可能多的坐标成为循环坐标。然而，能否出现循环坐标及循环坐标的数量是同坐标系的选择直接相关的，这可以从下面的例子看出。
例 1
已知在二维平面上，质量为 $m$ 的质点受到来自 $O$ 点的引力场的作用（引力势能为 $-\mu\frac{m}{r}$）。那么在极坐标和平面直角坐标系下，其拉氏量和动量分别为
\begin{equation}
\begin{aligned}
L&=\frac{m}{2} \left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2 \right) +\mu\frac{m}{r}~,\\
L&=\frac{m}{2} \left(\dot x^2+\dot y^2 \right) +\mu\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2}}~,\\
p_\theta&= \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} =mr^2\dot\theta~,\\
p_r&= \frac{\partial L}{\partial \dot r} =m\dot r~,\\
p_x&= \frac{\partial L}{\partial \dot x} =m\dot x~,\\
p_y&= \frac{\partial L}{\partial \dot y} =m\dot y~.
\end{aligned}
\end{equation}
而哈密顿量分别为（注意，在拉氏量 $L=T-V$ 时，$H=T+V$）
\begin{equation}
\begin{aligned}
H&=\frac{m}{2} \left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2 \right) -\mu\frac{m}{r}\\
&=\frac{1}{2m} \left(p_r^2+\frac{p_\theta^2}{r^2} \right) -\mu\frac{m}{r}~,\\
H&=\frac{m}{2}(\dot x^2+\dot y^2)-\mu\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2}}\\
&=\frac{1}{2m} \left(p_x^2+p_y^2 \right) -\mu\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2}}~.
\end{aligned}
\end{equation}
从哈密顿量看到，在极坐标系中 $\theta$ 是循环坐标，从而就有一循环积分；而在直角坐标系中，并无循环坐标存在。
考虑到通过正则方程获得循环积分的便利性，和循环坐标与坐标系选择的相关性，人们一方面要在进行坐标变换时，使新坐标描述系统时仍能满足正则方程；一方面要设法找到成为循环坐标的变量。说白了，我们所需要的和真正感兴趣的坐标变换，绝非随意的一种变换，而是指在限定意义下的坐标变换，即以新坐标描述的体系的哈密顿量仍能满足正则方程为前提条件，这样的坐标变换就称为正则变换（canonical transformation）。
2. 正则变换的条件
在相空间中，设旧坐标 $(p,q)$ 和新坐标 $(Q,P)$ 的转换关系为
\begin{equation}
Q^i=Q^i(p,q,t),\quad P_i=P_i(p,q,t)~.
\end{equation}
设新坐标描述的哈密顿量为 $H'=H'(P,Q)$，要使运动方程具有正则形式，即新变量要满足下面的正则方程
\begin{equation}
\dot Q^i= \frac{\partial H'}{\partial P_i} ,\quad \dot P_i=- \frac{\partial H'}{\partial Q^i} ~.
\end{equation}
该方程可以通过下面变分得到
\begin{equation}
\delta\int \left(\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i-H' \,\mathrm{d}{t} \right) =0~,
\end{equation}
而旧变量的哈密顿正则方程是通过变分
\begin{equation}
\delta\int \left(\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-H \,\mathrm{d}{t} \right) =0~
\end{equation}
得到的。要使
式 7 ，
式 8 描述的是同一物理系统，那么它们的被积函数只能相差某个关于相空间坐标的函数 $F$ 的全微分，因为这是在变分时不起作用的常数。因此
\begin{equation}
\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-H \,\mathrm{d}{t} =\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i-H' \,\mathrm{d}{t} + \,\mathrm{d}{F} ~.
\end{equation}
显然，若坐标变换满足该条件，该变换便是
正则变换。
定义 1 正则变换
在相空间 $(p,q)$ 中，若以新变量 $(P,Q)$ 为新坐标，且新旧坐标的变换
\begin{equation}
Q^i=Q^i(p,q,t),\quad P_i=P_i(p,q,t)~
\end{equation}
满足关系
\begin{equation}
\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-H \,\mathrm{d}{t} =\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i-H' \,\mathrm{d}{t} + \,\mathrm{d}{F} ~,
\end{equation}
其中 $H,H'$ 分别是以旧坐标 $(p,q)$ 和新坐标 $(P,Q)$ 描述的哈密顿量。则称坐标变换
式 10 为对应物理系统的
正则变换，函数 $F$ 称为该正则变换的
生成函数或
母函数。
3. 生成函数的四种形式
既然生成函数只要是关于相空间坐标的函数，那么我们就可以期望它是变量 $p,q,P,Q$ 的函数，在各种可能的生成函数中，主要的生成函数是自变量为一新一旧变量和时间 $t$ 的函数。这有四种可能：$F_1(p,P,t),F_2(p,Q,t),F_3(q,P,t),F_4(q,Q,t)$。
生成函数 $F_4(q,Q,t)$
改写 式 11 为：
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{F} =\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
则得到的生成函数是关于新旧变量 $q,Q$（和时间 $t$）的函数 $F=F(q,Q,t)$。此时，有
\begin{equation}
p_i= \frac{\partial F}{\partial q^i} ,\quad P_i=- \frac{\partial F}{\partial Q^i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F}{\partial t} ~.
\end{equation}
显然，$F_4=F$。
生成函数 $F_3(q,P,t)$
若在式 12 中让 $F$ 由 $F+\sum_iP_i Q^i$ 代替，那么
\begin{equation}
\,\mathrm{d}\left(F+\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i \right) =\sum_i p_i \,\mathrm{d}{q} ^i+\sum_i Q^i \,\mathrm{d}{P} _i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
于是就得到关于 $q,P$ 的母函数 $F_3=F+\sum_iP_i Q^i$。此时
\begin{equation}
p_i= \frac{\partial F_3}{\partial q^i} ,\quad Q^i= \frac{\partial F_3}{\partial P_i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F_3}{\partial t} ~.
\end{equation}
生成函数 $F_2(p,Q,t)$
同理，若用 $F-\sum_ip_iq^i$ 代替 $F$，就有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}\left(F-\sum_ip_i q^i \right) =-\sum_i q^i \,\mathrm{d}{p} _i-\sum_i P_i \,\mathrm{d}{Q} ^i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
于是就得到关于 $p,Q$ 的母函数 $F_2=F-\sum_ip_i q^i$。此时
\begin{equation}
q^i=- \frac{\partial F_2}{\partial p_i} ,\quad P_i=- \frac{\partial F_2}{\partial Q^i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F_2}{\partial t} ~.
\end{equation}
生成函数 $F_1(p,P,t)$
用 $F_2+\sum_iP_iQ^i$ 代替式 16 中的 $F_2$，就有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}\left(F-\sum_ip_i q^i+\sum_i P_i Q^i \right) =-\sum_i q^i \,\mathrm{d}{p} _i+\sum_i Q^i \,\mathrm{d}{P} _i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
于是就得到关于 $p,P$ 的母函数 $F_1=F-\sum_ip_i q^i+\sum_i P_i Q^i$。此时
\begin{equation}
q^i=- \frac{\partial F_1}{\partial p_i} ,\quad Q^i= \frac{\partial F_1}{\partial P_i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F_1}{\partial t} ~
\end{equation}
对于这四种母函数，实际上只需要记住关于 $q,Q$ 的母函数 $F_4=F$，其满足
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{F} =\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
小记
其它几种可以这样方便记忆：若母函数自变量相对 $F$ 只改变关于新变量 $P,Q$ 的函数，则只要母函数 $F$ 加上 $\sum_iP_iQ^i$；若只改变成关于旧变量 $p,q$ 的函数，则 $F$ 减 $-\sum_ip_iq^i$；若同时改变，则 $F$ 既加上 $\sum_iP_iQ^i$ 又减 $-\sum_ip_iq^i$。
值得注意的是，母函数关于时间的偏导数总具有相同的形式 $H'-H$。
正则变换的广泛性，使得原来的广义坐标和广义动量 $q,p$ 的概念丧失其原始含义，因为 $P,Q$ 都和 $p,q$ 联系在一起，$Q$ 不再是纯粹的空间坐标，$P$ 也不再是纯粹的动量。$P,Q$ 的区别仅仅在于名称的不同，例如变换 $Q^i=p_i,P_i=-q^i$ 并不影响方程的正则形式。由于这个原因，变量 $p,q$ 经常被称为正则共轭变量。
使用何种母函数，要视方便程度而定。
定理 1
泊松括号想对正则变换是不变的，即
\begin{equation}
\{f,g\}_{p,q}=\{P,Q\}_{P,Q}~,
\end{equation}
其中下指标是指微分运算是对哪两个变量进行的。
1为避免繁琐的证明，可这样论证：假定 $g$ 是某个系统的哈密顿量，那么 $\{f,g\}_{p,q}= \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} $。然而 $ \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} $ 只依赖于该系统的运动性质，而不以变量的特定选择有关。因此，从一组正则变量变到另一组正则变量时，泊松括号并不改变。
例 2 一个重要的例子
设 $p_t,q_t$ 是正则变量 $p,q$ 在 $t$ 时刻的值，而 $p_{t+\tau},q_{t+\tau}$ 是在另一时刻 $t+\tau$ 的值。后者是前者的某一函数
\begin{equation}
\begin{aligned}
p_{t+\tau}&=p(p_t,q_t,t,\tau)~,\\
q_{t+\tau}&=q(p_t,q_t,t,\tau)~.
\end{aligned}
\end{equation}
若将这一变换视作 $p_t,q_t$ 到 $p_{t+\tau},q_{t+\tau}$ 的坐标变换，则这即是正则变换，因为由
式 2
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{S} =\sum \left(p_{t+\tau} \,\mathrm{d}{q_{t+\tau}} -p_{t} \,\mathrm{d}{q_{t}} \right) -(H_{t+\tau}-H_t) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
于
式 12 对比，可知 $-S$ 是变换的母函数。
1. ^ 参考 朗道《力学》
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。