正则变换 2

                     

贡献者： addis

　　 首先回顾拉格朗日方程为

正则动量为 $p_i=\partial L/\partial {\dot{q}}_i$，广义力为 $\partial L/\partial q_i$， 拉氏方程就是广义力与正则动量的牛顿第二定律。对于任何广义坐标，拉格朗日方程的形式不变。

　　 勒让德变换后，得到哈密顿正则方程为

其中 $H(p,q)=T+V$。我们通常简记 $q_1,\dots ,q_N$ 为 $q$，简记 ${\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N$ 为 $\dot{q}$。

1. 正则变换

　　 若广义坐标 $q$ 变换到另一套广义坐标 $q^{\prime }$，假设变换不显含时间，每个 $q_k$ 都是新坐标的函数 $q_k(q^{\prime })$，有

所以 另外可见广义速度的变换也和广义坐标有关：${\dot{q}}_i={\dot{q}}_i(q^{\prime },{\dot{q}}^{\prime })$。

　　 拉格朗日量是系统的状态量，所以 $L(q^{\prime },{\dot{q}}^{\prime },t)=L[q(q^{\prime }),\dot{q}(q^{\prime },{\dot{q}}^{\prime }),t]$， 所以

这就从坐标变换推出了动量变换。对于任何广义坐标以及对应的正则动量，哈密顿方程的形式不变（因为拉格朗日方程的形式不变，哈密顿方程是由拉格朗日方程推出来的），也有其他情况也不变。所有使正则方程成立的坐标叫做正则坐标（canonical coordinates）。下面推导判断正则坐标的一般条件。

　　 对于不显含时的物理量 $\omega (q,p)$，有（式 2 ）

现在若把 $H$ 看成是 $H[q^{\prime }(q,p),p^{\prime }(q,p)]$， 代入并对 $H$ 的偏微分合并同类项得 注意泊松括号是对 $q,p$ 进行偏微分，记为 $\{{\}}_{q,p}$。 分别代入 $\omega =q_i^{\prime },p_i^{\prime }$， 得到转换坐标后的哈密顿方程的一般形式。为了保持正则方程的形式，必须要求 这就是判断正则变换的一般条件。

　　 可以证明，用任何正则坐标作为泊松括号的角标，其值都不变：

其中

　　 现在我们要得到 ${\{u,v\}}_{q^{\prime },p^{\prime }}=\sum _i(\frac{\partial u}{\partial q_i^{\prime }}\frac{\partial v}{\partial p_i^{\prime }}-\frac{\partial v}{\partial q_i^{\prime }}\frac{\partial u}{\partial p_i^{\prime }})$， 可以把上两式代入式 12 后对 $\frac{\partial u}{\partial q^{\prime }}\frac{\partial v}{\partial p^{\prime }}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial q_i^{\prime }}\frac{\partial u}{\partial p_i^{\prime }}$ 合并同类项，得

代入正则坐标条件（式 11 ），得 证毕。