端点可变的作用量

贡献者：零穹; addis

预备知识　作用量原理

　　本文将证明几个个关于作用量

\begin{matrix} (1) & S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t . \end{matrix}

　　的重要公式，其中有两个是通常遇到的，即作用量对末时刻的偏导数等于负的能量（哈密顿量），对末坐标的偏导数等于动量对应分量，或说作用量的梯度等于动量。

　　具体来说，要证下面公式：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} = H^{(1)}, \\ \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} = - H^{(2)}, \\ \frac{\partial S}{\partial q^{i (2)}} = p_{i}^{(2)}, \\ \frac{\partial S}{\partial q^{i (1)}} = - p_{i}^{(1)}, \\ d S = \sum_{i} p_{i}^{(2)} d q^{i (2)} - & H^{(2)} d t^{(2)} - \sum_{i} p_{i}^{(1)} d q^{i (1)} + H^{(1)} d t^{(1)} . \end{aligned} \end{matrix}

这里，上标

(1), (2)

分别代表起点和终点对应值。

　　既然式 2 是关于端点的偏微分，这就是说这里的作用量实际上是端点可变的作用量。

　　可能读者已经疑惑了，作用量的自变量不应是个函数么？怎么这里的自变量是起止时刻和初末位置了。事实上，我们要找的作用量对应物理系统的演化，那么系统演化的曲线是使作用量取极值的曲线，而在端点和起止时刻确定时系统的演化我们认为只有一个，那么作用量就可看成这一极值曲线的两端点和对应起止时刻的函数。

1. 证明：

　　这里的公式事实上和变分学的端点可变问题中的一样，那里有更严格的证明，只需明确物理意义即可。然而，我们这里给出较之更适合物理人的证明，以避免深入了解变分学。

　　我们先证明关于端点的偏导数，即初末时刻不变，而仅有一端点变化时的情形。

　　注意到

\begin{matrix} (3) & δ S = {\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i}} δ q^{i} |}_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) δ q d t . \end{matrix}

因为系统真实演化，那么拉格朗日方程（式 2 ）成立，上式积分项为 0。而初位置固定，即

δ q^{(1)} = 0

，于是

\begin{matrix} (4) & δ S = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i (2)}} δ q^{i (2)} \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial q^{i (2)}} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i (2)}}, \end{matrix}

注意动量定义

\begin{matrix} (5) & p_{i} := \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i}} . \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial S}{\partial q^{i (2)}} = p_{i}^{(2)} . \end{matrix}

　　同样，若末时刻 $q^{(2)}$ 不变，仅初始刻 $q^{(1)}$ 变，就是

\begin{matrix} (7) & \frac{\partial S}{\partial q^{i (1)}} = - p_{i}^{(1)} . \end{matrix}

　　下面证对时间的偏导数，即初末位置不变，仅初末一时刻变化时的情形。

　　根据作用量 $S$ 的定义，有

\begin{matrix} (8) & d S = L^{(2)} d t^{(2)} - L^{(1)} d t^{(1)} . \end{matrix}

另一方面，

S

可看成初末位置和时间的函数，于是

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} d S & = \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} d t^{(1)} + \sum_{i} \frac{\partial S}{\partial q^{i (1)}} {\dot{q}}^{i (1)} d t^{(1)} + \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} d t^{(2)} + \sum_{i} \frac{\partial S}{\partial q^{i (2)}} {\dot{q}}^{i (2)} d t^{(2)} \\ = (\frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} - \sum_{i} p_{i}^{(1)} {\dot{q}}^{i (1)}) d t^{(1)} + (\frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} + \sum_{i} p_{i}^{(2)} {\dot{q}}^{i (2)}) d t^{(2)} . \end{aligned} \end{matrix}

比较式 8 ，式 9 ，有

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} & = \sum_{i} p_{i}^{(1)} {\dot{q}}^{i (1)} - L^{(1)}, \\ \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} & = - (\sum_{i} p_{i}^{(2)} {\dot{q}}^{i (2)} - L^{(2)}) . \end{aligned} \end{matrix}

由哈密顿量

H

定义：

\begin{matrix} (11) & H := \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}^{i} - L . \end{matrix}

式 10 就成为

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} & = H^{(1)}, \\ \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} & = - H^{(2)} . \end{aligned} \end{matrix}

将式 12 带入式 9 就有

\begin{matrix} (13) & d S = H^{(1)} d t^{(1)} - \sum_{i} p_{(1)} d q^{i (1)} - H^{(2)} d t^{(2)} + \sum_{i} p_{(2)} d q^{i (2)} . \end{matrix}

　　证明结束。

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