端点可变的作用量

                     

贡献者: 零穹

预备知识 作用量原理

   本词条将证明几个个关于作用量

\begin{equation} S=\int_{t_1}^{t_2}L \,\mathrm{d}{t} \end{equation}

   的重要公式,其中有两个是通常遇到的,即作用量对末时刻的偏导数等于负的能量(哈密顿量),对末坐标的偏导数等于动量对应分量,或说作用量的梯度等于动量。

   具体来说,要证下面公式:

\begin{equation} \begin{aligned} & \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} =H^{(1)}\\ & \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} =-H^{(2)}\\ & \frac{\partial S}{\partial {q}^{i(2)}} =p_i^{(2)}\\ & \frac{\partial S}{\partial {q}^{i (1)}} =-p_i^{(1)}\\ \,\mathrm{d}{S} =\sum_i p_i^{(2)} \,\mathrm{d}{q} ^{i (2)}-&H^{(2)} \,\mathrm{d}{t} ^{(2)}-\sum_i p_i^{(1)} \,\mathrm{d}{q} ^{i (1)}+H^{(1)} \,\mathrm{d}{t} ^{(1)} \end{aligned} \end{equation}
这里,上标 $(1),(2)$ 分别代表起点和终点对应值。

   既然式 2 是关于端点的偏微分,这就是说这里的作用量实际上是端点可变的作用量。

   可能读者已经疑惑了,作用量的自变量不应是个函数么?怎么这里的自变量是起止时刻和初末位置了。事实上,我们要找的作用量对应物理系统的演化,那么系统演化的曲线是使作用量取极值的曲线,而在端点和起止时刻确定时系统的演化我们认为只有一个,那么作用量就可看成这一极值曲线的两端点和对应起止时刻的函数。

1. 证明:

   这里的公式事实上和变分学的端点可变问题 中的一样,那里有更严格的证明,只需明确物理意义即可。然而,我们这里给出较之更适合物理人的证明,以避免深入了解变分学。

   我们先证明关于端点的偏导数,即初末时刻不变,而仅有一端点变化时的情形。

   注意到

\begin{equation} \delta S=\left. \frac{\partial L}{\partial \dot q^i} \delta q^i\right|_{t_1}^{t_2}+\int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) \delta q \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
因为系统真实演化,那么拉格朗日方程(式 2 )成立,上式积分项为 0。而初位置固定,即 $\delta q^{(1)}=0$,于是
\begin{equation} \delta S=\sum_i \frac{\partial L}{\partial {\dot q}^{i (2)}} \delta {q}^{i (2)}\Rightarrow \frac{\partial S}{\partial {q}^{i (2)}} = \frac{\partial L}{\partial {\dot q}^{i (2)}} \end{equation}
注意动量定义
\begin{equation} p_i:= \frac{\partial L}{\partial \dot q^i} \end{equation}
于是
\begin{equation} \frac{\partial S}{\partial {q}^{i (2)}} =p_i^{(2)} \end{equation}

   同样,若末时刻 $q^{(2)}$ 不变,仅初始刻 $q^{(1)}$ 变,就是

\begin{equation} \frac{\partial S}{\partial {q}^{i (1)}} =-p_i^{(1)} \end{equation}

   下面证对时间的偏导数,即初末位置不变,仅初末一时刻变化时的情形。

   根据作用量 $S$ 的定义,有

\begin{equation} \,\mathrm{d}{S} =L^{(2)} \,\mathrm{d}{t} ^{(2)}-L^{(1)} \,\mathrm{d}{t} ^{(1)} \end{equation}
另一方面,$S$ 可看成初末位置和时间的函数,于是
\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{S} &= \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} \,\mathrm{d}{t} ^{(1)}+\sum_i \frac{\partial S}{\partial {q}^{i (1)}} \;{\dot q}^{i (1)} \,\mathrm{d}{t} ^{(1)}+ \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} \,\mathrm{d}{t} ^{(2)}+\sum_i \frac{\partial S}{\partial {q}^{i (2)}} \; {\dot q}^{i (2)} \,\mathrm{d}{t} ^{(2)} \\ &= \left( \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} -\sum_i p_i^{(1)} {\dot q}^{i (1)} \right) \,\mathrm{d}{t} ^{(1)}+ \left( \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} +\sum_i p_i^{(2)}{\dot q}^{i (2)} \right) \,\mathrm{d}{t} ^{(2)} \end{aligned} \end{equation}
比较式 8 式 9 ,有
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} &=\sum_i p_i^{(1)}{\dot q}^{i (1)}-L^{(1)}\\ \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} &=- \left(\sum_i p_i^{(2)}{\dot q}^{i (2)}-L^{(2)} \right) \end{aligned} \end{equation}
由哈密顿量 $H$ 定义:
\begin{equation} H:=\sum_i p_i {\dot q^i}-L \end{equation}
式 10 就成为
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} &=H^{(1)}\\ \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} &=-H^{(2)} \end{aligned} \end{equation}
式 12 带入式 9 就有
\begin{equation} \,\mathrm{d}{S} =H^{(1)} \,\mathrm{d}{t} ^{(1)}-\sum_ip_{(1)} \,\mathrm{d}{q} ^{i (1)}-H^{(2)} \,\mathrm{d}{t} ^{(2)}+\sum_i p_{(2)} \,\mathrm{d}{q} ^{i (2)} \end{equation}

   证明结束。


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