群的扩张

贡献者： JierPeter

预备知识　直积和半直积（群）

　　注：本节参考《代数学基础》，本节主要编辑即是此书作者。

　　如果说求商群的过程是在 “模糊化” 一个群，那么直积可以理解为 “精细化” 一个群。

　　具体地，考虑群直积 $G \times H$ ，则 ${e} \times H$ 是其一个正规子群，于是求商群 $G \times H / {e} \times H$ 的过程就是把第一分量相同的元素 $(g, h_{1})$ 和 $(g, h_{2})$ 都视为同一个元素，即模糊了它们之间的差别。反之，已知群 $G$ 和 $H$ ，则求直积的过程可以理解为把每个元素 $g \in G$ 细化为集合 ${(g, h) ∣ h \in H}$ ，从一个点变成更多点。

　　那么求商群和求直积是不是互为逆运算呢？很可惜，并不是。

例 1　

　　考虑循环群 $Z / 4 Z$ 和 Klein 群 $K_{4} = Z / 2 Z \times Z / 2 Z$ 。二者都含 $4$ 个元素，都有正规子群 $Z / 2 Z$ ，但 $Z / 4 Z \neq Z / 2 Z \times Z / 2 Z$ ，故不能循环群 $Z / 4 Z$ 写成它的商群和正规子群的直积。

　　如何正确表达求商群的逆运算呢？如果说求商群 $G / N$ 是把正规子群 $N$ 的每个左陪集都看成一个元素，抹去其运算细节，那么反过来，把 $G / N$ 中的每个元素都扩张为一个群，就能得到 $G$ ，我们称这个过程为群的扩张。

定义 1　群的扩张

　　给定群 $K$ 和 $N$ ，如果存在一个群 $G$ 和群同态 $f : G \to K$ ，使得 $\ker f ≅ N$ ，则称 $G$ 为群 $K$ 过群 $N$ 的扩张（extension）。

　　称 $N$ 为该扩张的扩张核，或简称为核。

　　群的扩张还可以用一种更简洁的语言来表达。

定义 2　正合序列

　　给定群 $G_{i}$ ，如果存在同态 $f_{i} : G_{i} \to G_{i + 1}$ ，使得 $Im f_{i} = \ker f_{i + 1}$ ，则称如下的序列

\begin{matrix} (1) & \dots \overset{f_{i - 2}}{\to} G_{i - 1} \overset{f_{i - 1}}{\to} G_{i} \overset{f_{i}}{\to} G_{i + 1} \overset{f_{i + 1}}{\to} \dots \end{matrix}

为一个正合序列（exact sequence）。

　　不至于混淆时，也可以省略不写箭头上方的同态。

　　令 $1$ 表示平凡群，则称

\begin{matrix} (2) & 1 \overset{}{\to} H \overset{λ}{\to} G \overset{μ}{\to} K \overset{}{\to} 1 \end{matrix}

为一个短正合序列（short exact sequence）。

　　按照正合序列的定义，短正合序列中 $λ$ 必是单射，这意味着 $H$ 同构于 $G$ 的某个子群；同时根据群同态基本定理（习题 2 ）， $K ≅ G / H$ ，这意味着我们可以用短正合序列来定义群的扩张：

习题 1　群的扩张（另一定义）

　　证明：“群 $G$ 是群 $K$ 过群 $H$ 的扩张” 当且仅当 “存在短正合序列 $1 \overset{}{\to} H \overset{λ}{\to} G \overset{μ}{\to} K \overset{}{\to} 1$ ”。

　　接下来，我们看一些群扩张的例子，加深体会。

例 2　

　　例 1 中的两个群，分别可以写成以下扩张：

\begin{matrix} (3) & {\begin{aligned} 1 \overset{}{\to} Z / 2 Z \overset{λ_{1}}{\to} K_{4} \overset{μ_{1}}{\to} Z / 2 Z \overset{}{\to} 1, \\ 1 \overset{}{\to} Z / 2 Z \overset{λ_{2}}{\to} K_{4} \overset{μ_{2}}{\to} Z / 2 Z \overset{}{\to} 1 . \end{aligned} \end{matrix}

　　这个例子说明，同一个群过同一个群的扩张，方式不唯一。

例 3　

　　考虑满同态 $μ : S_{3} \to Z / 2 Z$ ，其中奇置换都映射到 $1$ ，偶置换映射到 $0$ 。考虑 $\ker μ = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} = Z / 3 Z$ ，易得短正合序列：

\begin{matrix} (4) & 1 \overset{}{\to} Z / 3 Z \overset{λ}{\to} S_{3} \overset{μ}{\to} Z / 2 Z \overset{}{\to} 1 . \end{matrix}

　　这个序列说明，结构简单的阿贝尔群也能扩张出结构复杂的非阿贝尔群。

例 4　

　　从群扩张的角度，可以清晰地看出正交群和自旋群的结构差异：

\begin{matrix} (5) & 1 \overset{}{\to} {SO}_{3} \overset{}{\to} O_{n} \overset{}{\to} Z / 2 Z \overset{}{\to} 1 . \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & 1 \overset{}{\to} Z / 2 Z \overset{}{\to} {Spin}_{n} \overset{}{\to} {SO}_{3} \overset{}{\to} 1 . \end{matrix}

　　直观来说，正交群 $O_{n}$ 可以看成是给特殊正交群整体加了一个 “镜像”，自旋群 ${Spin}_{n}$ 则是给特殊正交群的每个元素加了一个 “镜像”。

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群的扩张

例 1

定义 1 群的扩张

定义 2 正合序列

习题 1 群的扩张（另一定义）

例 2

例 3

例 4

例 1　

定义 1　群的扩张

定义 2　正合序列

习题 1　群的扩张（另一定义）

例 2　

例 3　

例 4　