贡献者： JierPeter
注：本节参考《代数学基础》，本节主要编辑即是此书作者。
如果说求商群的过程是在 “模糊化” 一个群，那么直积可以理解为 “精细化” 一个群。
具体地，考虑群直积 $G\times H$，则 $\{e\}\times H$ 是其一个正规子群，于是求商群 $G\times H/\{e\}\times H$ 的过程就是把第一分量相同的元素 $(g, h_1)$ 和 $(g, h_2)$ 都视为同一个元素，即模糊了它们之间的差别。反之，已知群 $G$ 和 $H$，则求直积的过程可以理解为把每个元素 $g\in G$ 细化为集合 $\{(g, h)\mid h\in H\}$，从一个点变成更多点。
那么求商群和求直积是不是互为逆运算呢？很可惜，并不是。
例 1
考虑循环群 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 和 Klein 群 $K_4=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。二者都含 $4$ 个元素，都有正规子群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，但 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\neq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，故不能循环群 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 写成它的商群和正规子群的直积。
如何正确表达求商群的逆运算呢？如果说求商群 $G/N$ 是把正规子群 $N$ 的每个左陪集都看成一个元素，抹去其运算细节，那么反过来，把 $G/N$ 中的每个元素都扩张为一个群，就能得到 $G$，我们称这个过程为群的扩张。
定义 1 群的扩张
给定群 $K$ 和 $N$，如果存在一个群 $G$ 和群同态 $f:G\to K$，使得 $ \operatorname {ker}f\cong N$，则称 $G$ 为群 $K$ 过群 $N$ 的扩张（extension）。
称 $N$ 为该扩张的扩张核，或简称为核。
群的扩张还可以用一种更简洁的语言来表达。
定义 2 正合序列
给定群 $G_i$，如果存在同态 $f_i:G_i\to G_{i+1}$，使得 $ \operatorname {Im}f_i= \operatorname {ker}f_{i+1}$，则称如下的序列
\begin{equation}
\cdots \xrightarrow{f_{i-2}} G_{i-1} \xrightarrow{f_{i-1}} G_i \xrightarrow{f_i} G_{i+1} \xrightarrow{f_{i+1}}\cdots~
\end{equation}
为一个
正合序列（exact sequence）。
不至于混淆时，也可以省略不写箭头上方的同态。
令 $1$ 表示平凡群，则称
\begin{equation}
1\xrightarrow{}H\xrightarrow{\lambda}G\xrightarrow{\mu}K\xrightarrow{}1~
\end{equation}
为一个
短正合序列（short exact sequence）。
按照正合序列的定义，短正合序列中 $\lambda$ 必是单射，这意味着 $H$ 同构于 $G$ 的某个子群；同时根据群同态基本定理（习题 2 ），$K\cong G/H$，这意味着我们可以用短正合序列来定义群的扩张：
习题 1 群的扩张（另一定义）
证明：“群 $G$ 是群 $K$ 过群 $H$ 的扩张” 当且仅当 “存在短正合序列 $1\xrightarrow{}H\xrightarrow{\lambda}G\xrightarrow{\mu}K\xrightarrow{}1$”。
接下来，我们看一些群扩张的例子，加深体会。
例 2
例 1 中的两个群，分别可以写成以下扩张：
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&1\xrightarrow{}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{\lambda_1}K_4\xrightarrow{\mu_1}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{}1, \\
&1\xrightarrow{}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{\lambda_2}K_4\xrightarrow{\mu_2}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{}1~.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
这个例子说明，同一个群过同一个群的扩张，方式不唯一。
例 3
考虑满同态$\mu: \operatorname {S}_3\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，其中奇置换都映射到 $1$，偶置换映射到 $0$。考虑 $ \operatorname {ker}\mu=\{(1), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$，易得短正合序列：
\begin{equation}
1\xrightarrow{}\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\xrightarrow{\lambda} \operatorname {S}_3\xrightarrow{\mu}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{}1~.
\end{equation}
这个序列说明，结构简单的阿贝尔群也能扩张出结构复杂的非阿贝尔群。
例 4
从群扩张的角度，可以清晰地看出正交群和自旋群的结构差异：
\begin{equation}
1\xrightarrow{} \operatorname {SO}_3\xrightarrow{} \operatorname {O}_n\xrightarrow{}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{}1~.
\end{equation}
\begin{equation}
1\xrightarrow{}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{} \operatorname {Spin}_n\xrightarrow{} \operatorname {SO}_3\xrightarrow{}1~.
\end{equation}
直观来说，正交群 $ \operatorname {O}_n$ 可以看成是给特殊正交群整体加了一个 “镜像”，自旋群 $ \operatorname {Spin}_n$ 则是给特殊正交群的每个元素加了一个 “镜像”。
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