单群

贡献者： JierPeter; Giacomo

1. 单群

　　 单群可以和素数类比。我们知道，任何一个非平凡的整数（即除了 $0$ 和 $1$）都可以分解为素数的乘积，素数是正整数的 “砖石”。类似地，任何一个具有正规子群的群都可以分解为其正规子群和另一个群的半直积，而不存在非平凡正规子群的群就可以类比为群的 “砖石”。这样的砖石被称为单群。

　　 正如我们不把 $1$ 视作素数，平凡群也不被视作单群。

　　 群的分解和数字的分解有很多类似之处，但依然有很多不同，因此本节中使用的类比更多地是为了方便建立直观印象，而非对号入座，请注意。

2. 合成序列

　　 每一个非平凡整数都可以通过因子分解，一步步拆成素因子更少的数，直到得到素数。比如说，$120$ 可以拆成 $4 \times 30$，$30$ 可以拆成 $2 \times 15$，$15$ 再拆成 $3 \times 5$，$3$ 和 $5$ 就无法再拆了。群也类似，可以把群拆成自己的正规子群和子群的半直积。

　　 我们有 $G_{i + 1} = G_{i} \rtimes (G_{i+1} / G_{i})$.

　　 注意，正规子群列只要求相邻的两个群具有 “正规子群” 的关系，而 $G_{i+2}$ 不一定是 $G_i$ 的正规子群。

　　 如果序列满足任意的 $G_{i} \neq G_{i+1}$，（等价的，所有合成因子 $G_{i+1} / G_{i}$ 非平凡），该序列被称为无重复的。

　　 有时候，无重复的正规子群列的相邻两项中间可以再插入一个群，使之仍然成为一个正规子群列。这样的行为有时被称为 “加细”。如果一个正规子群列已经无法加细，那么我们称之为群 $G$ 的一个合成序列。或者说，合成序列是按如下方法定义的：

　　 类比到非负整数的质因数分解，合成序列就好比是每次只拿走一个质因子（单群）。非负整数 “合成序列” 的分解顺序不一定唯一，比如 $60$ 可以写成 $2\times 3\times 2\times 5$，也可以写成 $5\times 3\times 2\times 2$，但是任何一个 “合成序列” 里的元素一定是一样的（计入重数）¹。群的合成序列也类似，合成序列不唯一，但其合成因子集合一样（计入重数）。这就是以下 Jordan-Hölder 定理在群论中的情形。

3. Jordan-Hölder 定理²

　　 证明：

　　 主序列都是合成序列，从而如果命题第一句成立则第二句自然成立。只需证明合成序列同构即可。

　　 给定群 $G$ 的两个合成序列

　　 取 $H_i$，考虑它的一个次正规序列³

　　 考虑到 $H_i\cap K_1=H_i$，以及 $H_{i+1}$ 是 $H_i$ 的极大正规真子群，故存在唯一的$j$ 使得 $(H_i\cap K_j)H_{i+1}=H_i$，而 $(H_i\cap K_{j+1})H_{i+1}=H_{i+1}$。

　　 反过来同理，存在唯一的$m$ 使得 $(K_j\cap H_m)K_{j+1}=K_j$，而 $(K_j\cap H_{m+1})K_{j+1}=K_{j+1}$。

　　 下证$m=i$，即 $H_i$ 和 $K_j$ 相互对应。

　　 反过来，$(K_j\cap H_i)K_{j+1}$ 要么是 $K_j$，要么是 $K_{j+1}$，但是阴影区域非空意味着它不是 $K_{j+1}$，故必有

　　 同样，$(K_j\cap H_{i+1})K_{j+1}$ 要么是 $K_j$，要么是 $K_{j+1}$。因为 $(K_j\cap H_{i+1})(K_{j+1}\cap H_i)\subseteq H_{i+1}$，而群运算的唯一性和封闭性使得 $(K_j\cap H_{i+1})(K_{j+1} - H_i)\subseteq K_j-H_i$，于是非空阴影区域不包含于$(K_j\cap H_{i+1})K_{j+1}$。于是 $(K_j\cap H_{i+1})K_{j+1}$ 不是 $K_j$，故必有

　　 最后证明$H_i/H_{i+1}$ 和对应的 $K_j/K_{j+1}$ 同构。

　　 由一个定理⁶知⁷

　　 证毕。

　　 上述证明中没有展开讨论为什么⁸ $H_{i+1}(H_i\cap K_j)H_{i+1}\rhd H_{i+1}(H_i\cap K_{j+1})H_{i+1}$，也没有据此证明 $(H_i\cap K_{j})H_{i+1}\rhd (H_i\cap K_{j+1})H_{i+1}$，我们现在讨论。

　　 先证明一个简化问题：给定 $G$ 的子群 $K, H, N$，若 $K\rhd H$，且对任意 $k\in K$ 都有 $kHk^{-1}\subseteq H$⁹，则 $HKH\rhd HNH$。

　　 任取 $h\in H, k\in K$，则 $hkh^{-1} H hk^{-1}h^{-1}=H$，$kNk^{-1}=N$ 且 $hkh^{-1}k^{-1}$，从而

　　 最后，据一个引理¹⁰，考虑到 $H_{i+1}\lhd H_i$，可知

　　 这样，取 $K=H_i\cap K_j$，$H=H_{i+1}$ 和 $N=H_i\cap K_{j+1}$，即可得证原定理证明中式 4 是次正规序列。

　　 我们可以把群 $G$ 的长度（length）定义成它的任意合成序列的长度。

4. 有限单群

　　 有限群的研究重点是有限单群，知道了所有有限单群的性质也就能相应推出任意有限群的性质。但我们是否知道所有有限单群了呢？答案是肯定的。事实上，目前的研究表明，全体有限单群都可以归入特定的几个类别里，如果这是真的，那么我们确实已经知道了所有有限单群。

　　 有限单群的分类定理的证明历时长且极为复杂，汇聚了历代无数数学家的工作。这庞杂的证明在过去曾被指出有漏洞，尽管这些漏洞都已经被补上了，但过于复杂的证明和毫无美感的分类结果还是让人质疑其正确性。事实上，当代数学家仍然在尝试给出更简洁的证明，截至 2019 年已经有八册证明发表，预计完成后约 5000 页证明。

1. ^ 计入重数的意思，就是比如 $60$ 的因子里出现了两次 $2$，那么两个 $2$ 都要算进去，而不是把相同元素视为同一个。比如说，$5\times 3 \times 2$ 的因子里只出现了一个 $2$，它就和 $5\times 3\times 2\times 2$ 不是同一个 “合成序列”。
2. ^ 本节摘自《代数学基础》。
3. ^ 对群 $A$ 的任意子群 $B$ 和正规子群 $N$，有 $B\cap A=B\rhd B\cap N$。
4. ^ $H_{i+1}(H_i\cap K_j)H_{i+1}\rhd H_{i+1}(H_i\cap K_{j+1})H_{i+1}$ 的证明见定理证明后的讨论。
5. ^ 别忘了群中集合的运算表达：$AB=\{ab\mid a\in A, b\in B\}$。
6. ^ 此定理出自《代数学基础》，与百科系统不兼容从而不便引用，故在此处复述：若 $H$ 是 $G$ 的子群且 $N\lhd G$，则 $HN/N\cong H/(H\cap N)$。此处代入 $G=H_i, N=(H_i\cap K_{j+1})H_{i+1}, H=H_i\cap K_j$ 即可。
7. ^ 最后一个等号应用了这个原理：给定某群的子群 $A, B, C$，则 $B\subseteq A \iff A\cap(BC)=(A\cap C)B$。因为 $A\cap (BC)$ 是 $\{bc\mid b\in B, c\in C, bc\in A\}$，而 $(A\cap C)B$ 是 $\{bc\mid b\in B, c\in C, c\in A\}$，故两个集合相等相当于说 $bc\in A\iff c\in A$，从而 $b\in A$。
8. ^ 证明中此构造启发自朱富海老师的《抽象代数》中 Jordan-Hölder 定理的证明，我觉得很有创意，比常见的归纳法要漂亮。
9. ^ 注意，$H$ 不一定要求是 $K$ 的子群。
10. ^ 此引理也出自《代数学基础》，不方便引用，在此简述：给定 $G\rhd N$，则 $\forall g\in G, NgN=gN$。
11. ^ 可参见 http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf。