单群

             

预备知识 群的直积和直和

1. 单群和各种序列

   单群可以和素数类比.我们知道,任何一个非平凡的整数(即除了 0 和 1)都可以分解为素数的乘积,素数是正整数的 “砖石”.类似地,任何一个具有正规子群的群都可以分解为其正规子群和另一个群的半直积,而不存在非平凡正规子群的群就可以类比为群的 “砖石”.这样的砖石被称为单群

定义 1 单群

   如果群 $G$ 不存在正规子群,那么称其为一个单群(simple group)

   群的分解和数字的分解有很多类似之处,但依然有很多不同,因此本节中使用的类比更多地是为了方便建立直观印象,而非对号入座,请注意.

   每一个非平凡整数都可以通过因子分解,一步步拆成素因子更少的数,直到得到素数.比如说,60 可以拆成 30,30 可以拆成 15,15 再拆成 3,而 3 就无法再拆了.群也类似,可以把群拆成自己的正规子群,直到不再能拆,也就是得到单群.

定义 2 正规子群列

   给定 $n$ 个群 $G_i$,如果每个 $G_{i+1}$ 都是 $G_{i}$ 的正规子群,而 $G_n$ 是单群,那么可以得到一个序列 $G_0\triangleright G_1\triangleright\cdots\triangleright G_n$,称之为一个正规子群序列(normal subgroup sequence)

   注意,正规子群列只要求相邻的两个群具有 “正规子群” 的关系,而 $G_{i+2}$ 不一定是 $G_i$ 的正规子群.

   有时候,正规子群列的相邻两项中间可以再插入一个群,使之仍然成为一个正规子群.这样的行为有时被称为 “加细”.如果一个正规子群列已经无法加细,那么我们称之为一个合成序列(composition sequence)

   类比到非负整数的质因数分解,合成序列就好比是每次只拿走一个质因子,序列的每一项都比上一项少一个质因子.非负整数的 “合成序列” 不一定唯一,但是所有合成序列的长度一定是一样的.群的合成序列也类似,合成序列不唯一,但其长度必然是一样的.这就是以下 Jordan-Holder 定理在群论中的情形:

定义 3 Jordan-Holder 定理

   若一个群 $G$ 可以分解为合成列$G=G_0\triangleright G_1\triangleright\cdots\triangleright G_r$ 和 $G=H_0\triangleright H_1\triangleright\cdots\triangleright H_s$,那么必有 $r=s$.

2. 有限单群

   有限群的研究重点是有限单群,知道了所有有限单群的性质也就能相应推出任意有限群的性质.但我们是否知道所有有限单群了呢?答案是肯定的.事实上,目前的研究表明,全体有限单群都可以归入特定的几个类别里,如果这是真的,那么我们确实已经知道了所有有限单群.

定义 4 有限单群分类定理1

   如果 $G$ 是一个单群,那么 $G$ 必属于以下几类群中的一个:

  • $\mathbb{Z}_p$,其中 $p$ 是素数;
  • 交错群 $A_n$,其中 $n\geq 5$;
  • 典型李群;
  • 例外、缠绕李群;
  • 26 个散在单群.

   有限单群的分类定理的证明历时长且极为复杂,汇聚了历代无数数学家的工作.这庞杂的证明在过去曾被指出有漏洞,尽管这些漏洞都已经被补上了,但过于复杂的证明和毫无美感的分类结果还是让人质疑其正确性.事实上,当代数学家仍然在尝试给出更简洁的证明,截至 2019 年已经有八册证明发表,预计完成后约 5000 页证明.


1. ^ 可参见 http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf.

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