复值测度与广义函数

贡献者： JierPeter

预备知识　Lebesgue 积分，映射

　　在集合的测度（实变函数）中，我们了解了 Lebesgue 外测度。它是将 “开集的体积” 进行推广而得来的，其定义思路也有明显的物理对应：用容器去衡量被容纳物的大小。具象的概念虽然容易想象，但因其具象也束缚了概念范围，所以我们在得到一个新的概念时，总会想把它的核心特征抽离出来，抽象出一个更一般的概念，看看能不能引申出有趣的理论。

　　 Lebesgue 外测度该怎么抽象呢？抛去其定义的方式不谈，它就是用来衡量 “集合的体积” 的，对不对？体积是一个数字，那我们就把测度看成是给各集合赋予一个数字，也就是 “集合函数”¹。再考虑一些集合体积所具有的性质，我们可以构造出这样一个定义：

定义 1　非负测度

　　设 $S$ 是一个集合， $A$ 是由 $S$ 的子集构成的一个 $σ$ -代数²。称映射 $μ : A \to [0, + \infty]$ 是 $(S, A)$ 上的一个非负测度（non-negative measure），如果它满足：

$μ (\emptyset) = 0$ ；
对于两两不交的至多可数个 $A_{i} \in A$ ，有
$\begin{matrix} (1) & μ (⋃_{i} A_{i}) = \sum_{i} μ (A_{i}) . \end{matrix}$

　　三元组 $(S, A, μ)$ 也被称为一个测度空间（measure space）。

　　注意，定义中测度 $μ$ 的值域是 $[0, + \infty]$ 而非 $[0, + \infty)$ ，意味着测度值也可以取广义实数 $+ \infty$ 。由于测度值非负，因此在不至于混淆的时候，也可以用 $\infty$ 代替 $+ \infty$ 。

　　有非负测度，意味着测度的概念还可以继续推广：

定义 2　复值测度

　　将非负测度的定义域从 $[0, + \infty]$ 改为 $C$ ，即得到复值测度。

例 1　计数测度

　　设 $S$ 为任意集合，定义 $(S, 2^{S})$ 上的一个测度 $μ$ 如下：

\begin{matrix} (2) & μ (A) = {\begin{array}{r} | A |, | A | < ℵ_{0} \\ + \infty, | A | \geq ℵ_{0} \end{array} \end{matrix}

称其为

(S, 2^{S})

上的计数测度。

　　定义 1 比 Lebesgue 测度的定义抽象多了，因此有必要举一个和 Lebesgue 测度截然不同的例子，来体现其 “更一般更抽象” 的特点：

例 2　Dirac 测度

　　令 $B$ 为 $R^{n}$ 中的 Borel 集合³。取 $R^{n}$ 中的一点 $x_{0}$ ，定义 $(R^{n}, B)$ 上的测度 $σ_{x_{0}}$ 为：

\begin{matrix} (3) & σ_{x_{0}} (A) = {\begin{array}{r} 1, x_{0} \in A \\ 0, x_{0} \notin A \end{array} \end{matrix}

称之为Dirac 测度。

　　 Dirac 测度显然连平移不变性都不具备，和 Lebesgue 外测度截然不同。你可能也注意到了，Dirac 测度和 Dirac 函数看起来很相似——没错，Dirac 函数本质上就不是一个函数，而是一个测度。但这话乍一听很奇怪，函数是给集合上每个点赋予一个数字，测度是给各子集赋予数字，两者是怎么联系起来的呢？这就需要利用 Lebesgue 外测度作为脚手架，来衔接二者了。

1. 函数与测度

定义 3　测度的绝对连续

　　设 $μ$ 和 $ν$ 都是 $(S, A)$ 上的测度，且只要 $ν (A) = 0$ ，就必有 $μ (A) = 0$ ，那么称测度 $μ$ 关于测度 $ν$ 绝对连续，记为 $μ ≪ ν$ 。

　　如果 $μ ≪ ν$ 且 $ν ≪ μ$ ，则称 $μ$ 与 $ν$ 等价。

未完成：需补充或引用Radon-Nikodym 定理相关文章。

　　 Radon-Nikodym 定理显示，如果 $μ ≪ ν$ ，且 $ν$ 是 $σ$ -有限测度⁴，那么 $μ$ 就可以和一个函数 $f : S \to [0, + \infty]$ 相联系起来：

\begin{matrix} (4) & μ (A) = \int_{A} f d ν . \end{matrix}

　　我们可以取所研究的二元组 $(S, A)$ 为 $(R^{n}, B)$ ， $ν$ 为 Lebesgue 外测度，于是 $\int_{A} f d ν$ 就是 $f$ 的 Lebesgue 积分。我们可以把 $f$ 称为 $μ$ 的关于 $ν$ 的密度（density）。

　　反过来，对于一个 Lebesgue 可积函数 $f$ ，我们总可以定义与之相关的测度：

\begin{matrix} (5) & μ (A) = \int_{A} f (x) d x . \end{matrix}

　　如果 $f$ 是测度 $μ$ 的密度，那么任意函数 $φ$ 关于测度 $μ$ 的积分就可以写为：

\begin{matrix} (6) & \int_{A} φ d μ = \int_{A} f (x) φ (x) d x . \end{matrix}

　　于是，我们可以将测度 $μ$ 引申为一个泛函：

\begin{matrix} (7) & μ (φ) = \int_{R^{n}} f (x) φ (x) d x . \end{matrix}

　　今后，我们将不再区分测度 $μ$ 及其关于 Lebesgue 测度的密度 $f$ 。泛函 $μ (φ)$ 有时候也表示为 $f (φ)$ 。

1. ^ 注意这个术语的意思：集合函数是指把集合映射到数字上的映射。值域是数字的映射，通常又称为函数。
2. ^ 即用 $A$ 中元素进行任意多次的交、并、差、补等运算，结果仍在 $A$ 中。
3. ^ 即用开区间进行任意多次交、并、差、补等运算获得的集族。
4. ^ 即 $S$ 可以表示为最多可数个 $B_{i} \in A$ 的并集，且 $ν (B_{i}) < + \infty$ 恒成立。

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复值测度与广义函数

定义 1 非负测度

定义 2 复值测度

例 1 计数测度