贡献者： JierPeter
在集合的测度（实变函数）中，我们了解了 Lebesgue 外测度。它是将 “开集的体积” 进行推广而得来的，其定义思路也有明显的物理对应：用容器去衡量被容纳物的大小。具象的概念虽然容易想象，但因其具象也束缚了概念范围，所以我们在得到一个新的概念时，总会想把它的核心特征抽离出来，抽象出一个更一般的概念，看看能不能引申出有趣的理论。
Lebesgue 外测度该怎么抽象呢？抛去其定义的方式不谈，它就是用来衡量 “集合的体积” 的，对不对？体积是一个数字，那我们就把测度看成是给各集合赋予一个数字，也就是 “集合函数”1。再考虑一些集合体积所具有的性质，我们可以构造出这样一个定义：
定义 1 非负测度
设 $S$ 是一个集合，$\mathcal{A}$ 是由 $S$ 的子集构成的一个 $\sigma$-代数2。称映射 $\mu:\mathcal{A}\to [0, +\infty]$ 是 $(S, \mathcal{A})$ 上的一个非负测度（non-negative measure），如果它满足：
- $\mu(\varnothing)=0$；
- 对于两两不交的至多可数个 $A_i\in\mathcal{A}$，有
\begin{equation}
\mu \left(\bigcup_i A_i \right) = \sum_i \mu(A_i)~.
\end{equation}
三元组 $(S, \mathcal{A}, \mu)$ 也被称为一个测度空间（measure space）。
注意，定义中测度 $\mu$ 的值域是 $[0, +\infty]$ 而非 $[0, +\infty)$，意味着测度值也可以取广义实数 $+\infty$。由于测度值非负，因此在不至于混淆的时候，也可以用 $\infty$ 代替 $+\infty$。
有非负测度，意味着测度的概念还可以继续推广：
定义 2 复值测度
将非负测度的定义域从 $[0, +\infty]$ 改为 $\mathbb{C}$，即得到复值测度。
例 1 计数测度
设 $S$ 为任意集合，定义 $(S, 2^S)$ 上的一个测度 $\mu$ 如下：
\begin{equation}
\mu(A)=
\left\{\begin{aligned}
\left\lvert A \right\rvert ,\quad \left\lvert A \right\rvert <\aleph_0\\
+\infty,\quad \left\lvert A \right\rvert \geq\aleph_0
\end{aligned}\right. ~
\end{equation}
称其为 $(S, 2^S)$ 上的
计数测度。
定义 1 比 Lebesgue 测度的定义抽象多了，因此有必要举一个和 Lebesgue 测度截然不同的例子，来体现其 “更一般更抽象” 的特点：
例 2 Dirac 测度
令 $\mathcal{B}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的 Borel 集合3。取 $\mathbb{R}^n$ 中的一点 $x_0$，定义 $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B})$ 上的测度 $\sigma_{x_0}$ 为：
\begin{equation}
\sigma_{x_0}(A)= \left\{\begin{aligned}
1, \quad x_0\in A\\
0, \quad x_0\not\in A
\end{aligned}\right. ~
\end{equation}
称之为
Dirac 测度。
Dirac 测度显然连平移不变性都不具备，和 Lebesgue 外测度截然不同。你可能也注意到了，Dirac 测度和 Dirac 函数看起来很相似——没错，Dirac 函数本质上就不是一个函数，而是一个测度。但这话乍一听很奇怪，函数是给集合上每个点赋予一个数字，测度是给各子集赋予数字，两者是怎么联系起来的呢？这就需要利用 Lebesgue 外测度作为脚手架，来衔接二者了。
1. 函数与测度
定义 3 测度的绝对连续
设 $\mu$ 和 $\nu$ 都是 $(S, \mathcal{A})$ 上的测度，且只要 $\nu(A)=0$，就必有 $\mu(A)=0$，那么称测度 $\mu$ 关于测度 $\nu$ 绝对连续，记为 $\mu\ll\nu$。
如果 $\mu\ll\nu$ 且 $\nu\ll\mu$，则称 $\mu$ 与 $\nu$ 等价。
未完成：需补充或引用Radon-Nikodym 定理相关文章。
Radon-Nikodym 定理显示，如果 $\mu\ll\nu$，且 $\nu$ 是 $\sigma$-有限测度4，那么 $\mu$ 就可以和一个函数 $f:S\to [0, +\infty]$ 相联系起来：
\begin{equation}
\mu(A) = \int_A f \,\mathrm{d}{\nu} ~.
\end{equation}
我们可以取所研究的二元组 $(S, \mathcal{A})$ 为 $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B})$，$\nu$ 为 Lebesgue 外测度，于是 $\int_A f \,\mathrm{d}{\nu} $ 就是 $f$ 的 Lebesgue 积分。我们可以把 $f$ 称为 $\mu$ 的关于 $\nu$ 的密度（density）。
反过来，对于一个 Lebesgue 可积函数 $f$，我们总可以定义与之相关的测度：
\begin{equation}
\mu(A) = \int_A f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
如果 $f$ 是测度 $\mu$ 的密度，那么任意函数 $\varphi$ 关于测度 $\mu$ 的积分就可以写为：
\begin{equation}
\int_A \varphi \,\mathrm{d}{\mu} = \int_A f(x)\varphi(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
于是，我们可以将测度 $\mu$ 引申为一个泛函：
\begin{equation}
\mu(\varphi) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\varphi(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
今后，我们将不再区分测度 $\mu$ 及其关于 Lebesgue 测度的密度 $f$。泛函 $\mu(\varphi)$ 有时候也表示为 $f(\varphi)$。
1. ^ 注意这个术语的意思：集合函数是指把集合映射到数字上的映射。值域是数字的映射，通常又称为函数。
2. ^ 即用 $\mathcal{A}$ 中元素进行任意多次的交、并、差、补等运算，结果仍在 $\mathcal{A}$ 中。
3. ^ 即用开区间进行任意多次交、并、差、补等运算获得的集族。
4. ^ 即 $S$ 可以表示为最多可数个 $B_i\in\mathcal{A}$ 的并集，且 $\nu(B_i)<+\infty$ 恒成立。
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