测度与广义函数

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 Lebesgue 积分,映射

   在集合的测度(实变函数)中,我们了解了 Lebesgue 外测度.它是将 “开集的体积” 进行推广而得来的,其定义思路也有明显的物理对应:用容器去衡量被容纳物的大小.具象的概念虽然容易想象,但因其具象也束缚了概念范围,所以我们在得到一个新的概念时,总会想把它的核心特征抽离出来,抽象出一个更一般的概念,看看能不能引申出有趣的理论.

   Lebesgue 外测度该怎么抽象呢?抛去其定义的方式不谈,它就是用来衡量 “集合的体积” 的,对不对?体积是一个数字,那我们就把测度看成是给各集合赋予一个数字,也就是 “集合函数”1.再考虑一些集合体积所具有的性质,我们可以构造出这样一个定义:

定义 1 非负测度

   设 $S$ 是一个集合,$\mathcal{A}$ 是由 $S$ 的子集构成的一个 $\sigma$-代数2.称映射 $\mu:\mathcal{A}\to [0, +\infty]$ 是 $(S, \mathcal{A})$ 上的一个非负测度(non-negative measure),如果它满足:

  1. $\mu(\varnothing)=0$;
  2. 对于两两不交的至多可数个 $A_i\in\mathcal{A}$,有
    \begin{equation} \mu \left(\bigcup_i A_i \right) = \sum_i \mu(A_i) \end{equation}

   三元组 $(S, \mathcal{A}, \mu)$ 也被称为一个测度空间(measure space)

   注意,定义中测度 $\mu$ 的值域是 $[0, +\infty]$ 而非 $[0, +\infty)$,意味着测度值也可以取广义实数 $+\infty$.由于测度值非负,因此在不至于混淆的时候,也可以用 $\infty$ 代替 $+\infty$.

   有非负测度,意味着测度的概念还可以继续推广:

定义 2 复值测度

   将非负测度的定义域从 $[0, +\infty]$ 改为 $\mathbb{C}$,即得到复值测度

例 1 计数测度

   设 $S$ 为任意集合,定义 $(S, 2^S)$ 上的一个测度 $\mu$ 如下:

\begin{equation} \mu(A)= \left\{\begin{aligned} \left\lvert A \right\rvert ,\quad \left\lvert A \right\rvert < \aleph_0\\ +\infty,\quad \left\lvert A \right\rvert \geq\aleph_0 \end{aligned}\right. \end{equation}
称其为 $(S, 2^S)$ 上的计数测度

   定义 1 比 Lebesgue 测度的定义抽象多了,因此有必要举一个和 Lebesgue 测度截然不同的例子,来体现其 “更一般更抽象” 的特点:

例 2 Dirac 测度

   令 $\mathcal{B}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的 Borel 集合3.取 $\mathbb{R}^n$ 中的一点 $x_0$,定义 $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B})$ 上的测度 $\sigma_{x_0}$ 为:

\begin{equation} \sigma_{x_0}(A)= \left\{\begin{aligned} 1, \quad x_0\in A\\ 0, \quad x_0\not\in A \end{aligned}\right. \end{equation}
称之为Dirac 测度

   Dirac 测度显然连平移不变性都不具备,和 Lebesgue 外测度截然不同.你可能也注意到了,Dirac 测度和 Dirac 函数看起来很相似——没错,Dirac 函数本质上就不是一个函数,而是一个测度.但这话乍一听很奇怪,函数是给集合上每个点赋予一个数字,测度是给各子集赋予数字,两者是怎么联系起来的呢?这就需要利用 Lebesgue 外测度作为脚手架,来衔接二者了.

1. 函数与测度

定义 3 测度的绝对连续

   设 $\mu$ 和 $\nu$ 都是 $(S, \mathcal{A})$ 上的测度,且只要 $\nu(A)=0$,就必有 $\mu(0)$,那么称测度 $\mu$ 关于测度 $\nu$ 绝对连续,记为 $\mu\ll\nu$.

   如果 $\mu\ll\nu$ 且 $\nu\ll\mu$,则称 $\mu$ 与 $\nu$ 等价.

  

未完成:需补充或引用Radon-Nikodym 定理相关词条.

   Radon-Nikodym 定理显示,如果 $\mu\ll\nu$,且 $\nu$ 是 $\sigma$-有限测度4,那么 $\mu$ 就可以和一个函数 $f:S\to [0, +\infty]$ 相联系起来:

\begin{equation} \mu(A) = \int_A f \,\mathrm{d}{\nu} \end{equation}

   我们可以取所研究的二元组 $(S, \mathcal{A})$ 为 $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B})$,$\nu$ 为 Lebesgue 外测度,于是 $\int_A f \,\mathrm{d}{\nu} $ 就是 $f$ 的 Lebesgue 积分.我们可以把 $f$ 称为 $\mu$ 的关于 $\nu$ 的密度(density)

   反过来,对于一个 Lebesgue 可积函数 $f$,我们总可以定义与之相关的测度:

\begin{equation} \mu(A) = \int_A f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   如果 $f$ 是测度 $\mu$ 的密度,那么任意函数 $\varphi$ 关于测度 $\mu$ 的积分就可以写为:

\begin{equation} \int_A \varphi \,\mathrm{d}{\mu} = \int_A f(x)\varphi(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   于是,我们可以将测度 $\mu$ 引申为一个泛函:

\begin{equation} \mu(\varphi) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\varphi(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   今后,我们将不再区分测度 $\mu$ 及其关于 Lebesgue 测度的密度 $f$.泛函 $\mu(\varphi)$ 有时候也表示为 $f(\varphi)$.


1. ^ 注意这个术语的意思:集合函数是指把集合映射到数字上的映射.值域是数字的映射,通常又称为函数.
2. ^ 即用 $\mathcal{A}$ 中元素进行任意多次的交、并、差、补等运算,结果仍在 $\mathcal{A}$ 中.
3. ^ 即用开区间进行任意多次交、并、差、补等运算获得的集族.
4. ^ 即 $S$ 可以表示为最多可数个 $B_i\in\mathcal{A}$ 的并集,且 $\nu(B_i) < +\infty$ 恒成立.


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