赫尔德条件

贡献者： lrqlrqlrq

本文处于草稿阶段。

　　 $n$ 维欧几里得空间上的实值或者复变函数 $f : A \to B$ 被称为指数为 $α$ 的赫尔德（Hölder）函数，若满足赫尔德条件（也称赫尔德连续）如下：

　　如果存在某个非负常数 $c \geq 0$ ，使得有：

\begin{matrix} (1) & | f (x) - f (y) | \leq c | x - y |^{α}, \forall x, y \in A . \end{matrix}

当

α = 1

时，

f

又称作利普希茨函数，满足利普希茨（Lipschitz）条件（连续）也就是：

\begin{matrix} (2) & | f (x) - f (y) | \leq c | x - y |, \forall x, y \in A . \end{matrix}

如果对于

0 < c_{1} \leq c_{2} < \infty

\begin{matrix} (3) & c_{1} | x - y | \leq | f (x) - f (y) | \leq c_{2} | x - y |, \forall x, y \in A . \end{matrix}

这时无论是

f

还是其逆

f^{- 1} : f (A) \to A

都是利普希茨函数，因此我们将其称作双利普希茨函数。

　　对于任意 $α > 0$ ，该条件表明函数是一致连续的。对于实线上的有界且闭的非平凡区间上的函数，我们有以下一系列严格包含项：当 $0 < α \leq 1$ ，连续可微 $\subset$ Lipschitz 连续 $\subset α$ -Hölder 连续 $\subset$ 一致连续 $\subset$ 连续。

1. Hölder 空间

　　 Hölder 空间是由满足 Hölder 条件的函数组成，它是偏微分方程和动力系统相关的泛函分析领域的基础。

　　我们将 Hölder 空间记作

\begin{matrix} (4) & C^{k, α} (ω) . \end{matrix}

其中

ω

是欧式空间上的一个开子集，并且有非负整数

k \geq 0

。Hölder 空间包含在

ω

上那些

k

阶连续可导的函数，使得其第

k

阶的偏微分都是指数为

α

赫尔德连续的，其中

0 < α \leq 1

。

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