赫尔德条件

                     

贡献者: lrqlrqlrq

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   $n$ 维欧几里得空间上的实值或者复变函数 $f:A \rightarrow B$ 被称为指数为 $\alpha$ 的赫尔德(Hölder)函数,若满足赫尔德条件(也称赫尔德连续)如下:

   如果存在某个非负常数 $c\geq 0$,使得有:

\begin{equation} |f(x)-f(y)|\leq c|x-y|^\alpha,\ \forall x,y \in A \end{equation}
当 $\alpha=1$ 时,$f$ 又称作利普希茨函数,满足利普希茨(Lipschitz)条件(连续)也就是:
\begin{equation} |f(x)-f(y)|\leq c|x-y|,\ \forall x,y \in A \end{equation}
如果对于 $0 < c_1\leq c_2 < \infty $:
\begin{equation} c_1|x-y|\leq |f(x)-f(y)|\leq c_2|x-y|,\ \forall x,y \in A \end{equation}
这时无论是 $f$ 还是其逆 $f^{-1}:f(A)\rightarrow A$ 都是利普希茨函数,因此我们将其称作双利普希茨函数.

   对于任意 $\alpha > 0$,该条件表明函数是一致连续的.对于实线上的有界且闭的非平凡区间上的函数,我们有以下一系列严格包含项:当 $0 < \alpha\leq 1$,连续可微 $\subset$Lipschitz 连续 $\subset\alpha$-Hölder 连续 $\subset$ 一致连续 $\subset$ 连续.

1. Hölder 空间

   Hölder 空间是由满足 Hölder 条件的函数组成,它是偏微分方程和动力系统相关的泛函分析领域的基础.

   我们将 Hölder 空间记作

\begin{equation} C^{k,\alpha}(\omega) \end{equation}
其中 $\omega$ 是欧式空间上的一个开子集,并且有非负整数 $k\geq 0$.Hölder 空间包含在 $\omega$ 上那些 $k$ 阶连续可导的函数,使得其第 $k$ 阶的偏微分都是指数为 $\alpha$ 赫尔德连续的,其中 $0 < \alpha\leq 1$.


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