勒贝格控制收敛定理

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　Lebesgue 积分

　　¹勒贝格控制收敛定理（Lebesgue dominated control theorem, DCT）是测度论和实分析中的一个强大结果，它提供了在一序列函数的积分的极限等于极限函数的积分的条件。这里是该定理的正式陈述：

定理 1　勒贝格控制收敛定理

　　设 $(X, M, μ)$ 是一个测度空间，让 ${f_{n}}$ 是可测函数的序列 $f_{n} : X \to R$ 或 $f_{n} : X \to C$ 。它们几乎处处逐点收敛于函数 $f : X \to R$ 或 $f : X \to C$ 。如果存在一个非负的可积函数 $g : X \to [0, \infty)$ ，对所有的 $n$ 和几乎所有的 $x \in X$ 有 $| f_{n} (x) | \leq g (x)$ 那么 $f$ 是可积的，并且

\begin{matrix} (1) & lim_{n \to \infty} \int f_{n} (x) d μ = \int f (x) d μ . \end{matrix}

　　式 1 也可以写成

\begin{matrix} (2) & lim_{n \to \infty} \int f_{n} (x) d μ = \int lim_{n \to \infty} f_{n} (x) d μ . \end{matrix}

这说明，满足定理条件时，极限和积分可以交换。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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勒贝格控制收敛定理

定理 1 勒贝格控制收敛定理

定理 1　勒贝格控制收敛定理