重力、重量

                     

贡献者: addis

预备知识 1 万有引力,圆周运动的向心力

   一般来说,重力的定义并不明确。有的地方直接把一个质点在某点的万有引力(gravity)定义为重力。但另一些情况下把弹簧秤的度数定义为重力(例如在地面参考系)。为了区分,我们建议不要使用 “重力”,而是直接将前者称为(万有)引力,后者称为重量(weight)或者视重。英语中,“重力” 并没有单独对应的词汇。

   什么情况下引力会和重量不同?答案是当质点(在惯性系中)具有加速度时。最常见的例子就是地球表面虽然可以近似为惯性系,但严格来说却不是,所以相对地面静止的一点在惯性系中具有加速度。如果只考虑地球的自转产生的加速度1,那么地表任意一个相对静止的点2在(相对地轴静止的)惯性系中都会做圆周运动,它的加速度等于向心加速度。

惯性系中的分析

   为了方便,我们先选取与地轴相对静止的惯性系分析。当一个相对地表静止的质点挂在弹簧秤上达到平衡时,它所受的引力 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} $ 和弹簧对它的拉力 $ \boldsymbol{\mathbf{T}} $(或者台秤的支持力)的合力提供圆周运动的向心力

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _c = \boldsymbol{\mathbf{G}} + \boldsymbol{\mathbf{T}} ~, \end{equation}
所以不妨定义重量矢量为弹簧拉力的逆矢量
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _w = - \boldsymbol{\mathbf{T}} = \boldsymbol{\mathbf{G}} - \boldsymbol{\mathbf{F}} _c~. \end{equation}
那么重量,也就是弹簧秤的示数大小就是模长 $F_w = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} _w \right\rvert $。

   可以看出,当质点无加速度($ \boldsymbol{\mathbf{F}} _c = \boldsymbol{\mathbf{0}} $)时,重量矢量与引力相等。

   (未完成:计算一下重力加速度)

地表参考系中的分析

预备知识 2 离心力

   非惯性系中,保持平衡的条件同样是合力为零,但合力要包括惯性力。在地表参考系,惯性力就是地球自转的离心力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '_c$。

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{G}} + \boldsymbol{\mathbf{T}} + \boldsymbol{\mathbf{F}} '_c = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}
由于离心力刚好与向心力相反,即 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '_c = - \boldsymbol{\mathbf{F}} _c$,代入后仍然可以得到式 1 。注意离心力并不真的存在,只是一个数学上的 “把戏”,或者叫做惯性力。


1. ^ 地球绕太阳系公转的加速度远小于自转,一般可忽略不计,有兴趣的读者可以自行计算。
2. ^ 除了两个极点


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