分式域

贡献者： JierPeter

预备知识　环和域

　　¹整环 $R$ 可以添加元素从而成为一个域，这个域就叫做 $R$ 的分式域（field of fractions）。我们不妨用一个熟悉的例子来展示怎么添加新的元素：

例 1　

　　考虑整数环 $Z$ ，绝大多数元素都是没有乘法逆元的，除了 $\pm 1$ 。对于 $2 \in Z$ ，它在环上没有乘法逆元，那么我们就引入一个新的元素 $1 / 2$ ，使得 $2 \cdot 1 / 2 = 1$ 。

　　如果用 $1 / 2$ 去乘以别的元素，考虑到 $Z$ 是整环，可以进行乘法消去律，那么我们可以从别的元素中抽取出 $2$ 的乘积，来抵消掉 $1 / 2$ ，比如说， $4 \cdot 1 / 2 = (2 \cdot 2) \cdot 1 / 2 = 2 \cdot (2 \cdot 1 / 2) = 2 \cdot 1 = 2$ 。但是 $3 \cdot 1 / 2$ 并不存在于 $Z \cup {1 / 2}$ 中，所以也需要把它作为一个新元素加入进去，记为 $3 / 2$ ，并且满足 $2 \cdot 3 / 2 = 3$ 。同时， $1 / 2$ 之间也可以彼此互相乘积，得到新的元素，如 $1 / 4$ 、 $1 / 8$ 等。也就是说，用 $1 / 2$ 不停地去乘以已有的任何元素，如果得到新元素就添加进我们的集合中，再进行这样的运算。

　　除了乘法可以引出新的元素，加法也可以。 $1 / 2 + 1$ 如何计算呢？记住我们是用 $2 \cdot 1 / 2$ 来定义 $1 / 2$ 的，所以此处可以巧用该定义来推导： $2 \cdot (1 / 2 + 1) = 1 + 2 = 3$ ，因此 $1 / 2 + 1 = 3 / 2$ 。

　　以上累赘的概括新元素的方法，也可以更紧凑地表达为：对新元素 $1 / 2$ ，其关于加法和乘法扩充后的集合为 ${r \cdot (1 / 2)^{n} | r \in Z, n \in Z}$ 。

　　对每一个元素都这样操作，添加它们的逆元，以及每一次添加的逆元和所有已有元素运算的结果，得到的集合就是一个域。对于 $Z$ 环的情况，这个域就是有理数域 $Q$ 。

　　整环添加新元素来构成域的核心思想，就是不停地用新元素和已有元素进行乘法、加法运算，如果得到新的元素就囊括进去，这是为了保证域的 “乘法封闭性”。

　　我们把上述累赘的例子抽象成以下定义，可能比例子要逻辑更清晰一些：

定义 1　

　　给定一个带有运算的集合 $S$ ，它有一个子集 $T$ ，那么记 $< T >$ 是 $T$ 中所有元素彼此任意进行运算的结果的集合，称为由子集 $T$ 通过给定运算生成的子集。

定义 2　

　　给定整环 $R$ ，记 $R$ 中没有乘法逆元的元素构成的集合为 $S$ ，对任意 $s \in S$ ，定义新元素 $s^{- 1}$ ，其运算规则由 $s \cdot s^{- 1} = e$ 决定²。把所有这样的元素 $s^{- 1}$ 构成的集合记为 $S^{'}$ ，那么 $R \cup S^{'}$ 通过加法和乘法生成的集合 $< R \cup S^{'} >$ ，就是 $R$ 的分式域（fraction field）³。

1. 分式域的唯一性

定理 1　

　　给定环 $R$ ，则其分式域是唯一的。

　　证明：

　　设 $R$ 有两个分式域 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 。定义映射 $σ : F_{1} \to F_{2}$ 如下：

　　 $\forall r \in R, σ (r) = r, σ (r^{- 1}) = r^{- 1}$ 。对于其它元素 $a, b$ ，则用 $σ (a b) = σ (a) σ (b)$ ，且 $σ (a + b) = σ (a) + σ (b)$ 来定义。

　　由定义，容易验证 $σ$ 是一个双射的域同态，即同构。

　　证毕。

1. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》。
2. ^ 为了理解为什么这条式子可以决定这个新元素的运算规则，参考例子，思考一下如何从这条式子得出 $s^{- 1}$ 与已有元素的加法。
3. ^ 这里通过加法和乘法生成的集合一定包含 $R$ ，通常不是 $R$ 的子集。这和上一条定义略有不同，但是我想并不会造成理解困难。

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