分式域

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 环和域

  1整环 R 可以添加元素从而成为一个域,这个域就叫做 R分式域(field of fractions)。我们不妨用一个熟悉的例子来展示怎么添加新的元素:

例 1 

   考虑整数环 Z,绝大多数元素都是没有乘法逆元的,除了 ±1。对于 2Z,它在环上没有乘法逆元,那么我们就引入一个新的元素 1/2,使得 21/2=1

   如果用 1/2 去乘以别的元素,考虑到 Z 是整环,可以进行乘法消去律,那么我们可以从别的元素中抽取出 2 的乘积,来抵消掉 1/2,比如说,41/2=(22)1/2=2(21/2)=21=2。但是 31/2 并不存在于 Z{1/2} 中,所以也需要把它作为一个新元素加入进去,记为 3/2,并且满足 23/2=3。同时,1/2 之间也可以彼此互相乘积,得到新的元素,如 1/41/8 等。也就是说,用 1/2 不停地去乘以已有的任何元素,如果得到新元素就添加进我们的集合中,再进行这样的运算。

   除了乘法可以引出新的元素,加法也可以。1/2+1 如何计算呢?记住我们是用 21/2 来定义 1/2 的,所以此处可以巧用该定义来推导:2(1/2+1)=1+2=3,因此 1/2+1=3/2

   以上累赘的概括新元素的方法,也可以更紧凑地表达为:对新元素 1/2,其关于加法和乘法扩充后的集合为 {r(1/2)n|rZ,nZ}

   对每一个元素都这样操作,添加它们的逆元,以及每一次添加的逆元和所有已有元素运算的结果,得到的集合就是一个域。对于 Z 环的情况,这个域就是有理数域 Q

   整环添加新元素来构成域的核心思想,就是不停地用新元素和已有元素进行乘法、加法运算,如果得到新的元素就囊括进去,这是为了保证域的 “乘法封闭性”。

   我们把上述累赘的例子抽象成以下定义,可能比例子要逻辑更清晰一些:

定义 1 

   给定一个带有运算的集合 S,它有一个子集 T,那么记 <T>T 中所有元素彼此任意进行运算的结果的集合,称为由子集 T 通过给定运算生成的子集。

定义 2 

   给定整环 R,记 R 中没有乘法逆元的元素构成的集合为 S,对任意 sS,定义新元素 s1,其运算规则由 ss1=e 决定2。把所有这样的元素 s1 构成的集合记为 S,那么 RS 通过加法和乘法生成的集合 <RS>,就是 R分式域(fraction field)3

1. 分式域的唯一性

定理 1 

   给定环 R,则其分式域是唯一的。

   证明

   设 R 有两个分式域 F1F2。定义映射 σ:F1F2 如下:

   rR,σ(r)=r,σ(r1)=r1。对于其它元素 a,b,则用 σ(ab)=σ(a)σ(b),且 σ(a+b)=σ(a)+σ(b) 来定义。

   由定义,容易验证 σ 是一个双射的域同态,即同构。

   证毕


1. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》。
2. ^ 为了理解为什么这条式子可以决定这个新元素的运算规则,参考例子,思考一下如何从这条式子得出 s1 与已有元素的加法
3. ^ 这里通过加法和乘法生成的集合一定包含 R,通常不是 R 的子集。这和上一条定义略有不同,但是我想并不会造成理解困难。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利