分式域
贡献者: JierPeter
1整环 可以添加元素从而成为一个域,这个域就叫做 的分式域(field of fractions)。我们不妨用一个熟悉的例子来展示怎么添加新的元素:
例 1
考虑整数环 ,绝大多数元素都是没有乘法逆元的,除了 。对于 ,它在环上没有乘法逆元,那么我们就引入一个新的元素 ,使得 。
如果用 去乘以别的元素,考虑到 是整环,可以进行乘法消去律,那么我们可以从别的元素中抽取出 的乘积,来抵消掉 ,比如说,。但是 并不存在于 中,所以也需要把它作为一个新元素加入进去,记为 ,并且满足 。同时, 之间也可以彼此互相乘积,得到新的元素,如 、 等。也就是说,用 不停地去乘以已有的任何元素,如果得到新元素就添加进我们的集合中,再进行这样的运算。
除了乘法可以引出新的元素,加法也可以。 如何计算呢?记住我们是用 来定义 的,所以此处可以巧用该定义来推导:,因此 。
以上累赘的概括新元素的方法,也可以更紧凑地表达为:对新元素 ,其关于加法和乘法扩充后的集合为 。
对每一个元素都这样操作,添加它们的逆元,以及每一次添加的逆元和所有已有元素运算的结果,得到的集合就是一个域。对于 环的情况,这个域就是有理数域 。
整环添加新元素来构成域的核心思想,就是不停地用新元素和已有元素进行乘法、加法运算,如果得到新的元素就囊括进去,这是为了保证域的 “乘法封闭性”。
我们把上述累赘的例子抽象成以下定义,可能比例子要逻辑更清晰一些:
定义 1
给定一个带有运算的集合 ,它有一个子集 ,那么记 是 中所有元素彼此任意进行运算的结果的集合,称为由子集 通过给定运算生成的子集。
定义 2
给定整环 ,记 中没有乘法逆元的元素构成的集合为 ,对任意 ,定义新元素 ,其运算规则由 决定2。把所有这样的元素 构成的集合记为 ,那么 通过加法和乘法生成的集合 ,就是 的分式域(fraction field)3。
1. 分式域的唯一性
证明:
设 有两个分式域 和 。定义映射 如下:
。对于其它元素 ,则用 ,且 来定义。
由定义,容易验证 是一个双射的域同态,即同构。
证毕。
1. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》。
2. ^ 为了理解为什么这条式子可以决定这个新元素的运算规则,参考例子,思考一下如何从这条式子得出 与已有元素的加法。
3. ^ 这里通过加法和乘法生成的集合一定包含 ,通常不是 的子集。这和上一条定义略有不同,但是我想并不会造成理解困难。
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