贡献者： JierPeter
1整环 $R$ 可以添加元素从而成为一个域，这个域就叫做 $R$ 的分式域（field of fractions）。我们不妨用一个熟悉的例子来展示怎么添加新的元素：
例 1
考虑整数环 $\mathbb{Z}$，绝大多数元素都是没有乘法逆元的，除了 $\pm 1$。对于 $2\in\mathbb{Z}$，它在环上没有乘法逆元，那么我们就引入一个新的元素 $1/2$，使得 $2\cdot 1/2=1$。
如果用 $1/2$ 去乘以别的元素，考虑到 $\mathbb{Z}$ 是整环，可以进行乘法消去律，那么我们可以从别的元素中抽取出 $2$ 的乘积，来抵消掉 $1/2$，比如说，$4\cdot 1/2=(2\cdot 2)\cdot 1/2=2\cdot(2\cdot 1/2)=2\cdot 1=2$。但是 $3\cdot 1/2$ 并不存在于 $\mathbb{Z}\cup\{1/2\}$ 中，所以也需要把它作为一个新元素加入进去，记为 $3/2$，并且满足 $2\cdot 3/2=3$。同时，$1/2$ 之间也可以彼此互相乘积，得到新的元素，如 $1/4$、$1/8$ 等。也就是说，用 $1/2$ 不停地去乘以已有的任何元素，如果得到新元素就添加进我们的集合中，再进行这样的运算。
除了乘法可以引出新的元素，加法也可以。$1/2+1$ 如何计算呢？记住我们是用 $2\cdot 1/2$ 来定义 $1/2$ 的，所以此处可以巧用该定义来推导：$2\cdot(1/2+1)=1+2=3$，因此 $1/2+1=3/2$。
以上累赘的概括新元素的方法，也可以更紧凑地表达为：对新元素 $1/2$，其关于加法和乘法扩充后的集合为 $\{r\cdot (1/2)^n|r\in\mathbb{Z}, n\in \mathbb{Z}\}$。
对每一个元素都这样操作，添加它们的逆元，以及每一次添加的逆元和所有已有元素运算的结果，得到的集合就是一个域。对于 $\mathbb{Z}$ 环的情况，这个域就是有理数域 $\mathbb{Q}$。
整环添加新元素来构成域的核心思想，就是不停地用新元素和已有元素进行乘法、加法运算，如果得到新的元素就囊括进去，这是为了保证域的 “乘法封闭性”。
我们把上述累赘的例子抽象成以下定义，可能比例子要逻辑更清晰一些：
定义 1
给定一个带有运算的集合 $S$，它有一个子集 $T$，那么记 $< T>$ 是 $T$ 中所有元素彼此任意进行运算的结果的集合，称为由子集 $T$ 通过给定运算生成的子集。
定义 2
给定整环 $R$，记 $R$ 中没有乘法逆元的元素构成的集合为 $S$，对任意 $s\in S$，定义新元素 $s^{-1}$，其运算规则由 $s\cdot s^{-1}=e$ 决定2。把所有这样的元素 $s^{-1}$ 构成的集合记为 $S'$，那么 $R\cup S'$ 通过加法和乘法生成的集合 $< R\cup S'>$，就是 $R$ 的分式域（fraction field）3。
1. 分式域的唯一性
证明：
设 $R$ 有两个分式域 $\mathbb{F}_1$ 和 $\mathbb{F}_2$。定义映射 $\sigma:\mathbb{F}_1\to\mathbb{F}_2$ 如下：
$\forall r\in R, \sigma(r)=r, \sigma(r^{-1})=r^{-1}$。对于其它元素 $a, b$，则用 $\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$，且 $\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)$ 来定义。
由定义，容易验证 $\sigma$ 是一个双射的域同态，即同构。
证毕。
1. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》。
2. ^ 为了理解为什么这条式子可以决定这个新元素的运算规则，参考例子，思考一下如何从这条式子得出 $s^{-1}$ 与已有元素的加法。
3. ^ 这里通过加法和乘法生成的集合一定包含 $R$，通常不是 $R$ 的子集。这和上一条定义略有不同，但是我想并不会造成理解困难。
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