爱森斯坦判别式

贡献者： JierPeter

预备知识　素理想与极大理想

　　爱森斯坦判别式可以用来判断多项式是否可约。满足爱森斯坦判别式条件的多项式必然是不可约的，即无法表示为两个多项式的乘积。

　　最简单的多项式是整系数多项式，也被称为整数环上的多项式，因此我们先介绍此类多项式上的爱森斯坦判别式。这只是更一般的爱森斯坦判别式的特例。

定理 1　整数环上的爱森斯坦判别式

　　设有整系数多项式 $f (x) = f_{0} + f_{1} x + f_{2} x^{2} + \dots + f_{n} x^{n}$ ，若存在素数 $p$ 使得：

$p ∤ f_{n}$ ；
对于 $i \in {0, 1, 2, \dots, n - 1}$ ，都有 $p | f_{i}$ ；
$p^{2} ∤ f_{0}$ 。

　　那么 $f (x)$ 就是不可约多项式。

　　证明：

　　反设 $f (x)$ 可约，则可以写成 $f (x) = (h_{0} + h_{1} x + h_{2} x^{2} + \dots + h_{r} x^{r}) (g_{0} + g_{1} x + g_{2} x^{2} + \dots + g_{s} x^{s})$ 。

　　由于 $f (x) = f_{0} + f_{1} x + f_{2} x^{2} + \dots + f_{n} x^{n}$ ，故¹

\begin{matrix} (1) & f_{i} = \sum_{j + k = i} h_{j} g_{k} . \end{matrix}

　　 利用条件 3：注意到 $f_{0} = h_{0} g_{0}$ ，而 $p^{2} ∤ f_{0} = h_{0} g_{0}$ ，故 $h_{0}$ 和 $g_{0}$ 中有一个是不能被 $p$ 整除的。不妨设 $p ∤ h_{0}$ 。

　　 利用条件 2：由于 $p ∣ f_{0} = h_{0} g_{0}$ ，故 $p ∣ g_{0}$ 。又由于 $p ∣ f_{1} = h_{0} g_{1} + h_{1} g_{0}$ 且 $p ∣ g_{0}$ ，故 $p ∣ h_{0} g_{1}$ ；再由于 $p ∤ h_{0}$ ，故 $p ∣ g_{1}$ 。

　　归纳：类似地， $p ∣ f_{2} = h_{0} g_{2} + h_{1} g_{1} + h_{2} g_{0}$ ，而 $p ∣ g_{1}, p ∣ g_{0}$ 和 $p ∤ h_{0}$ 又能推出 $p ∣ g_{2}$ 。以此类推，可以得到 $p ∣ g_{s}$ 。

　　 利用条件 1：由于 $p ∤ f_{n} = h_{r} g_{s}$ ，故应有 $p ∤ g_{s}$ ，与上一步矛盾！

　　由此可知反设不成立。

　　证毕。

　　虽然判别式的表达看起来很复杂，但是从证明过程可以看出来，三个条件的设置都自有其考虑。

　　爱森斯坦判别式不止是可以用于整系数多项式，也可用于任意整环上的多项式。整系数多项式的爱森斯坦判别式只需要整除知识即可理解，而任意整环上的形式则需要素理想的概念。

定理 2　整环上的爱森斯坦判别式

　　设整环 $R$ 上有多项式 $f (x) = f_{0} + f_{1} x + f_{2} x^{2} + \dots + f_{n} x^{n}$ ，若存在 $R$ 的素理想 $P$ ，使得：

$f_{n} \notin P$ ；
对于 $i \in {0, 1, 2, \dots, n - 1}$ ，都有 $f_{i} \in P$ ；
$f_{0} \notin P^{2}$ ，其中 $P^{2} = {p_{1} p_{2} | p_{i} \in P}$ 。

　　那么 $f (x)$ 就是不可约多项式。

　　其证明可以通过改写定理 1 的过程得到，把每一个形如 $p | a$ 的式子都写为 $a \in P$ 即可，其中 $a$ 只是个符号，可以表示任意 $f_{i}, g_{i}, h_{i}$ 等。读者可自行对比尝试证明。注意素数和整数环 $Z$ 的素理想之间的关系。

1. ^ 这种运算也被称为卷积。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

爱森斯坦判别式

定理 1 整数环上的爱森斯坦判别式

定理 2 整环上的爱森斯坦判别式

定理 1　整数环上的爱森斯坦判别式

定理 2　整环上的爱森斯坦判别式