唯一析因环

             

预备知识 真因子树

   唯一析因环,又称唯一分解整环,顾名思义,就是每个元素都有唯一的不可约因式分解.这个定义用真因子树的语言来描述颇为方便.

定义 1 唯一析因环

   对于整环 $R$,如果它具有有限析因性唯一析因性1,那么称其为一个唯一析因环(unique factorization domain),常简称 UFD.

   唯一析因环的好处显而易见,每个元素都可以唯一对应一种素元素分解,比如每个非平凡整数都可以表示为素数的乘积,且这种乘积是唯一的.

例 1 正面例子

  • 整数环 $\mathbb{Z}$ 是唯一析因环.
  • 域 $\mathbb{F}$ 上的多项式环 $\mathbb{F}[x]$ 是唯一析因环.

   唯一析因环的概念脱胎于一个经典的错误.柯西等人曾以为自己证明了费马大定理,而事实上他们的证明依赖了一个直觉上成立的假设,用现代语言来说就是 “所有的环都是唯一析因环”.然而很可惜,存在不唯一析因的环,这也成了此类证明中的命门.

例 2 反面例子

   我们给出一些不是唯一析因环的例子.

  • 对于素数 $p > 1$,环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-p}]=\{a+b \mathrm{i} \sqrt{p}|a, b\in\mathbb{Z}\}$ 存在有多种因式分解方式的元素.比如说,在环 $\mathbb{Z}[2]$ 上,$6$ 可以分解为 $2\times (1+ \mathrm{i} \sqrt{2})\times(1- \mathrm{i} \sqrt{2})$,也可以分解为 $(2+ \mathrm{i} \sqrt{2})\times(2- \mathrm{i} \sqrt{2})$.
  • 复数域上的全体整函数构成的环不是 UFD,因为存在可以无限析因的元素2:$\sin{\pi z=\pi z\prod\limits_{i=1}^\infty(1-\frac{z^2}{i^2})}$.

  

未完成:关于整函数的概念,缺少 “全纯函数” 词条作为预备知识.


1. ^真因子树词条的定义 5
2. ^ 本例取自维基百科相关页面

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