唯一析因环

                     

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　真因子树

　　 唯一析因环，顾名思义，就是每个元素都有唯一的不可约因式分解。这个定义用真因子树的语言来描述颇为方便。

定义 1　唯一析因环

　　 对于整环 $R$，如果它具有有限析因性和唯一析因性1，那么称其为一个唯一析因环（unique factorization domain），或译作唯一分解整环，常简称 UFD。

　　 唯一析因环的好处显而易见，每个元素都可以唯一对应一种素元素分解，比如每个非平凡整数都可以表示为素数的乘积，且这种乘积是唯一的。

例 1　正面例子

  • 整数环 $\mathbb{Z}$ 是唯一析因环。
  • 域 $\mathbb{F}$ 上的多项式环 $\mathbb{F}[x]$ 是唯一析因环。

　　 唯一析因环的概念脱胎于一个经典的错误。柯西等人曾以为自己证明了费马大定理，而事实上他们的证明依赖了一个直觉上成立的假设，用现代语言来说就是 “所有的环都是唯一析因环”。然而很可惜，存在不唯一析因的环，这也成了此类证明中的命门。

例 2　反面例子

　　 我们给出一些不是唯一析因环的例子。

  • 环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]=\{a+b\sqrt{-5}|a, b\in\mathbb{Z}\}$ 存在有多种因式分解方式的元素。比如说，$6$ 可以分解为 $ \left(1+\sqrt{-5} \right) \times \left(1-\sqrt{-5} \right) $，也可以分解为 $2\times 3$，这两种分解都已不可再分。
  • 复数域上的全体整函数构成的环不是 UFD，因为存在可以无限析因的元素2：$\sin{\pi z=\pi z\prod\limits_{i=1}^\infty(1-\frac{z^2}{i^2})}$。

　　

未完成：关于整函数的概念，缺少 “全纯函数” 文章作为预备知识。

　　 是否所有形如 $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$（$n$ 为正整数）的环都不是唯一析因环呢？答案是否定的，比如 $\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$ 和 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 等就是唯一析因环。不过对于这两个环，证明它们是欧几里得环更加方便，由此可知它们是唯一析因环，详情请参见例 4 。

　　 给定一个整环，如何判断它是否是唯一析因环呢？有限析因性通常是容易判断的，如 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 中，任意元素 $a+b\sqrt{-2}$ 的真因子之模长一定小于 $ \left\lvert a+b\sqrt{-2} \right\rvert $，这就足以判断有限析因性3——但唯一析因性通常并不容易，因此需要介绍判定唯一析因环的条件。

1. 判定唯一析因环：素元素

　　 如果一个整环 $R$ 满足有限析因性，但不满足唯一析因性，会发生什么情况？以 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 为例，$6=2\times 3=(2+\sqrt{-2})\times(2-\sqrt{-2})$，但是 $2\nmid(2\pm\sqrt{-2})$，故不可约元素 $2$ 不是素元素4。

　　 但是，如果不可约元素一定是素元素呢？应用有限析因时素元素的等价定义（定理 1 ）和不可约元素的定义（真因子树的末端），容易证明此时 $R$ 中任意给定元素的所有真因子树都具有相同的末端，即唯一析因性。事实上，这就是判定唯一析因环的一种条件：

定义 2　

　　 给定整环 $R$，如果 $R$ 中所有不可约元素都是素元素，则称 $R$ 满足素性条件。

定理 1　

　　 给定整环 $R$，则 “$R$ 满足有限析因性和素性条件” 当且仅当 “$R$ 是唯一析因环”。

　　 证明：

　　 必要性：

　　 已知 $R$ 有限析因了，只需要证明此时 $R$ 有唯一析因性。

　　 由素性条件的定义 2 和此时素元素的等价定义（定理 1 ），可知如果 $t\in R$ 在 $r\in R$ 的某棵真因子树的末端，则它必在 $r$ 的每一棵真因子树的末端，因此 $r$ 的所有真因子树的末端元素都相同，从而得证唯一析因性。

　　 充分性：

　　 由于 $R$ 是唯一析因环，故已知 $R$ 有限析因。任取不可约元素 $x\in R$，如果 $x\mid r$，则 $x$ 在 $r$ 的每一棵真因子树上。由定理 1 得证 $x$ 是素元素。

　　 证毕。

2. 判定唯一析因环：最大公因子

　　 满足有限析因性的环 $R$ 中，如果没有唯一析因性，还有另外一个疑难：难以判断最大公因子。

定义 3　最大公因子

　　 给定整环 $R$。对于 $a, b\in R$，如果 $x\in R$ 是 $a$ 和 $b$ 的公因子，且 $a$ 和 $b$ 的任意公因子都是 $x$ 的因子，那么称 $x$ 是 $a, b$ 的最大公因子（greatest common divisor），记为 $ \operatorname {gcd}(a, b)$。

　　 对于任意多的元素，也可以定义它们的最大公因子为，使得所有公因子都是其因子的公因子，同样用符号 $ \operatorname {gcd}$ 表示，如 $ \operatorname {gcd}(a_1, a_2, a_3, \cdots)$。

　　 在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 上考虑 $a=4+2\sqrt{-2}$ 和 $b=6$，则它们的公因子集合为 $\{2, 2+\sqrt{-2}\}$，但这两个公因子都不是彼此的因子，从而 $a, b$ 没有最大公因子。

　　 观察 $a, b$ 的构造可以发现，我们是取 $6$ 的两个不同的不可约分解，然后在两个分解中各取一个对方没有的元素相乘得到 $a$，也就是说这种反例的构造依赖于没有唯一析因性。

　　 事实上，这是另一种判定唯一析因环的条件：

定义 4　

　　 如果整环 $R$ 的任意两个元素之间都有最大公因子，则称 $R$ 满足最大公因子条件。

定理 2　

　　 给定整环 $R$。则 “$R$ 满足有限析因性和最大公因子条件” 当且仅当 “$R$ 是唯一析因环”。

　　 证明：

　　 必要性：

　　 反设 $R$ 不是唯一析因环，则存在 $r\in R$，它有两棵末端不相同的真因子树。分别取这两棵树独有的末端（即对方没有的）$x$ 和 $y$，则 $r$ 和 $xy$ 之间没有最大公因子5。

　　 充分性：

　　 由于 $R$ 是唯一析因环，故任意元素的不可约分解（真因子树的末端）是确定的，不随分解方式变化而变化。对于 $a, b\in R$，各自取它们的唯一不可约分解，给 $a$ 的分解结果编号，按顺序，先取第一个不可约因子，看它是否等于 $b$ 的某个不可约因子。如果没有，则看 $a$ 的下一个不可约因子；如果有，则把这两个相同的因子都取出备用，然后看 $a$ 的下一个不可约因子是否等于 $b$ 的某个剩下的不可约因子。以此类推，直到按顺序遍历 $a$ 的全体有限个不可约因子。

　　 遍历后，把过程中取出的 $a$ 的不可约因子乘起来，结果即为 $ \operatorname {gcd}(a, b)$。

　　 证毕。

1. ^ 见真因子树文章的定义 5 。
2. ^ 本例取自维基百科相关页面。
3. ^ 当然，我们已经知道 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 不是唯一析因环。
4. ^ 注意由定理 2 ，素元素必是不可约元素，而这个反例说明不可约元素不一定是素元素。
5. ^ $x, y$ 不可约，故 $r$ 和 $xy$ 的公因子集合就是 $\{x, y\}$；又因为 $x, y$ 分别是两棵树独有的元素，故二者不相伴。


致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。

                     

友情链接： 超理论坛　|　©小时科技 保留一切权利