贡献者： FFjet
等体过程的特征是气体的体积保持不变，即 $V $ 为常量，$\mathrm dV=0$。设有一气缸，活塞保持固定不动，把气缸连续地与一系列有微小温度差的恒温热源相接触，使气体的温度逐渐上升，压强增大，但是气体的体积保待不变。这样的准静态过程是一个等体过程（isochoric process），如图 1 所示。
图 1：气体的等体过程
如图 2 所示，在等体过程中，$\mathrm dV=0$，所以 $ \,\mathrm{d}{W} =0$。根据热力学第一定律，得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{Q} _{V}= \,\mathrm{d}{E} ~.
\end{equation}
图 2：等体过程中功的计算
为了计算向气体传递的热量，我们要用到摩尔热容的概念：同一种气体在不同过程中，有不同的热容。最常用的是等体过程与等压过程中的两种热容。气体的摩尔定容热容（molar heal capacity at constant volume），是指 $1 \rm mol$ 气体在体积不变的条件下，温度改变 $1\mathrm{K}$（或 $1^\circ \mathrm{C}$）所吸收或放出的热量，用 $C_{V,m}$ 表示，其值可由实验测定。这样，质量为 $m $ 的气体在等体过程中，温度改变 $\mathrm dT $ 时所需要的热量就是
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{Q} _{V}=\frac{m}{M} C_{V, {m}} \,\mathrm{d}{T} ~.
\end{equation}
作为 $C_{V,m}$ 的定义式，可将上式改成写成：
\begin{equation}
C_{V, m}=\frac{ \,\mathrm{d}{Q} _{V}}{\frac{m}{M} \,\mathrm{d}{T} }~.
\end{equation}
把
式 2 代入
式 1 ，即得：
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{E} =\frac{m}{M} C_{V, m} \,\mathrm{d}{T} ~.
\end{equation}
我们这里需要指出的一点是，式 4 是计算过程中理想气体内能变化的通用式子，不仅仅适用于等体过程。我们知道，理想气体的内能只与温度有关，所以一定质量的理想气体在不同的状态变化过程中，如果温度的增量 $\mathrm dT $ 相同，那么气体所吸取的热量和所做的功虽然随过程的不同而异，但是气体内能的增量却相同，与所经历的过程无关。那么我们看，现在从等体过程中，我们得到了理想气体温度升高 $\mathrm dT $ 时，内能的增量由式 4 给出，那么在任何过程中，都是可以用这个式子来计算理想气体的内能增量的。
我们知道，理想气体的内能为
\begin{equation}
E=\frac{m}{M} \frac{i}{2} R T~,
\end{equation}
由此得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{E} =\frac{m}{M} \frac{i}{2} R \,\mathrm{d}{T} ~.
\end{equation}
把
式 6 与
式 4 相比较，我们可以看出：
\begin{equation}
C_{V, m}=\frac{i}{2} R~.
\end{equation}
上式说明，理想气体的摩尔定容热容是
一个只与分子的自由度有关的量，它与气体的温度无关。对于单原子分子气体 $i=3, C_{V, m}=12.5 \mathrm{J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})$；对于双原子分子气体，不考虑分子的振动，则 $i=5, C_{V, {m}}=20.8 \mathrm{J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})$；对于多原子分子气体，不考虑分子的振动，则 $i=6, C_{V, {m}}=24.9 \mathrm{J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})$。
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