等体过程

贡献者： FFjet

预备知识　理想气体状态方程

　　等体过程的特征是气体的体积保持不变，即 $V$ 为常量， $d V = 0$ 。设有一气缸，活塞保持固定不动，把气缸连续地与一系列有微小温度差的恒温热源相接触，使气体的温度逐渐上升，压强增大，但是气体的体积保待不变。这样的准静态过程是一个等体过程（isochoric process），如图 1 所示。

图 1：气体的等体过程

　　如图 2 所示，在等体过程中， $d V = 0$ ，所以 $d W = 0$ 。根据热力学第一定律，得

\begin{matrix} (1) & d Q_{V} = d E . \end{matrix}

图 2：等体过程中功的计算

　　为了计算向气体传递的热量，我们要用到摩尔热容的概念：同一种气体在不同过程中，有不同的热容。最常用的是等体过程与等压过程中的两种热容。气体的摩尔定容热容（molar heal capacity at constant volume），是指 $1 m o l$ 气体在体积不变的条件下，温度改变 $1 K$ （或 $1^{\circ} C$ ）所吸收或放出的热量，用 $C_{V, m}$ 表示，其值可由实验测定。这样，质量为 $m$ 的气体在等体过程中，温度改变 $d T$ 时所需要的热量就是

\begin{matrix} (2) & d Q_{V} = \frac{m}{M} C_{V, m} d T . \end{matrix}

作为

C_{V, m}

的定义式，可将上式改成写成：

\begin{matrix} (3) & C_{V, m} = \frac{d Q_{V}}{\frac{m}{M} d T} . \end{matrix}

把式 2 代入式 1 ，即得：

\begin{matrix} (4) & d E = \frac{m}{M} C_{V, m} d T . \end{matrix}

　　我们这里需要指出的一点是，式 4 是计算过程中理想气体内能变化的通用式子，不仅仅适用于等体过程。我们知道，理想气体的内能只与温度有关，所以一定质量的理想气体在不同的状态变化过程中，如果温度的增量 $d T$ 相同，那么气体所吸取的热量和所做的功虽然随过程的不同而异，但是气体内能的增量却相同，与所经历的过程无关。那么我们看，现在从等体过程中，我们得到了理想气体温度升高 $d T$ 时，内能的增量由式 4 给出，那么在任何过程中，都是可以用这个式子来计算理想气体的内能增量的。

　　我们知道，理想气体的内能为

\begin{matrix} (5) & E = \frac{m}{M} \frac{i}{2} R T, \end{matrix}

由此得

\begin{matrix} (6) & d E = \frac{m}{M} \frac{i}{2} R d T . \end{matrix}

把式 6 与式 4 相比较，我们可以看出：

\begin{matrix} (7) & C_{V, m} = \frac{i}{2} R . \end{matrix}

上式说明，理想气体的摩尔定容热容是一个只与分子的自由度有关的量，它与气体的温度无关。对于单原子分子气体

i = 3, C_{V, m} = 12.5 J / (mol \cdot K)

；对于双原子分子气体，不考虑分子的振动，则

i = 5, C_{V, m} = 20.8 J / (mol \cdot K)

；对于多原子分子气体，不考虑分子的振动，则

i = 6, C_{V, m} = 24.9 J / (mol \cdot K)

。

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