Kummer 函数（1F1）

贡献者： int256; addis

本文处于草稿阶段。

　　¹Kummer 函数 $M (a, b, z)$ ，也叫合流超几何函数 $_{1} F_{1} (a, b; z)$ （有时省略两个 “ $1$ ” 的下标，直接写作 $F (a, b; z)$ ），是以下微分方程的解

\begin{matrix} (1) & z \frac{d^{2} f}{d z^{2}} + (b - z) \frac{d f}{d z} - a f = 0 . \end{matrix}

特别的，当

1 - b \neq Z

时方程有另一解

z^{1 - b}_{1} F_{1} (a - b + 1, 2 - b; z) .

　　 Kummer 函数是超几何函数的一个特例，

\begin{matrix} (2) & M (a, b, z) =_{1} F_{1} (a, b; z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a)_{n}}{(b)_{n}} \frac{z^{n}}{n!} . \end{matrix}

其中

(a)_{n} = a (a + 1) \dots (a + n - 1)

，叫做 Pochhammer 符号（等价于上升幂）。

　　 $_{1} F_{1}$ 还存在一个积分表示

\begin{matrix} (3) & _{1} F_{1} (a, b; z) = \frac{Γ (b)}{Γ (a) Γ (b - a)} \int_{0}^{1} e^{z t} t^{a - 1} (1 - t)^{b - a - 1} d t, \end{matrix}

其中

Re b > Re a > 0

。

1. 合流超几何函数的应用

　　合流超几何函数在类氢原子束缚态的薛定谔方程的径向波函数的解中很常见，例如式 4 ：

\begin{matrix} (4) & \frac{d^{2} u}{d ρ^{2}} + [- 1 - \frac{2 η}{ρ} - \frac{l (l + 1)}{ρ^{2}}] u = 0 . \end{matrix}

考察这微分方程在

ρ \to 0

时的情形。此时变为

\begin{matrix} (5) & \frac{d^{2} u}{d ρ^{2}} - \frac{l (l + 1)}{ρ^{2}} u = 0 . \end{matrix}

从而

u

的通解是

u (ρ) = C_{1} ρ^{l + 1} + C_{2} ρ^{- l}

的形式。而在

ρ \to 0

时

ρ^{- l} \to \infty

，故必然有

C_{2} = 0

。类似地，考察其在

ρ \to \infty

时的情形有渐进解

\exp (- ρ / 2)

。故可以将

u

的解写作

\begin{matrix} (6) & u (ρ) = ρ^{l + 1} \exp (- ρ / 2) y (ρ), \end{matrix}

的形式。

　　将 $y$ 代入会发现新大陆：

\begin{matrix} (7) & ρ \frac{d^{2} y}{d ρ^{2}} + (c - ρ) \frac{d y}{d ρ} - a y = 0 . \end{matrix}

a

和

c

是带入后计算出的常数。这微分方程恰好符合式 1 的形式。这方程有通解

\begin{matrix} (8) & y (ρ) = A_{}_{1} F_{1} (a, c; ρ) + B ρ^{1 - c}_{1} F_{1} (a - c + 1, 2 - c; ρ) . \end{matrix}

类似的考虑

ρ \to \infty

时的情况，应有

B = 0

。从而有

u

的解可以表示为

\begin{matrix} (9) & u (ρ) = A ρ^{l + 1} \exp (- ρ / 2)_{1} F_{1} (a, c; ρ) \end{matrix}

的形式。

1. ^ 见 NIST 相关页面。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。