电磁场中粒子的拉氏量

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 拉格朗日电磁势,电磁场张量

   我们继续使用自然单位制,令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达.依照习惯,上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时,取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$;使用拉丁字母如 $i, j$ 时,取值范围为 $\{1, 2, 3\}$.约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$.

   设一个在闵氏时空中自由运动的(不带电的)粒子,其作用量应当在洛伦兹变换下保持不变.唯一能写出的作用量是

\begin{equation} S=\int L \,\mathrm{d}{t} =-m\int \,\mathrm{d}{\tau} =-m\int \sqrt{- \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} _\mu} \end{equation}
其中 $m$ 为粒子的静止质量,$ \,\mathrm{d}{\tau} $ 为粒子世界线的固有时间(或者说原时)间隔,即一小段微元的时空距离:
\begin{equation} \,\mathrm{d}{\tau} =\sqrt{- \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} _\mu}=\sqrt{( \,\mathrm{d}{t} )^2-( \,\mathrm{d}{x} )^2-( \,\mathrm{d}{y} )^2-( \,\mathrm{d}{z} )^2}=\sqrt{1-v^2} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}

   所以自由粒子的拉氏量为

\begin{equation} L=-m\sqrt{1-v^2} \end{equation}
如果取非相对论极限 $v\ll 1$,那么 $L_{\rm{non-rel}}=-m+\frac{1}{2}mv^2$,舍去常数项就可以得到 $L=\frac{1}{2}mv^2$,这与牛顿力学体系下自由粒子的拉格朗日量是一致的.

1. 电磁场中粒子的拉氏量

   现在考虑带电粒子的拉氏量.根据拉格朗日电磁势 中 的证明,带电粒子在电磁场中的广义势为 $U=q(\phi- \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )$,根据 $U=T-U$,可以给式 3 增添一项,得到带电粒子的拉氏量

\begin{equation} L=-m\sqrt{1-v^2}-q\phi+q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}

   那么带电粒子的作用量为

\begin{equation} \begin{aligned} S&=\int L \,\mathrm{d}{t} =\int \left(-m\sqrt{1-v^2}-q\phi +q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \right) \,\mathrm{d}{t} \\ &=\int (-m-q\gamma\phi+q\gamma \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \,\mathrm{d}{\tau} \\ &=\int (-m+qU^\mu A_\mu) \,\mathrm{d}{\tau} \end{aligned} \end{equation}
或者可以利用 $U^\mu= \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }$ 将它改写为
\begin{equation} S=\int -m \,\mathrm{d}{\tau} +qA_\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu \end{equation}
其中 $A^\mu=(\phi,A_x,A_y,A_z)=(\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} )$ 是 4-矢量势.带电粒子的作用量具有协变形式,这也是符合我们预期的—作用量具有洛伦兹不变性.

   注意到 $A_\mu$ 是时空坐标 $x^\mu$ 的函数.保持时空舞台上的电磁场不变,即 $A_\mu$ 关于 $x^\mu$ 的函数不变,如果对 $x^\mu$ 作变分并保持初始和终止的时空坐标不变,根据最小作用量原理,$\delta S=0$,于是我们有

\begin{equation} \begin{aligned} \delta S&=\delta \left(-m\int \sqrt{- \,\mathrm{d}{x} _\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu} +q\int A_\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu \right) \\ &=-m\int \frac{- \,\mathrm{d}{x} _\mu \delta ( \,\mathrm{d}{x} ^\mu)}{\sqrt{- \,\mathrm{d}{x} _\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu}}+q\int \left(\delta(A_\mu) \,\mathrm{d}{x} ^\mu + A_\mu \delta( \,\mathrm{d}{x} ^\mu) \right) \\ &=m\int \frac{ \,\mathrm{d}{x} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } \,\mathrm{d}\left(\delta x^\mu \right) +q\int \left(\frac{\partial A_\mu}{\partial x_\nu} \right) \,\mathrm{d}{x} ^\mu \delta x_\nu+q\int A_\mu \,\mathrm{d}\left(\delta x^\mu \right) \\ &=-m\int \,\mathrm{d}{U} _\mu \delta x^\mu+q\int \partial_\nu A_\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu\delta x^\nu-q\int \,\mathrm{d}{A} _\mu \delta x^\mu\\ &=\int \left(-m\frac{ \,\mathrm{d}{U} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } + q\partial_\mu A_\nu \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }-q\partial_\nu A_\mu\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } \right) \delta x^\mu \,\mathrm{d}{\tau} \\ \end{aligned} \end{equation}

   上面的推导多次用了分部积分.我们定义电磁场张量 $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_\nu-\partial_\nu A_\mu$,那么

\begin{equation} \delta S=\int \left(-m\frac{ \,\mathrm{d}{U} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }+qF_{\mu\nu}U^\nu \right) \delta x^\mu \,\mathrm{d}{\tau} =0 \end{equation}
所以由最小作用量原理得到了洛伦兹力公式(也可以将 $\mu$ 指标上升变成 式 22 的形式)
\begin{equation} m\frac{ \,\mathrm{d}{U} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }=qF_{\mu\nu} U^\nu \end{equation}

2. 电磁场中粒子的哈密顿量

   式 16 描述了非相对论极限下电磁场中粒子的广义动量.在考论相对论粒子时,可以根据式 4 可以计算粒子的广义动量:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} =\frac{\partial L}{\partial \dot { \boldsymbol{\mathbf{q}} }}=\frac{m \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\sqrt{1-v^2}}+q \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{P}} +q \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{q}} $ 为广义坐标(取 $x,y,z$),$ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 为与之共轭的广义动量(或者称正则动量),$ \boldsymbol{\mathbf{P}} =\gamma m \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是粒子的相对论动量.

   哈密顿量为

\begin{equation} \begin{aligned} H&= \boldsymbol{\mathbf{p}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }-L=\frac{mv^2}{\sqrt{1-v^2}}+q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} -(-m\sqrt{1-v^2}-q\phi+q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} )\\ &=\frac{m}{\sqrt{1-v^2}}+q\phi=\sqrt{m^2+ \left(\frac{mv}{\sqrt{1-v^2}} \right) ^2}+q\phi\\ &=\sqrt{m^2+ \boldsymbol{\mathbf{P}} ^2}+q\phi\\ &=\sqrt{m^2+( \boldsymbol{\mathbf{p}} -q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2}+q\phi \end{aligned} \end{equation}
非相对论极限下 $v\ll 1$,则 $( \boldsymbol{\mathbf{p}} -q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2 \ll m^2$,此时哈密顿量为
\begin{equation} H_{\rm{non-rel}}=\frac{1}{2m}( \boldsymbol{\mathbf{p}} -q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2+q\phi \end{equation}


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