贡献者： _Eden_
我们继续使用自然单位制，令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时，取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$；使用拉丁字母如 $i, j$ 时，取值范围为 $\{1, 2, 3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。
设一个在闵氏时空中自由运动的（不带电的）粒子，其作用量应当在洛伦兹变换下保持不变。唯一能写出的作用量是
\begin{equation}
S=\int L \,\mathrm{d}{t} =-m\int \,\mathrm{d}{\tau} =-m\int \sqrt{- \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} _\mu}~.
\end{equation}
其中 $m$ 为粒子的静止质量，$ \,\mathrm{d}{\tau} $ 为粒子世界线的
固有时间（或者说原时）间隔，即一小段微元的时空距离：
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\tau} =\sqrt{- \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} _\mu}=\sqrt{( \,\mathrm{d}{t} )^2-( \,\mathrm{d}{x} )^2-( \,\mathrm{d}{y} )^2-( \,\mathrm{d}{z} )^2}=\sqrt{1-v^2} \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
所以自由粒子的拉氏量为
\begin{equation}
L=-m\sqrt{1-v^2}~.
\end{equation}
如果取非相对论极限 $v\ll 1$，那么 $L_{\rm{non-rel}}=-m+\frac{1}{2}mv^2$，舍去常数项就可以得到 $L=\frac{1}{2}mv^2$，这与牛顿力学体系下自由粒子的拉格朗日量是一致的。
1. 电磁场中粒子的拉氏量
现在考虑带电粒子的拉氏量。根据拉格朗日电磁势中的证明，带电粒子在电磁场中的广义势为 $U=q(\phi- \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )$，根据 $L=T-U$，可以给式 3 增添一项，得到带电粒子的拉氏量
\begin{equation}
L=-m\sqrt{1-v^2}-q\phi+q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
那么带电粒子的作用量为
\begin{equation}
\begin{aligned}
S&=\int L \,\mathrm{d}{t} =\int \left(-m\sqrt{1-v^2}-q\phi +q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \right) \,\mathrm{d}{t} \\
&=\int (-m-q\gamma\phi+q\gamma \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \,\mathrm{d}{\tau} \\
&=\int (-m+qU^\mu A_\mu) \,\mathrm{d}{\tau} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
或者可以利用 $U^\mu= \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }$ 将它改写为
\begin{equation}
S=\int -m \,\mathrm{d}{\tau} +qA_\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu~,
\end{equation}
其中 $A^\mu=(\phi,A_x,A_y,A_z)=(\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} )$ 是 4-矢量势。带电粒子的作用量具有协变形式，这也是符合我们预期的—作用量具有洛伦兹不变性。
注意到 $A_\mu$ 是时空坐标 $x^\mu$ 的函数。保持时空舞台上的电磁场不变，即 $A_\mu$ 关于 $x^\mu$ 的函数不变，如果对 $x^\mu$ 作变分并保持初始和终止的时空坐标不变，根据最小作用量原理，$\delta S=0$，于是我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta S&=\delta \left(-m\int \sqrt{- \,\mathrm{d}{x} _\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu} +q\int A_\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu \right) \\
&=-m\int \frac{- \,\mathrm{d}{x} _\mu \delta ( \,\mathrm{d}{x} ^\mu)}{\sqrt{- \,\mathrm{d}{x} _\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu}}+q\int \left(\delta(A_\mu) \,\mathrm{d}{x} ^\mu + A_\mu \delta( \,\mathrm{d}{x} ^\mu) \right) \\
&=m\int \frac{ \,\mathrm{d}{x} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } \,\mathrm{d}\left(\delta x^\mu \right) +q\int \left(\frac{\partial A_\mu}{\partial x_\nu} \right) \,\mathrm{d}{x} ^\mu \delta x_\nu+q\int A_\mu \,\mathrm{d}\left(\delta x^\mu \right) \\
&=-m\int \,\mathrm{d}{U} _\mu \delta x^\mu+q\int \partial_\nu A_\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu\delta x^\nu-q\int \,\mathrm{d}{A} _\mu \delta x^\mu\\
&=\int \left(-m\frac{ \,\mathrm{d}{U} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } + q\partial_\mu A_\nu \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }-q\partial_\nu A_\mu\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } \right) \delta x^\mu \,\mathrm{d}{\tau} ~,\\
\end{aligned}
\end{equation}
上面的推导多次用了分部积分。我们定义电磁场张量 $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_\nu-\partial_\nu A_\mu$，那么
\begin{equation}
\delta S=\int \left(-m\frac{ \,\mathrm{d}{U} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }+qF_{\mu\nu}U^\nu \right) \delta x^\mu \,\mathrm{d}{\tau} =0~.
\end{equation}
所以由最小作用量原理得到了洛伦兹力公式（也可以将 $\mu$ 指标上升变成
式 22 的形式）
\begin{equation}
m\frac{ \,\mathrm{d}{U} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }=qF_{\mu\nu} U^\nu~.
\end{equation}
2. 电磁场中粒子的哈密顿量
式 17 描述了非相对论极限下电磁场中粒子的广义动量。在考论相对论粒子时，可以根据式 4 可以计算粒子的广义动量：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} =\frac{\partial L}{\partial \dot { \boldsymbol{\mathbf{q}} }}=\frac{m \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\sqrt{1-v^2}}+q \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{P}} +q \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{q}} $ 为广义坐标（取 $x,y,z$），$ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 为与之共轭的广义动量（或者称正则动量），$ \boldsymbol{\mathbf{P}} =\gamma m \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是粒子的相对论动量。
哈密顿量为
\begin{equation}
\begin{aligned}
H&= \boldsymbol{\mathbf{p}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }-L=\frac{mv^2}{\sqrt{1-v^2}}+q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} -(-m\sqrt{1-v^2}-q\phi+q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} )\\
&=\frac{m}{\sqrt{1-v^2}}+q\phi=\sqrt{m^2+ \left(\frac{mv}{\sqrt{1-v^2}} \right) ^2}+q\phi\\
&=\sqrt{m^2+ \boldsymbol{\mathbf{P}} ^2}+q\phi\\
&=\sqrt{m^2+( \boldsymbol{\mathbf{p}} -q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2}+q\phi~,
\end{aligned}
\end{equation}
非相对论极限下 $v\ll 1$，则 $( \boldsymbol{\mathbf{p}} -q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2 \ll m^2$，此时哈密顿量为
\begin{equation}
H_{\rm{non-rel}}=\frac{1}{2m}( \boldsymbol{\mathbf{p}} -q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2+q\phi~.
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。