介质中的静电场

             

预备知识 电极化强度与极化电荷的关系

   如果把激发外电场的原有电荷系称为自由电荷,并用 $\mathbf E_0$ 表示它们所激发的电场强度,而用 $\mathbf E'$ 表示极化过程完成之后极化电荷所激发的电场强度.那么,空间任一点最终的合电场强度 $\mathbf E $ 应是上述两类电荷所激发电场强度的矢量和,即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{0} + \boldsymbol{\mathbf{E}} ' \end{equation}
由于在电介质中,自由电荷的电场与极化电荷的电场的方向总是相反,所以在电介质中的合电场强度 $\mathbf E $ 与外电场强度 $\mathbf E_0$ 相比显著地削弱了.

   对于各向同性线性电介质,电极化强度 $\mathbf P $ 和介质内部的合电场强度 $\mathbf E $ 的关系为

\begin{equation} \mathbf P=\chi_{\mathrm e} \varepsilon_{0} \mathbf E \end{equation}
式中的比例因数 $\chi_{\mathrm{e}}$ 和电介质的性质有关,叫做电介质的电极化率(electric susceptibility),是量纲为 $1 $ 的量.

图
图 1:电介质中的电场强度

   为了定量地了解电介质内部电场强度被削弱的情况,我们讨论如下特例:图 1 表示在两块 “无限大” 极板间充有电极化率为 $\chi_\mathrm{e}$ 的均匀电介质,设两极板上的自由电荷面密度为 $\pm \sigma_0$,电介质表面上的极化电荷面密度为 $\pm \sigma^\prime$.自由电荷的电场强度大小 $E_{0}=\sigma_{0} / \varepsilon_{0}$,在图中用实线表示;极化电荷的电场强度大小为 $E^{\prime}=\sigma^{\prime} / \varepsilon_{0}$,在图中用虚线表示.$\mathbf E^\prime$ 的方向和 $\mathbf E_0$ 的方向相反,因此极板间电介质中的合电场强度 $\mathbf E $ 的大小为

\begin{equation} E=E_{0}-E^{\prime}=\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}-\frac{\sigma^{\prime}}{\varepsilon_{0}} \end{equation}
考虑到极化电荷面密度为 $\sigma$,极板间电介质中的合电场强度 $\mathbf E $ 的大小又可写为
\begin{equation} E=E_{0}-\frac{P}{\varepsilon_{0}}=E_{0}-\chi_{\mathrm e} E \end{equation}
\begin{equation} E=\frac{E_{0}}{1+\chi_{\mathrm{e}}} \end{equation}
说明电介质内部的电场强度 $E $ 被削弱为外电场强度 $E_0$ 的 ${1+\chi_{\mathrm{e}}}$.下面我们将看到 $({1+\chi_{\mathrm{e}}})$ 正是电介质的相对电容率 $\varepsilon_\mathrm{r}$.我们知道,两极板间的电势差为
\begin{equation} U=E d=\frac{\sigma_{0} d}{\varepsilon_{0}\left(1+\chi_{\mathrm e}\right)} \end{equation}
设极板的面积为 $S$,则极板上总的电荷量为 $q=\sigma_{0} S$,按电容器电容的定义,极板间充满均匀电介质后的电容为
\begin{equation} C=\frac{q}{U}=\frac{\varepsilon_{0}\left(1+\chi_{\mathrm e}\right) S}{d}=\left(1+\chi_{\mathrm e}\right) C_{0} \end{equation}
而我们知道 $C=\varepsilon_\mathrm{r}C_0$,所以
\begin{equation} \varepsilon_{\mathrm{r}}=1+\chi_{\mathrm{e}} \end{equation}
这就解释了电容器中充满电介质后其电容增大的实验事实.又令
\begin{equation} \varepsilon=\varepsilon_{r} \varepsilon_{0}=\left(1+\chi_{\mathrm{e}}\right) \varepsilon_{0} \end{equation}
称作电介质的电容率介电常量.与真空中的电容率 $\varepsilon_0$ 有相同的单位.电极化率 $\chi_{\mathrm{e}}$、相对电容率 $\varepsilon_\mathrm{r}$,和电容率 $\varepsilon$ 都是表征电介质性质的物理量,三者中知道任何一个即可求得其他两个.

   这里要特别说明一点,式 8 虽然是从平行板电容器中均匀电介质的特例引出的,但它却是普遍适用的. 而式 5 表明,在均匀电介质充满整个电场的情况下,电介质内部的电场强度 $E $ 为电场强度 $E_0$ 的 $1/\varepsilon_{\mathrm{r}}$ 倍,这一结论并不是普遍成立的,但电介质内部的电场强度通常要减弱,这个现象却是普遍成立的.

   此外做一个小扩展,上面研究的是各向同性电介质,电极化率和电容率都是常量,但自然界也存在一些电介质,在一定的温度范围内电容率随电场强度而变化,它们的极化规律有着复杂的非线性关系.例如钛酸钡等,在外电场撤除后仍保留有剩余的极化,这样的材料称作铁电体,另一类电介质在外力的作用下发生机械变形(拉伸或压缩)时,也能产生电极化现象,称作压电效应.如石英晶体等就具有压电效应.压电效应的反效应叫做电致伸缩,即晶体在电场中会产生伸长或收缩的效应.还有一类材料在外电场撤销后,会长期保留其极化状态,就像永磁体保留有磁性一样.这样的电介质称作永驻体.上述这些具有特殊性质的材料有着重要的应用,可以制成各种换能器和传感器,满足人们不同的需求.它们是材料科学的基础研究内容之一.

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