电极化强度与极化电荷的关系

                     

贡献者: ACertainUser; FFjet

预备知识 电极化强度

   极化电荷是由于电介质极化产生的,因此电极化强度与极化电荷之间必定存在一定的关系。对于均匀电介质,其极化电荷只集中在表面层里或在两种不同的界面层里。电介质极化后产生的一切宏观效应就是通过这些电荷来体现的。下面我们就来研究均匀电介质极化电荷面密度与电极化强度之间的关系。

1. 薄片模型

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图 1:极化电荷面密度与电极化强度

   设有一厚为 $l$、表面积为 $S $ 的电介质薄片图 1 放置在一均匀电场 $\mathbf E $ 中,那么在薄片两表面产生了极化电荷,薄片的电极化强度 $\mathbf P $ 平行于电场强度 $\mathbf E$。薄片总的电偶极矩 $\sum \mathbf p$ 是电极化强度的大小与薄片体积的乘积 $PSl$,这相当于薄片表面的极化电荷 $q' $ 与薄片两表面正负电荷分开的距离 $l $ 的乘积,即

\begin{equation} \left|\sum \mathbf p\right|=P S l=q^{\prime} l \end{equation}
因此,薄片表面的极化电荷面密度就等于电极化强度的大小,即 $\sigma^{\prime}=P$。 这个结果假定了薄片表面与 $\mathbf P $ 垂直。在一般情况下,设 $\mathbf e_\mathrm{n} $ 为薄片表面的单位法 向矢量,那么
\begin{equation} \sigma^{\prime}=\mathbf P \boldsymbol\cdot \mathbf e_{\mathrm{n}}=P_{\mathrm{n}} \end{equation}
即介质极化所产生的极化电荷面密度等于电极化强度沿介质表面外的分量。在薄片侧面,由于 $\mathbf P $ 的方向与侧面法线垂直,所以侧面上的极化电荷面密度为零。

2. 更一般的模型

  1

图
图 2:小体积内的电偶

   从另一个角度说,我们在电介质中选取一个小体积,那么该体积内的极化电荷是什么?你或许会以为这与该体积内的电偶有关,但事实恰好相反。如图 2 所示,那些完全位于体积内的电偶对体积内的极化电荷没有影响,因为那些电偶的正、负电荷将相互抵消。对体积内的极化电荷有真正贡献的是那些刚好穿过体积边界的电偶:穿入体积的电偶贡献一正电荷,而穿出体积的电偶贡献一负电荷。

   这样,我们可以写出 $$ Q= - \oint \boldsymbol{\mathbf{P}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} S $$ 负号来自于 $P$ 的符号约定。根据散度定理, $$ Q= - \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} P \,\mathrm{d}{V} $$ 由于该公式对任意体积都成立,因此

\begin{equation} \rho = \frac{\mathrm{d}{Q}}{\mathrm{d}{V}} = - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} P \end{equation}
$\rho$ 即为极化电荷密度。

例 1 极化电荷在哪儿

图
图 3:线性电介质内没有极化电荷

   在线性电介质中的内部任选一体积。由于电偶分布是均匀的,因此穿入和穿出这块体积的电偶量总是相同,即线性电介质的内部没有极化电荷。

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图 4:线性电介质的边界上有极化电荷

   那么,电介质的极化电荷分布在哪里?当我们在电介质边界上取小体积时,情况就不一样了:有一侧不再有穿入(穿出)的电偶,此时小体积内有静极化电荷积累。这也是为什么我们说电介质中的极化电荷是 “分布在介质表面的束缚电荷”。

   请注意,该结论仅适用于电偶分布均匀的线性电介质。如果某种电介质内的电偶分布是不均匀的,那么在其内部也可以有静极化电荷。


1. ^ 本节参考了周磊教授的《电动力学》讲义。任何与电动力学有关的课程都会涉及这些内容。


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