极化电流

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识　磁化强度

　　这里推导介质中麦克斯韦方程组的 $\nabla \times H$ 的那条。

1. 磁化电流

　　首先证明磁介质产生的磁化电流。假设磁偶极子都是小线圈组成，曲面内部净电流为零，曲面边界只有穿过小线圈才能在曲面上产生净电流。

\begin{matrix} (1) & I = I_{1} (π R^{2} \hat{n} \cdot d l) n = M \cdot d l, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (2) & \oint j_{M} \cdot d s = \oint M \cdot d l . \end{matrix}

根据散度定理，

\begin{matrix} (3) & \nabla \times M = j_{M} . \end{matrix}

证毕。

2. 极化电流

　　再来看电介质的极化电流。我们已经知道电偶极子会导致极化电荷： $ρ_{P} = - \nabla \cdot P .$ 因此我们合理地相信，如果某些因素（比如，外电场的变化）改变了电偶极子的密度，那么极化电荷密度也可能变化。 $\frac{\partial ρ_{P}}{\partial t} = - \frac{\partial \nabla \cdot P}{\partial t} = - \nabla \cdot \frac{\partial P}{\partial t} .$ 而根据电荷守恒，变化的电荷必然对应一个电流 $\nabla \cdot j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0 .$ 因此 $\nabla \cdot j_{P} - \nabla \cdot \frac{\partial P}{\partial t} = 0,$ 即变化的电偶极子产生极化电流。

\begin{matrix} (4) & j_{p} = \frac{d P}{d t} . \end{matrix}

当然，就我们的假设而言，介质中的电荷仅仅是在小范围内重新分布，并没有真正地从介质的一端运动到另一端。

3. $H$ 的环路定律

　　将自由电流、磁化电流、极化电流都带入 Maxwell 方程的广义安培环路定律

\begin{matrix} (5) & \nabla \times B = μ_{0} (j_{f} + j_{M} + j_{p} + j_{E}) = μ_{0} j_{f} + μ_{0} \nabla \times M + μ_{0} \frac{\partial P}{\partial t} + μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} . \end{matrix}

因此，

\begin{aligned} (6) & \frac{1}{μ_{0}} \nabla \times B & = j_{f} + \nabla \times M + \frac{\partial P}{\partial t} + ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} \\ (7) & \frac{1}{μ_{0}} \nabla \times B - \nabla \times M & = j_{f} + \frac{\partial (ϵ_{0} E + P)}{\partial t} . \end{aligned}

定义磁场强度为

\begin{matrix} (8) & H = \frac{B}{μ_{0}} - M, \end{matrix}

且注意到右侧第二项即为

D

关于时间的导数。因此

\begin{matrix} (9) & \nabla \times H = j_{f} + \frac{\partial D}{\partial t} . \end{matrix}

4. 线性磁介质的假设

　　另外，若假设磁介质为线性，则有

\begin{matrix} (10) & M = χ_{M} H, μ_{r} = 1 + χ_{M}, H = B / μ, j_{M} = χ_{M} j_{f} . \end{matrix}

这就是说，

χ > 0

的磁介质会使电流加强。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

极化电流

1. 磁化电流

2. 极化电流

3. H 的环路定律

4. 线性磁介质的假设

3. $H$ 的环路定律