极化电流

                     

贡献者: ACertainUser; addis

预备知识 磁化强度

   这里推导介质中麦克斯韦方程组的 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 的那条。

1. 磁化电流

   首先证明磁介质产生的磁化电流。假设磁偶极子都是小线圈组成,曲面内部净电流为零,曲面边界只有穿过小线圈才能在曲面上产生净电流。

\begin{equation} I = I_1 (\pi R^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ) n = \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ~, \end{equation}
\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{j}} _M \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \oint \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ~. \end{equation}
根据散度定理,
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} _M~. \end{equation}
证毕。

2. 极化电流

   再来看电介质的极化电流。我们已经知道电偶极子会导致极化电荷: $$\rho_P=- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{P}} ~.$$ 因此我们合理地相信,如果某些因素(比如,外电场的变化)改变了电偶极子的密度,那么极化电荷密度也可能变化。 $$ \frac{\partial \rho_P}{\partial t} =- \frac{\partial \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} =- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} ~.$$ 而根据电荷守恒,变化的电荷必然对应一个电流 $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} =0~.$$ 因此 $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} _P - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} =0~, $$ 即变化的电偶极子产生极化电流。

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} _p = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} ~. \end{equation}
当然,就我们的假设而言,介质中的电荷仅仅是在小范围内重新分布,并没有真正地从介质的一端运动到另一端。

3. $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 的环路定律

   将自由电流、磁化电流、极化电流都带入 Maxwell 方程的广义安培环路定律

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{B}} } = \mu_0 ( \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \boldsymbol{\mathbf{j}} _M + \boldsymbol{\mathbf{j}} _p + \boldsymbol{\mathbf{j}} _E) = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \mu_0 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} + \mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~. \end{equation}
因此,
\begin{align} \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{B}} } &= \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \\ \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{B}} } - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} &= \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \frac{\partial (\epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{P}} )}{\partial t} ~.\\ \end{align}
定义磁场强度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu_0} - \boldsymbol{\mathbf{M}} ~, \end{equation}
且注意到右侧第二项即为 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 关于时间的导数。因此
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{D}} }{\partial t} ~. \end{equation}

4. 线性磁介质的假设

   另外,若假设磁介质为线性,则有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \chi_M \boldsymbol{\mathbf{H}} ~, \qquad \mu_r = 1 + \chi_M~, \qquad \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} /\mu~, \qquad \boldsymbol{\mathbf{j}} _M = \chi_M \boldsymbol{\mathbf{j}} _f~. \end{equation}
这就是说,$\chi > 0$ 的磁介质会使电流加强。


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