极化电流

             

预备知识 电极化强度与极化电荷的关系

   这里推导介质中麦克斯韦方程组的 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 的那条.

   首先证明磁介质产生的电流 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} _M$,即证 $\oint \boldsymbol{\mathbf{j}} _M \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \oint \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } $.假设磁偶极子都是小线圈组成,曲面内部净电流为零,曲面边界只有穿过小线圈才能在曲面上产生净电流.

\begin{equation} I = I_1 (\pi R^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ) n = \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \end{equation}
证毕.

   再来看电介质的极化电流

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} _p = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
所以根据
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{B}} } = \mu_0 ( \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \boldsymbol{\mathbf{j}} _M + \boldsymbol{\mathbf{j}} _p + \boldsymbol{\mathbf{j}} _E) = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \mu_0 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} + \mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{equation}
定义磁场强度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu_0} - \boldsymbol{\mathbf{M}} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{D}} }{\partial t} \end{equation}
另外,假设磁介质为线性
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \chi_M \boldsymbol{\mathbf{H}} \qquad \mu_r = 1 + \chi_M \qquad \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} /\mu \qquad \boldsymbol{\mathbf{j}} _M = \chi_M \boldsymbol{\mathbf{j}} _f \end{equation}
这就是说,$\chi > 0$ 的磁介质会使电流加强.

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