线性泛函的几何意义

贡献者： 零穹

　　 在有限维线性空间中，一个线性方程和一个超曲面一一对应（线性方程组的仿射解释），这在无穷维的线性空间中仍然成立。具体的，在任一的线性空间中，一个非平凡线性泛函（即不恒为零）和一个不通过坐标原点的超曲面一一对应。这便是线性泛函的几何意义。

　　 本文将始终假定 $\mathbb{F}$ 是定义线性空间 $L$ 的域。

1. 零子空间

　　 称 $\ker f$ 为 “子空间” 是因为若 $f(x)=f(y)=0$，则

　　 证明：存在性：任一 $x\in L$，令 $y=x-\frac{f(x)}{f(x_0)}{x}_0$，则 $f(y)=0$，即 $y\in \ker f$。因此任一 $x\in L$，存在 $\alpha \in \mathbb{F},y\in \ker f$，使得

　　 唯一性：设 $\alpha x_0+y={\alpha }^{\prime }{x}_0+y^{\prime }$，则 $(\alpha -{\alpha }^{\prime })x_0=y^{\prime }-y$。若 $\alpha ={\alpha }^{\prime }$，则 $y^{\prime }=y$，唯一性成立；若 $\alpha \ne {\alpha }^{\prime }$，则 $x_0=\frac{y^{\prime }-y}{\alpha -{\alpha }^{\prime }}\in \ker f$，这和 $f(x_0)\ne 0$ 矛盾，因此只能是 $\alpha ={\alpha }^{\prime }$。

　　 证毕！

　　 证明：由于 $f$ 不恒为 0，因此存在 $x_0$，使得 $f(x_0)\ne 0$。由引理 1 ，任意 $x,x^{\prime }$，可表示为

　　 证毕！

　　 证明：需要证明商空间 $L/\ker f$ 的维数为 1，即存在非零矢量 $[x_0]\ne [0]\in L/\ker f$，使得任一 $\xi \in L/\ker f$，都有 $\xi =\alpha [x_0],\alpha \in \mathbb{F}$。证明如下：

　　 由引理 1 ，任一 $\xi \in L/\ker f$ 的代表元 $x$ 可写为 $x=\alpha x_0+y,y\in \ker f,x_0\notin \ker f$。又 $\alpha x_0$ 和 $x$ 等价，因此 $\alpha x_0\in \xi$，即每一 $\xi$ 都有形如 $\alpha x_0$ 的代表元。即 $[\xi ]=\alpha [x_0]$。

　　 证毕！

　　 证明：取 $x_0$，使得 $f(x_0)\ne 0$。那么可断定 $g(x_0)\ne 0$。事实上，由引理 1

　　 证毕！

　　 由剩余类的定义可知，与 $L^{\prime }$ 平行的超平面 $M^{\prime }$，是从 $L^{\prime }$ 平移任一向量 $x_0\in L$ 所得到的集 $M^{\prime }=x_0+L^{\prime }$。

　　 证明： 若 $f$ 是空间 $L$ 上的非平凡线性泛函，则集 $M_f=\{x|f(x)=c\ne 0\}$ 是与子空间 $\ker f$ 平行的超平面：事实上，选定任一满足 $f(x_0)=c$ 的元素 $x_0$。于是由引理 1 ，任一 $x\in M_f$ 可表为 $x=\frac{f(x)}{f(x_0)}{x}_0+y=x_0+y,y\in \ker f$。反过来，$x_0+\ker f\subset M_f$。于是 $M_f=x_0+\ker f$。

　　 若 $M^{\prime }$ 是与子空间 $L^{\prime }$ 平行、且不通过原点的任一超曲面，则存在唯一的线性泛函，使得 $M^{\prime }=\{x|f(x)=c\ne 0\}$：设 $M^{\prime }=L^{\prime }+x_0,x_0\in L$。则任一元素 $x\in L$ 可唯一表为 $x=\alpha x_0+y,y\in L^{\prime }$ 的形式（因为超平面余维数为 1）。令 $f(x)=\alpha f(x_0)$，于是 $f$ 是所需要的线性泛函。事实上，若 $x=\alpha x_0+y,x^{\prime }={\alpha }^{\prime }{x}_0+y^{\prime }$，则

　　 若 $x\in M^{\prime },g(x)\equiv c$，则 $y\in L^{\prime },g(y)\equiv 0$，因此

　　 结合上面证得的两个命题，命题得证！

　　 证毕！

　　 定理 1 便说明了线性泛函的几何意义。