贡献者： 零穹
在有限维线性空间中，一个线性方程和一个超曲面一一对应（线性方程组的仿射解释），这在无穷维的线性空间中仍然成立。具体的，在任一的线性空间中，一个非平凡线性泛函（即不恒为零）和一个不通过坐标原点的超曲面一一对应。这便是线性泛函的几何意义。
本文将始终假定 $\mathbb F$ 是定义线性空间 $L$ 的域。
1. 零子空间
定义 1 零子空间，核
设 $f$ 是线性空间 $L$ 上不恒为零的线性泛函。则
\begin{equation}
\{x|f(x)=0,x\in L\}~,
\end{equation}
称为 $L$ 的（关于 $f$）的
零子空间或线性泛函 $f$ 的
核，记作 $\ker f$。
称 $\ker f$ 为 “子空间” 是因为若 $f(x)=f(y)=0$，则
\begin{equation}
f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)=0.~
\end{equation}
引理 1
设 $f$ 是线性空间 $L$ 的非平凡线性泛函，则任一 $x\in L$，对固定的满足 $f(x_0)\neq0$ 的 $x_0$，存为唯一 $\alpha\in\mathbb F,y\in \ker f$，使得
\begin{equation}
x=\alpha x_0+y.~
\end{equation}
在 $f,x_0$ 确定的情况下，$\alpha=\frac{f(x)}{f(x_0)}$
证明：存在性：任一 $x\in L$，令 $y=x-\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0$，则 $f(y)=0$，即 $y\in\ker f$。因此任一 $x\in L$，存在 $\alpha\in\mathbb F,y\in \ker f$，使得
\begin{equation}
x=\alpha x_0+y.~
\end{equation}
唯一性：设 $\alpha x_0+y=\alpha' x_0+y'$，则 $(\alpha-\alpha')x_0=y'-y$。若 $\alpha=\alpha'$，则 $y'=y$，唯一性成立；若 $\alpha\neq\alpha'$，则 $x_0=\frac{y'-y}{\alpha-\alpha'}\in\ker f$，这和 $f(x_0)\neq0$ 矛盾，因此只能是 $\alpha=\alpha'$。
证毕！
推论 1
设 $f$ 是线性空间 $L$ 的非平凡线性泛函，则 $x$ 等价于 $x'$，当且将当 $f(x)=f(x')$。
证明：由于 $f$ 不恒为 0，因此存在 $x_0$，使得 $f(x_0)\neq0$。由引理 1 ，任意 $x,x'$，可表示为
\begin{equation}
x=\alpha x_0+y,\quad x'=\alpha' x_0+y'.~
\end{equation}
$x,x'$ 等价的条件是 $x-x'=(\alpha'-\alpha)x_0+(y-y')\in \ker f$，这要求 $\alpha'=\alpha$。此时 $f(x)-f(x')=f(y)-f(y')=0$，即 $f(x)=f(x')$。
证毕！
推论 2 $\mathrm{codim} f=1$
零子空间 $\ker f$ 的余维数为 $1$。
证明：需要证明商空间 $L/\ker f$ 的维数为 1，即存在非零矢量 $[x_0]\neq [0]\in L/\ker f$，使得任一 $\xi\in L/\ker f$，都有 $\xi=\alpha[x_0],\alpha\in\mathbb F$。证明如下：
由引理 1 ，任一 $\xi\in L/\ker f$ 的代表元 $x$ 可写为 $x=\alpha x_0+y,y\in\ker f,x_0\notin\ker f$。又 $\alpha x_0$ 和 $x$ 等价，因此 $\alpha x_0\in \xi$，即每一 $\xi$ 都有形如 $\alpha x_0$ 的代表元。即 $[\xi]=\alpha[x_0]$。
证毕！
推论 3
设 $f,g$ 是线性空间 $L$ 的非平凡线性泛函，则若 $\ker f=\ker g$，那么恒有 $g(x)=\frac{f(x_0)}{g(x_0)}f(x)$。即在不计常数因子的情况下，在 $\ker f$ 定义的线性泛函是唯一的。
证明：取 $x_0$，使得 $f(x_0)\neq0$。那么可断定 $g(x_0)\neq0$。事实上，由引理 1
\begin{equation}
\begin{aligned}
x=\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0+y,&\quad y\in\ker f=\ker g,\\
&\Downarrow\\
g(x)=\frac{f(x)}{f(x_0)}g(x_0)&+g(y)=\frac{f(x)}{f(x_0)}g(x_0).
\end{aligned}~
\end{equation}
若 $g(x_0)=0$，那么 $g(x)\equiv0$，这与 $g$ 的非平凡性矛盾。由上式可知命题成立。
证毕！
定义 2 超平面
设 $L'$ 是 $L$ 的余维数为 1 的任意子空间，则称空间 $L'$ 的任一剩余类（定义 2 ）为（与子空间 $L'$ 平行）的超平面。
由剩余类的定义可知，与 $L'$ 平行的超平面 $M'$，是从 $L'$ 平移任一向量 $x_0\in L$ 所得到的集 $M'=x_0+L'$。
定理 1
定义在 $L$ 上的所有非平凡线性泛函与 $L$ 中不通过坐标原点的所有超平面是一一对应的。
证明： 若 $f$ 是空间 $L$ 上的非平凡线性泛函，则集 $M_f=\{x|f(x)=c\neq 0\}$ 是与子空间 $\ker f$ 平行的超平面：事实上，选定任一满足 $f(x_0)=c$ 的元素 $x_0$。于是由引理 1 ，任一 $x\in M_f$ 可表为 $x=\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0+y=x_0+y,y\in\ker f$。反过来，$x_0+\ker f\subset M_f$。于是 $M_f=x_0+\ker f$。
若 $M'$ 是与子空间 $L'$ 平行、且不通过原点的任一超曲面，则存在唯一的线性泛函，使得 $M'=\{x|f(x)=c\neq0\}$：设 $M'=L'+x_0,x_0\in L$。则任一元素 $x\in L$ 可唯一表为 $x=\alpha x_0+y,y\in L'$ 的形式（因为超平面余维数为 1）。令 $f(x)=\alpha f(x_0)$，于是 $f$ 是所需要的线性泛函。事实上，若 $x=\alpha x_0+y,x'=\alpha' x_0+y'$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(\lambda x+\lambda' x')&=f((\lambda\alpha+\lambda'\alpha')x_0+\lambda y+\lambda'y')\\
&=(\lambda \alpha+\lambda'\alpha')f(x_0)\\
&=\lambda f(x)+\lambda'f(x').
\end{aligned}~
\end{equation}
另外，由 $f$ 的定义，$f(x)=0\Rightarrow x\in L'$，即 $\ker f\subset L'$，又 $f(L')=0$，所以 $L'\in\ker f$，即 $L'=\ker f$。因此 $M'=x_0+\ker f$。
若 $x\in M',g(x)\equiv c$，则 $y\in L',g(y)\equiv 0$，因此
\begin{equation}
g(\alpha x_0+y)=\alpha c=f(\alpha x_0+y).~
\end{equation}
由此得到 $f$ 的唯一性。
结合上面证得的两个命题，命题得证！
证毕！
定理 1 便说明了线性泛函的几何意义。
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