有限差分

                     

贡献者: 零穹

预备知识 高阶导数(简明微积分)

   在实际当中,由于计算机的内存总是有限的,不可能存储一个连续的数据(因为实数的稠密性告诉我们:任意两实数之间有无穷多的数),甚至不可能存储一个小数点后有无限位数的实数.所以在计算机进行求导计算时自变量 $x$ 的变化 $\Delta x$ 不可能取到无限小,即微分 $ \,\mathrm{d}{f} ({x})$ 不可能实现,转而只能取一有限大小的 $\Delta x$,与微分相对应,此时 $\Delta f(x)$ 称为差分

定义 1 差分

   设函数 $f(x)$ 定义在某区间 $\mathcal{X}$ 上,给定自变量 $x$ 任一固定增量 $\Delta x$.称

\begin{equation} \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x) \end{equation}
为函数 $f(x)$ 的一阶差分.显然一阶差分也是 $x$ 的函数(因为 $\Delta x$ 固定),一阶差分的差分称为二阶差分$n$ 阶差分可归纳定义为
\begin{equation} \Delta^n f(x)=\Delta[\Delta^{n-1}f(x)] \end{equation}

定理 1 差分公式

   $n$ 阶差分 $\Delta^n f(x)$ 具有如下公式

\begin{equation} \Delta^nf(x)=\sum_{i=0}^n(-1)^iC_n^if(x+(n-i)\Delta x) \end{equation}
其中,$C_n^i$ 为组合数

   式 3 表明,$n$ 阶差分可直接用函数 $f(x)$ 本身在等距分点

\begin{equation} x,x+\Delta x,\cdots,x+n\Delta x \end{equation}
表示出.

定理 2 差分与导数关系

   设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[x_0,x_0+n\Delta x]$ 上有直到 $n-1$ 阶连续导数,且至少在开区间 $(x_0,x_0+n\Delta x)$ 上有直到 $n$ 阶有限导数 $f^{(n)}(x)$.于是成立下面公式

\begin{equation} \Delta^nf(x_0)=f^{(n)}(\xi_n)\Delta x^n ,\quad x_0 < \xi_n < x_0+n\Delta x \end{equation}

   若在点 $x_0$ 处导数 $f^{(n)}(x)$ 存在且连续,则让 $\Delta x\rightarrow0$(此时 $\xi_n\rightarrow x_0$),得

\begin{equation} f^{(n)}(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta^n f(x_0)}{\Delta x^n} \end{equation}
这个公式给出了用一次极限步骤求得 $n$ 阶导数的可能性.

1. 证明

定理 1 的证明

   当 $n=1,2$ 时,定理显然成立:

\begin{equation} \begin{aligned} \Delta f(x)=&f(x+\Delta x)-f(x)\\ =&\sum_{i=0}^1(-1)^iC_1^if(x+(1-i)\Delta x)\\ \Delta^2 f(x)=&\Delta (\Delta f(x))=\Delta f(x+\Delta x)-\Delta f(x)\\ =&f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)\\ =&\sum_{i=0}^2(-1)^iC_2^if(x+(2-i)\Delta x) \end{aligned} \end{equation}
假设 $n=k$ 时,式 3 成立,即
\begin{equation} \Delta^kf(x)=\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^if(x+(k-i)\Delta x) \end{equation}
那么
\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^{k+1} f(x)=&\Delta(\Delta^k f(x))=\Delta \left(\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^if(x+(k-i)\Delta x) \right) \\ =&\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^i\Delta f(x+(k-i)\Delta x)\\ =&\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^i \left[f(x+(k+1-i)\Delta x)-f(x+(k-i)\Delta x) \right] \\ =&f(x+(k+1)\Delta x)+\sum_{i=1}^{k}(-1)^iC_k^if(x+(k+1-i)\Delta x)\\ &+\sum_{i=0}^{k-1}(-1)^{i+1}C_k^i f(x+(k-i)\Delta x)+(-1)^{k+1}f(x)\\ =&f(x+(k+1)\Delta x)+\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i}(C_k^{i}+C_k^{i-1}) f(x+(k+1-i)\Delta x)+(-1)^{k+1}f(x)\\ =&f(x+(k+1)\Delta x)+\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i}C_{k+1}^{i} f(x+(k+1-i)\Delta x)+(-1)^{k+1}f(x)\\ =&\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^iC_{k+1}^if(x+(k+1-i)\Delta x) \end{aligned} \end{equation}
第三个等式用到了 $\Delta x$ 固定这一事实,$C_k^i+C_k^{i-1}=C_{k+1}^i$ 见式 6

   证毕!

定理 2 证明

   当 $n=1$ 时,式 5 便是拉格朗日公式式 1

   假设 $n$ 为 $n-1$ 时,式 5 成立.则

\begin{equation} \Delta^n f(x_0)=\Delta(\Delta^{n-1}f(x_0))= \left[f^{n-1}(\xi_{n-1}+\Delta x)-f^{n-1}(\xi_{n-1}) \right] \Delta x^{n-1} \end{equation}
其中,$x_0 < \xi_{n-1} < x_0+(n-1)\Delta x$.上式右边应用拉格朗日公式式 1 ,便得式 5 ,且
\begin{equation} x_0 < \xi_{n-1} < \xi_n < \xi_{n-1}+\Delta x < x_0+n\Delta x \end{equation}
证毕!


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