导数的运算法则

贡献者： _Eden_

预备知识　导数（简明微积分），导数（数学分析）

　　若函数 $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么下列各式在 $x_0$ 处成立，

\begin{equation} (f\pm g)'(x)=f'(x)\pm g'(x)~. \end{equation}
\begin{equation} (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)~. \end{equation}
\begin{equation} \left(\frac{f}{g} \right) '(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x))}{g(x)^2}~. \end{equation}
复合函数求导法则：若 $f(x)$ 在 $u_0$ 处可导，$g(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $g(x_0)=u_0$。那么
\begin{equation} (f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))g'(x_0)~, \end{equation}
许多物理书喜欢将它简记为 $\frac{ \,\mathrm{d}{f} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{ \,\mathrm{d}{f} }{ \,\mathrm{d}{g} } \cdot \frac{ \,\mathrm{d}{g} }{ \,\mathrm{d}{x} }$。

　　一些实用的求导公式（下面的一些公式需要在满足一定条件下才成立，例如 $(x^n)'=nx^{n-1}$ 中，若 $n=1/2$，则 $x$ 不能取负数。）：

$(x^n)'=nx^{n-1}$。
$(a^x)'=a^x\ln a$。
$(\ln x)'=1/x$。
$(\sin x)'=\cos x,(\cos x)'=-\sin x$。
$( \sin\left(\omega x+\phi\right) )''=-\omega^2 \sin\left(\omega x+\phi\right) $¹。
$(\tan x)'=1/\cos^2 x,(\cot x)'=-1/\sin^2 x$。
$(\arctan x)'=1/(1+x^2)$。

习题 1　

　　设函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调，其反函数为 $g(y)=f^{-1}(y)$。已知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上二阶可导，给定它的一阶导函数和二阶导函数，且一阶导数处处不为 $0$，求 $g'(y),g''(y)$（$x=f^{-1}(y)$ 在其定义域范围内存在）。

　　提示：观察图像一点切线的斜率容易知道 $g'(y)=1/f'(x)$（其中 $x=f^{-1}(y)$），严格证明可以利用导数定义或函数在一点附近的一阶近似公式。但二阶导不是那么容易求，逐步推导过程如下：

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{g} '(y)}{ \,\mathrm{d}{y} }&=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{y} }\left(\frac{1}{f'(x)}\right)=\frac{-1}{f'(x)^2}\frac{ \,\mathrm{d}{f} '(x)}{ \,\mathrm{d}{y} }=\frac{-1}{f'(x)^2}\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{y} }\frac{ \,\mathrm{d}{f} '(x)}{ \,\mathrm{d}{x} }\\ &=\frac{-1}{f'(x)^2}\frac{1}{f'(x)}\frac{ \,\mathrm{d}{f} '(x)}{ \,\mathrm{d}{x} }=-\frac{f''(x)}{f'(x)^3}~. \end{aligned} \end{equation}

这个问题有一个更有启发意义的解法。如果我们写出 $f(x)$ 和 $g(y)$ 的二阶近似公式：

\begin{equation} \begin{aligned} f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x)h^2+o(h^2)~,\\ g(y+\eta)=g(y)+g'(y)\eta+g''(y)\eta^2+o(\eta^2)~. \end{aligned} \end{equation}

根据 $f$ 和 $g$ 互为反函数的关系，我们有 $y=f(x),x=g(y)$。不妨令上式中 $y+\eta=f(x+h),x+h=g(y+\eta)$，则 $\eta$ 可以用 $f'(x),f''(x)$ 的表达式代替。代入整理可得：

\begin{equation} \begin{aligned} x+h&=x+g'(y)(f'(x)h+f''(x)h^2+o(h^2))\\ &\ +g''(y)(f'(x)h+f''(x)h^2+o(h^2))^2+o(h^2)~,\\ x+h&=x+g'(y)f'(x)h + (g'(y)f''(x)+g''(y)f'(x)^2)h^2+o(h^2)~. \end{aligned} \end{equation}

$h^n$ 项系数要相同，可以列出两个等式，解得 $g'(y)=1/f'(x),g''(y)=-f''(x)/f'(x)^3$。这个方法可以推广到求 $g(y)$ 的 $n$ 阶导，更重要的是它提供了一个系统的计算方法，可以编写程序设计相应的算法进行计算。

1. ^ 这个公式就是简谐振动的运动方程。

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