凸函数

贡献者：零穹

预备知识　导数（数学分析）

　　除函数的单调性外，本节所谓的凸性也是函数论的重要概念。

定义 1　凸函数

　　设函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in I$ ， $t \in (0, 1)$ ，都有

\begin{matrix} (1) & f ((1 - t) x_{1} + t x_{2}) \leq (1 - t) f (x_{1}) + t f (x_{2}), \end{matrix}

那么称

f (x)

为

I

上的凸函数。如果将

\leq

改为

<

，那么称

f (x)

为严格凸函数。类似地可以定义凹函数（

\geq

）和严格凹函数(

>

)。凸函数的曲线称为凸的。

1. 凸函数的几何意义

　　由凸集的子节 1 可知，不等式式 1 的左边的 $(1 - t) x_{1} + t x_{2}, t \in (0, 1)$ 是连接定义域上点 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的开线段，而右边是连接函数值域上点 $f (x_{1})$ 和 $f (x_{2})$ 的开线段。

图 1：凸函数几何示意图

　　由图 1 ，可看出，不等式式 1 的左边对应的是 $f$ 在 $A_{1}, A_{2}$ 间的曲线段，而右边的对应的就是线段 $A_{1} A_{2}$ 。设 $x = (1 - t) x_{1} + t x_{2}$ ，则利用三角形相似性，可得

\begin{matrix} (2) & t = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{| A_{1} B |}{| A_{1} A_{2} |} \end{matrix}

上式表明，在

t

时，不等式式 1 左边是函数

f (x)

曲线上的点

A

，而右边对应线段

A_{1} A_{2}

上的

B

点。即不等式式 1 表明，凸函数图形（弧）上的所有点都在相应弦的下面，或位于弦本身上（对凹函数，则 “下面” 改为 “上面”）。

2. 函数凸性的条件

定理 1　

　　设 $f (x) \in C [a, b]$ 。 $f (x)$ 满足

在 $(a, b)$ 上可导。则 $f (x)$ 是（严格）凸函数的充分必要条件是 $f^{'} (x)$ 在 $(a, b)$ 内（严格）单调递增。
在 $(a, b)$ 上二阶可导。则 $f (x)$ 是凸函数的充分必要条件是 $f^{″} (x) \geq 0$ ； $f (x)$ 是严格凸函数的充分必要条件是 $f^{″} (x) \geq 0$ 且 $f^{″} (x)$ 在 $(a, b)$ 的任意子区间上都不恒等于 $0$ 。

　　凸函数的以上几条充分必要条件可以从图像中直观地理解，事实上，画图常常有助于解决与凸函数性质相关的问题。

习题 1　

　　证明两个 $I$ 上的凸函数相加仍然是 $I$ 上的凸函数。

　　 提示：由于给定函数在区间 $I$ 上不一定可导，所以不能用定理 1 证明，必须回归到定义。

习题 2　

　　设 $f (x)$ 是区间 $(a, b)$ 上的凸函数，证明 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内的任意闭区间 $[α, β]$ 上都满足 Lipschitz 条件（也就是说存在 $L > 0$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in [α, β]$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq L | x_{1} - x_{2} |$ ）。

　　 提示：如果将 $[α, β]$ 改为开区间，则很容易找到反例，所以在证明这个命题时要充分利用好闭区间的特性，尝试将 $L$ 的上界量化。取充分小的 $h$ ，使 $[α - h, β + h] \subset (a, b)$ ，令 $x_{3} = x_{2} + h$ ，根据凸函数的定义（事实上可以从图像上很快得出） $(f (x_{2}) - f (x_{1})) / (x_{2} - x_{1}) < (f (x_{3}) - f (x_{2})) / (x_{3} - x_{2}) \leq (M - m) / h$ ，其中 $M, m$ 是区间 $[α - h, β + h]$ 上函数的最大、最小值（可以证明，闭区间上的凸函数一定有最大最小值）。于是可以令 $L = (M - m) / h$ 。

　　函数的凹凸性可以通过琴生不等式引出各种不等式，函数的凹凸性的定义是琴生不等式的 $n = 2$ 版本，而事实上两者作为定义是等价的。

定理 2　琴生不等式

　　 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上是凸函数的充分必要条件为：对任意 $x_{1}, \dots, x_{n} \in [a, b], \sum_{i = 1}^{n} t_{i} = 1$ ，以下不等式总成立

\begin{matrix} (3) & f (t_{1} x_{1} + t_{2} x_{2} + \dots + t_{n} x_{n}) \leq t_{1} f (x_{1}) + t_{2} f (x_{2}) + \dots + t_{n} f (x_{n}) . \end{matrix}

对于严格凸函数，上面的充要条件应将

\leq

改为

<

，并且

x_{1}, \dots, x_{n}

不全相等。

　　利用凸函数的性质，可以推出一系列不等式，例如调和-几何-算术平均不等式、柯西不等式、赫尔德不等式等。

习题 3　

　　证明幂平均不等式：设 $x_{1}, \dots, x_{n} > 0$ ，构造以下函数：

\begin{matrix} (4) & F (p) = {\begin{aligned} {(\frac{x_{1}^{p} + x_{2}^{p} + \dots + x_{n}^{p}}{n})}^{1 / p} & (p \neq 0) \\ (x_{1} \dots x_{n})^{1 / n} & (p = 0) . \end{aligned} \end{matrix}

那么

F (p)

是单调递增函数。

　　提示：幂平均不等式是调和-几何-算术平均不等式的自然推广，注意到 $F (- \infty) < F (- 1) < F (0) < F (1) < F (\infty)$ 恰好对应着

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} min {x_{1}, \dots, x_{n}} & < \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \dots + \frac{1}{x_{n}}} < (x_{1} \dots x_{n})^{1 / n} \\ < \frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n} < max {x_{1}, \dots, x_{n}} . \end{aligned} \end{matrix}

先考虑证明

0 < p < q

时

F (p) < F (q)

，其他情况的证明类似。为了能利用上琴生不等式，不等式一侧

x_{i}

的指数最好为

1

。所以进行换元，令

a_{i} = x_{i}^{p}

，可以得到

\begin{matrix} (6) & {(\frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n})}^{q / p} \leq \frac{a_{1}^{q / p} + \dots + a_{n}^{q / p}}{n} . \end{matrix}

函数

x^{q / p}

在

(0, \infty)

上是凸函数，因此可以利用琴生不等式证明这个不等式。

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凸函数

定义 1 凸函数

1. 凸函数的几何意义

2. 函数凸性的条件

定理 1

习题 1

习题 2

定理 2 琴生不等式

习题 3

定义 1　凸函数

定理 1　

习题 1　

习题 2　

定理 2　琴生不等式

习题 3　