微分形式(简明微积分)

                     

贡献者: addis

  • 本词条处于草稿阶段.
  • 微分形式应当形如 $ \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} $
预备知识 平面旋转变换,斯托克斯定理(简明微积分),雅可比矩阵和行列式

   考虑二维的散度定理

\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{f}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \,\mathrm{d}{l} = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{f}} \,\mathrm{d}{s} \end{equation}
其中 $ \,\mathrm{d}{l} $ 是曲线上的一个小线段,曲线逆时针为证.$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $ 是该线段的法向量,向外为正.

   具体应该如何计算呢?假设曲线的参数方程为 $x(t), y(t)$,于是 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = (x'(t) \,\mathrm{d}{t} , y'(t) \,\mathrm{d}{t} )$,旋转 $90^\circ$ 后变为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \,\mathrm{d}{l} = (y'(t) \,\mathrm{d}{t} , -x'(t) \,\mathrm{d}{t} )$.令矢量场为 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} = (f_x(x,y), f_y(x,y))$,于是式 1 变为

\begin{equation} \oint [f_x(x(t),y(t)) y'(t) - f_y(x(t),y(t)) x'(t)] \,\mathrm{d}{t} = \int \left( \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
等式左边也可以简单地记为
\begin{equation} \oint f_x(x,y) \,\mathrm{d}{y} - f_y(x,y) \,\mathrm{d}{x} = \oint f_x(x,y) \,\mathrm{d}{y} - \oint f_y(x,y) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
其中 $f_x(x,y) \,\mathrm{d}{y} - f_y(x,y) \,\mathrm{d}{x} $ 就是一个微分形式.注意右边的两个环积分中,分别可以把曲线分为两部分,例如 $\oint f_x(x,y) \,\mathrm{d}{y} $ 中可以把曲线延正方向 $y$ 坐标增加的部分 $I^+$ 和减小的部分 $I^-$.此时可以直接用 $y$ 作为参数 $t$,$x = x(y)$,那么
\begin{equation} \oint f_x(x,y) \,\mathrm{d}{y} = \int_{I^+} f_x(x(y),y) \,\mathrm{d}{y} + \int_{I^-} f_x(x(y),y) \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
在第一个积分中,$ \,\mathrm{d}{y} $ 是正的,第二个中 $ \,\mathrm{d}{y} $ 是负的.
未完成:面积分,每个曲面积分可以分为三个积分,再分为两个方向的积分.另外弄一个球坐标曲面积分的例子,引入雅可比行列式.此时两个面积分就可以合并为一个,因为雅可比行列式的正负号会自动处理朝向.此时要强调 $ \,\mathrm{d}{x_i} $ 的顺序很重要

1. 微分形式

定义 1 微分形式

   在 $R^N$ 中,令 $k < N$,那么 $k$-微分形式($k$-differential form),简称 $k$-形式,记为

\begin{equation} \omega = \sum_{i_1,\dots,i_k} f_{i_1,\dots,i_k}(x_1,\dots,x_k) \,\mathrm{d}{x_{i_1}} \dots \,\mathrm{d}{x_{i_k}} \end{equation}
其中求和中每个 $i$ 从 1 到 $k$ 变化.

   定义一个 $k$ 维曲面,用参数方程表示为 $x_i(u_1,\dots,u_k)$($i=1,\dots,N$).微分形式 $\omega$ 在该曲面上的积分为

\begin{equation} \sum_{i_1,\dots,i_k} \oint f_{i_1,\dots,i_k}(x_1(u_1,\dots,u_k),\dots,x_k(u_1,\dots,u_k)) \frac{\partial(x_{i_1},\dots,x_{i_k})}{\partial(u_1,\dots,u_k)} \,\mathrm{d}{u_1} ,\dots, \,\mathrm{d}{u_k} \end{equation}
其中 $\frac{\partial(\dots)}{\partial(\dots)}$ 是雅可比行列式,$\frac{\partial(\dots)}{\partial(\dots)} \,\mathrm{d}{u_1} ,\dots, \,\mathrm{d}{u_k} $ 是曲面上的有向表面积.

   根据雅可比行列式的性质,当 $ \,\mathrm{d}{x_{i_1}} \dots \,\mathrm{d}{x_{i_k}} $ 中有任意两个下标相同,则对应的积分为零.交换任意两个 $ \,\mathrm{d}{x_i} $,积分取相反数.

2. 微分形式的微分

   定义式 5 的微分为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{\omega} = \sum_{i_1,\dots,i_k}\sum_{j=1}^N \frac{\partial}{\partial{x_j}} f_{i_1,\dots,i_k}(x_1,\dots,x_k) \,\mathrm{d}{x_j} \,\mathrm{d}{x_{i_1}} \dots \,\mathrm{d}{x_{i_k}} \end{equation}

  

未完成:举一个斯托克斯定理的例子


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