微分形式（简明微积分）

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。
微分形式应当形如 $d x \land d y$

预备知识　平面旋转变换，斯托克斯定理（简明微积分），雅可比矩阵和行列式

　　考虑二维的散度定理

\begin{matrix} (1) & \oint f \cdot \hat{n} d l = \int \nabla \cdot f d s . \end{matrix}

其中

d l

是曲线上的一个小线段，曲线逆时针为证。

\hat{n}

是该线段的法向量，向外为正。

　　具体应该如何计算呢？假设曲线的参数方程为 $x (t), y (t)$ ，于是 $d l = (x^{'} (t) d t, y^{'} (t) d t)$ ，旋转 $90^{\circ}$ 后变为 $\hat{n} d l = (y^{'} (t) d t, - x^{'} (t) d t)$ 。令矢量场为 $f = (f_{x} (x, y), f_{y} (x, y))$ ，于是式 1 变为

\begin{matrix} (2) & \oint [f_{x} (x (t), y (t)) y^{'} (t) - f_{y} (x (t), y (t)) x^{'} (t)] d t = \int (\frac{\partial f_{x}}{\partial x} + \frac{\partial f_{y}}{\partial y}) d x d y, \end{matrix}

等式左边也可以简单地记为

\begin{matrix} (3) & \oint f_{x} (x, y) d y - f_{y} (x, y) d x = \oint f_{x} (x, y) d y - \oint f_{y} (x, y) d x, \end{matrix}

其中

f_{x} (x, y) d y - f_{y} (x, y) d x

就是一个微分形式。注意右边的两个环积分中，分别可以把曲线分为两部分，例如

\oint f_{x} (x, y) d y

中可以把曲线延正方向

y

坐标增加的部分

I^{+}

和减小的部分

I^{-}

。此时可以直接用

y

作为参数

t

，

x = x (y)

，那么

\begin{matrix} (4) & \oint f_{x} (x, y) d y = \int_{I^{+}} f_{x} (x (y), y) d y + \int_{I^{-}} f_{x} (x (y), y) d y . \end{matrix}

在第一个积分中，

d y

是正的，第二个中

d y

是负的。

未完成：面积分，每个曲面积分可以分为三个积分，再分为两个方向的积分。另外弄一个球坐标曲面积分的例子，引入雅可比行列式。此时两个面积分就可以合并为一个，因为雅可比行列式的正负号会自动处理朝向。此时要强调

d x_{i}

的顺序很重要

1. 微分形式

定义 1　微分形式

　　在 $R^{N}$ 中，令 $k < N$ ，那么 $k$ -微分形式（ $k$ -differential form），简称 $k$ -形式，记为

\begin{matrix} (5) & ω = \sum_{i_{1}, \dots, i_{k}} f_{i_{1}, \dots, i_{k}} (x_{1}, \dots, x_{k}) d x_{i_{1}} \dots d x_{i_{k}}, \end{matrix}

其中求和中每个

i

从 1 到

k

变化。

　　定义一个 $k$ 维曲面，用参数方程表示为 $x_{i} (u_{1}, \dots, u_{k})$ （ $i = 1, \dots, N$ ）。微分形式 $ω$ 在该曲面上的积分为

\begin{matrix} (6) & \sum_{i_{1}, \dots, i_{k}} \oint f_{i_{1}, \dots, i_{k}} (x_{1} (u_{1}, \dots, u_{k}), \dots, x_{k} (u_{1}, \dots, u_{k})) \frac{\partial (x_{i_{1}}, \dots, x_{i_{k}})}{\partial (u_{1}, \dots, u_{k})} d u_{1}, \dots, d u_{k}, \end{matrix}

其中

\frac{\partial (\dots)}{\partial (\dots)}

是雅可比行列式，

\frac{\partial (\dots)}{\partial (\dots)} d u_{1}, \dots, d u_{k}

是曲面上的有向表面积。

　　根据雅可比行列式的性质，当 $d x_{i_{1}} \dots d x_{i_{k}}$ 中有任意两个下标相同，则对应的积分为零。交换任意两个 $d x_{i}$ ，积分取相反数。

2. 微分形式的微分

　　定义式 5 的微分为

\begin{matrix} (7) & d ω = \sum_{i_{1}, \dots, i_{k}} \sum_{j = 1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_{j}} f_{i_{1}, \dots, i_{k}} (x_{1}, \dots, x_{k}) d x_{j} d x_{i_{1}} \dots d x_{i_{k}} . \end{matrix}

未完成：举一个斯托克斯定理的例子

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微分形式（简明微积分）

1. 微分形式

定义 1 微分形式

2. 微分形式的微分

定义 1　微分形式