圆锥曲线的统一定义（高中）

贡献者：欄、停敘

本文处于草稿阶段。

预备知识　圆锥曲线与圆锥

　　古希腊时期，人们通过截取圆锥面来研究圆、椭圆、抛物线和双曲线等曲线。这种方法虽然直观，并赋予了这些曲线共同的几何起源，但在具体研究时，仍将它们视为彼此独立的四类对象，分别分析各自的性质。它们的代数表达不同，图像形状各异，彼此之间缺乏统一的联系。另外，在高中教材中，常常在介绍椭圆的长轴、短轴和焦点等概念时，直接空降一个 “离心率” 的概念，并简单地解释为 “衡量椭圆扁平程度” 的参数。但细心的读者可能会注意到，抛物线和双曲线也有各自的 “离心率”，这自然会引发疑问：为什么所有圆锥曲线都有离心率？这个量到底为何被这样定义？不同曲线的离心率之间又有怎样的联系？

　　实际上，在阿波罗尼乌斯的时代，“离心率” 这一概念尚未系统建立。随着解析几何的建立，数学家们才逐渐发现：这些看似不同的曲线，在引入一个定点和一条定直线后，竟然可以通过一个简洁而优雅的定义统一起来。这一定义不仅在解析几何中揭示了圆锥曲线的本质，还在射影几何等更深层次的研究中带来了意想不到的收获。而离心率也是在圆锥曲线的统一定义提出之后，才逐渐发展成为刻画这些曲线的重要参数。

　　可惜的是，这一部分内容在现行高中阶段的课程中已被完全删除。为带给读者更完整的视角，本文将从统一定义出发，系统探讨圆锥曲线的几何构造及其背后的深层联系。

1. 圆锥曲线的焦点-准线定义

　　利用准线与焦点得到的。提供了一个统一的视角来看待

　　 圆锥曲线的焦点-准线定义（Focus-Directrix Definition of Conic Sections）。

定义 1　圆锥曲线的焦点-准线定义

　　在平面上，所有到一个定点的距离与到一条定直线的距离的比值是一个固定常数的点的轨迹，称为圆锥曲线（conic section）。其中，定点称为圆锥曲线的焦点（focus），定直线称为圆锥曲线的准线（directrix），二者互相对应，对应的焦点与准线的距离称作焦准距（focal parameter），通常记作 $p$ 。比值称作圆锥曲线的离心率（eccentricity），通常记作 $e$ 。特别地：

当 $e = 0$ 时，轨迹称为圆（circle）¹。
当 $0 < e < 1$ 时，轨迹称为椭圆（ellipse）。
当 $e = 1$ 时，轨迹称为抛物线（parabola）。
当 $e > 1$ 时，轨迹称为双曲线（hyperbola）。

图 1：

p = 1

时，不同离心率

e

的圆锥曲线

　　显然，定点到定直线的垂线为圆锥曲线的对称轴。

2. 性质

　　离心率表示 “扁平程度”： $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} \in [0, 1) .$ 椭圆越接近 1 越扁。

3. 定义等价性

椭圆

　　由直角坐标方程可知对称性，可在椭圆的两边做两条准线，令椭圆上任意一点到两焦点的距离分别为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，到两准线的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，则有

\begin{matrix} (1) & e = \frac{r_{1}}{d_{1}} = \frac{r_{2}}{d_{2}} = \frac{r_{1} + r_{2}}{d_{1} + d_{2}}, \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (2) & r_{1} + r_{2} = e (d_{1} + d_{2}) = 2 e (c + h) = 2 \frac{c}{a} (c + \frac{b^{2}}{c}) = 2 a, \end{matrix}

证毕。

双曲线

　　双曲线的另一种定义是，曲线上任意一点到两个焦点距离之差等于 $2 a$ 。这里证明前两种定义满足该性质。由对称性，我们不妨只考虑右支上的某点，令其到右焦点和右准线的距离分别为 $r_{1}$ 和 $d_{1}$ ，到左焦点和左准线的距离分别为 $r_{2}$ 和 $d_{2}$ 。由离心率的定义，有

\begin{matrix} (3) & e = \frac{r_{1}}{d_{1}} = \frac{r_{2}}{d_{2}} = \frac{r_{2} - r_{1}}{d_{2} - d_{1}}, \end{matrix}

由于两准线之间的距离恒为

2 a^{2} / c

，上式变为

\begin{matrix} (4) & r_{2} - r_{1} = e (d_{2} - d_{1}) = 2 a, \end{matrix}

证毕。

**4. *射影几何视角下的圆锥曲线**

未完成：

e = 0

为什么是圆？

注意根据定义，圆的准线为无穷远，所以只能使用中，圆的半径为无穷小。

　　射影几何中的视角使我们能够用一种统一且优雅的方式看待圆锥曲线。但在射影几何中，这些差异被看作是坐标选择与观察角度所导致的表象变化，它们在更本质的层面上是一类对象的不同表现：它们都是圆锥曲线。圆锥曲线不是三类不同的曲线，而是一个统一的几何实体的三种视角。它让我们跳出了直观图形的束缚，从结构上理解几何对象之间的联系，也为代数几何、复几何乃至更高维的几何打下了坚实的基础。

　　从射影几何的角度看，圆锥曲线定义为一个圆锥面与一个平面相交的轨迹。这个定义在欧几里得空间中也成立，但射影几何更进一步地指出：在射影平面中，所有非退化的圆锥曲线都是射影等价的。这意味着我们可以通过一个合适的射影变换（即坐标的线性变换加上归一化），将任意一个圆锥曲线变为另一个圆锥曲线——比如将一个椭圆变为一个双曲线或抛物线。

　　换句话说：

椭圆是在射影平面中与无穷远直线没有实交点的圆锥曲线；
双曲线是在射影平面中与无穷远直线有两个实交点的圆锥曲线；
抛物线是恰好与无穷远直线有一个交点的极限情形。

　　这种分类在射影几何中失去了意义，因为无穷远直线被作为与其他直线同等地位来处理，不再是 “例外的部分”。因此，抛物线、椭圆和双曲线不再是本质不同的几何对象，而只是一个对象的不同投影或表示。

　　此外，射影几何还强调了极点与极线的对偶性，并引入了极线极点变换的工具来研究圆锥曲线的性质，使得很多命题具有了对称且优美的形式。例如：对于一个给定的圆锥曲线，任意一点都有与之对应的一条极线，反之亦然。这种对偶关系在欧氏几何中并不自然存在。

1. ^ 这一点会在后文提供说明。

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