贡献者： 零穹
[1] 在柯西序列上可以定义等价关系（定义 3 ），而通过等价关系可以从柯西序列构成的集合上得到一个商集。下面将表明，这个由柯西序列得到的商集也具有度量空间的结构，并且原度量空间可看作这一商空间的子空间，且原空间在该商空间上是稠密的。
定理 1
设 $(X,d)$ 是任一度量空间，$\{x_n\},\{x'_n\}$ 是 $X$ 上的两个柯西序列（定义 1 ）。定义柯西序列上的二元关系 $R$：即若
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty}d(x_n,x_n')=0,~
\end{equation}
则称 $\{x_n\},\{x_n'\}$ 具有关系 $R$，并记为 $\{x_n\}R\{x_n'\}$。那么关系 $R$ 是等价关系。
证明：
自反性 $\{x_n\}R\{x_n\}$：由于 $d(x_n,x_n)=0$ 对所有 $n$ 成立，因此 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}d(x_n,x_n)=0$ 成立。
对称性 $\{x_n\}R\{x_n'\}\Rightarrow\{x_n'\}R\{x_n\}$：由 $d$ 的对称性，$d(x_n,x_n')=d(x_n',x_n)$，因此由 $\{x_n\}R\{x_n'\}$ 得
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty}d(x_n',x_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}d(x_n,x_n')=0.~
\end{equation}
传递性 $\{x_n\}R\{x_n'\},\{x'_n\}R\{y_n\}\Rightarrow\{x_n\}R\{y_n\}$：因为 $\{x_n\}R\{x_n'\},\{x'_n\}R\{y_n\}$，所以对任一 $\epsilon>0$，存在 $N,N'$，使得只要 $n\geq N,n'\geq N'$，就有
\begin{equation}
d(x_n,x_n')<\epsilon/2,\quad d(x_{n'}',y_{n'})<\epsilon/2.~
\end{equation}
取 $N_1=\max\{N,N'\}$，则只要 $n>N_1$，就有
\begin{equation}
d(x_n,y_n)< d(x_n,x'_n)+d(x'_n,y_n)<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon.~
\end{equation}
即 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n)=0$。
证毕！
由上面的定理，可以定义柯西序列的等价关系。
定义 1
设 $(X,d)$ 是任一度量空间，$\{x_n\},\{x'_n\}$ 是 $X$ 上的两个柯西序列（定义 1 ）。称 $\{x_n\}$ 和 $\{x_n'\}$ 是等价的，并记作 $\{x_n\}\sim\{x'_n\}$ 若
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty}d(x_n,x_n')=0.~
\end{equation}
定理 2
设 $C_X$ 是度量空间 $X$ 上的所有柯西序列构成的集族，则由等价关系 $\sim$ 定义的商集 $X^*:=C_X/\sim$ 上通过如下定义的距离 $d^*$ 是良好的：
\begin{equation}
d^*(x^*,y^*):=\lim_{n\rightarrow\infty} d(x_n,y_n),\quad x^*,y^*\in X^*,\{x_n\}\in x^*,\{y_n\}\in y^*.~
\end{equation}
即 $d^*(x^*,y^*)$ 的取值不依赖于 $\{x_n\},\{y_n\}$ 的选取且存在。
证明：由不等式式 3 以及序列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 是柯西序列知，对于充分大的 $n,m$，成立
\begin{equation}
\left\lvert d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m) \right\rvert \leq d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m)<\epsilon.~
\end{equation}
于是序列 $\{s_n\}$ 是实数构成的柯西序列，其中 $s_n:=d(x_n,y_n)$。由 Cauchy 准则（
定理 2 ），$\{s_n\}$ 有极限。这个极限不依赖于 $\{x_n\}\in x^*,\{y_n\}\in y^*$ 的选取。事实上，设
\begin{equation}
\{x_n\},\{x_n'\}\in x^*,\quad \{y_n\},\{y_n'\}\in y^*.~
\end{equation}
则有
\begin{equation}
\left\lvert d(x_n,y_n)-d(x'_n,y'_n) \right\rvert \leq d(x_n,x_n')+d(y_n,y'_n).~
\end{equation}
因为 $\{x_n\}\sim\{x_n'\},\{y_n\}\sim\{y_n'\}$，因此
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}d(x'_n,y'_n).~
\end{equation}
证毕！
定理 3
设 $(X,d)$ 是度量空间，$X^*,d^*$ 如定理 2 定义，则 $(X^*,d^*)$ 是度量空间。
证明：
正定性：
\begin{equation}
d^*(x^*,y^*)=\lim_{n\rightarrow\infty} d(x_n,y_n)\geq0.~
\end{equation}
设 $d^*(x^*,y^*)=0$，并取恒等序列 $\{x_n\}\in x^*,\{y_n\}\in y^*$，则
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty} d(x_n,y_n)=0\Rightarrow d(x_n,y_n)=0\Rightarrow x_n=y_n\Rightarrow x^*=y^*.~
\end{equation}
对称性：
\begin{equation}
d^*(x^*,y^*)=\lim_{n\rightarrow\infty} d(x_n,y_n)=\lim_{n\rightarrow\infty} d(y_n,x_n)=d^*(y^*,x^*).~
\end{equation}
三角不等式：设 $\{x_n\}\in x^*,\{y_n\}\in y^*,\{z_n\}\in Z^*$，则
\begin{equation}
d(x_n,z_n)\leq d(x_n,y_n)+d(y_n,z_n).~
\end{equation}
上式取极限得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty}d(x_n,z_n)&\leq \lim_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n)+\lim_{n\rightarrow\infty}d(y_n,z_n),\\
&\Downarrow\\
d^*(x^*,z^*)&\leq d^*(x^*,y^*)+d^*(y^*,z^*).
\end{aligned}
~
\end{equation}
定理 4
设 $(X,d),(X^*,d^*)$ 如定理 3 定义，则 $(X,d)$ 和 $(X^*,d^*)$ 的某一子空间等距（定义 4 ）。这一等距可由将 $x\in X$ 映射到收敛于 $x$ 的类 $x^*\in X^*$ 指定。
证明：设定理中描述的映射为 $f$，则我们只需证明 $f$ 是等距的，单的，且对任一 $x\in X$，$f(x)\in X^*$。
任一 $x\in X$，$f(x)\in X^*$：实数上，任一 $x\in X$，$\{x_n\},x_n\equiv x$ 是柯西序列，因此等价类 $[\{x_n\}]\in X^*$，即 $f(x)\in X^*$。
单射性：设 $x, y\in X$，且 $f(x)\neq f(y)$。取恒等序列 $\{x_n\},\{y_n\}$，其中 $x_n\equiv x_1,y_n\equiv x_2$。那么由 $f(x_1)\neq f(x_2)$，得（根据柯西序列等价的定义（定义 1 ））
\begin{equation}
\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n)&\neq 0,\\
&\Downarrow\\
d(x,y)&\neq0,\\
&\Downarrow\\
x&\neq y.
\end{aligned}~
\end{equation}
等距性：取满足 $x_n\equiv x_1,y_n\equiv x_2$ 的等距序列 $\{x_n\}\in f(x),\{y_n\}\in f(y)$，则
\begin{equation}
d^*(f(x),f(y))=\lim_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n)=d(x,y).~
\end{equation}
由定理 4 ，我们可以把 $X$ 看作 $X^*$ 的子空间。
定理 5
设 $(X,d),(X^*,d^*)$ 如定理 3 定义，则 $X$ 在 $X^*$ 中稠密（定义 1 ），即 $[X]=X^*$。
证明：
如前所述，$X$ 可看出 $X^*$ 的子空间，因此我们将直接记 $x$ 为 $X^*$ 中收敛到 $x$ 的等价类。设 $x^*$ 是 $R^*$ 中任一点且 $\epsilon>0$ 是任意的。取 $\{x_n\}\in x^*$。设 $N$ 是使得对一切 $n,m>N$，$\rho(x_n,x_m)<\epsilon$ 的数。则当 $n>N$ 时，
\begin{equation}
d^*(x_n,x^*)=\lim_{m\rightarrow\infty} d(x_n,x_m)<\epsilon.~
\end{equation}
上式我们已经取了 $x_n\in X^*$（严格说是 $f(x_n)$）中收敛于 $x_n$ 的恒等代表元。由
式 18 ，$x^*$ 的任意领域都包含 $X$ 中的某一点。因此 $X^*\subset [X]$，又 $[X]\subset X^*$（因为 $X$ 是度量空间 $X^*$ 的子集，$X$ 的极限点按定义都在 $X^*$ 中），所以 $[X]=X^*$。
证毕！
[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版
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