柯西序列的等价

贡献者：零穹

预备知识　柯西序列、完备度量空间，二元关系

　　 [1] 在柯西序列上可以定义等价关系（定义 3 ），而通过等价关系可以从柯西序列构成的集合上得到一个商集。下面将表明，这个由柯西序列得到的商集也具有度量空间的结构，并且原度量空间可看作这一商空间的子空间，且原空间在该商空间上是稠密的。

定理 1　

　　设 $(X, d)$ 是任一度量空间， ${x_{n}}, {x_{n}^{'}}$ 是 $X$ 上的两个柯西序列（定义 1 ）。定义柯西序列上的二元关系 $R$ ：即若

\begin{matrix} (1) & lim_{n \to \infty} d (x_{n}, x_{n}^{'}) = 0, \end{matrix}

则称

{x_{n}}, {x_{n}^{'}}

具有关系

R

，并记为

{x_{n}} R {x_{n}^{'}}

。那么关系

R

是等价关系。

　　 证明： 自反性 ${x_{n}} R {x_{n}}$ ：由于 $d (x_{n}, x_{n}) = 0$ 对所有 $n$ 成立，因此 $lim_{n \to \infty} d (x_{n}, x_{n}) = 0$ 成立。

　　对称性 ${x_{n}} R {x_{n}^{'}} \Rightarrow {x_{n}^{'}} R {x_{n}}$ ：由 $d$ 的对称性， $d (x_{n}, x_{n}^{'}) = d (x_{n}^{'}, x_{n})$ ，因此由 ${x_{n}} R {x_{n}^{'}}$ 得

\begin{matrix} (2) & lim_{n \to \infty} d (x_{n}^{'}, x_{n}) = lim_{n \to \infty} d (x_{n}, x_{n}^{'}) = 0. \end{matrix}

　　传递性 ${x_{n}} R {x_{n}^{'}}, {x_{n}^{'}} R {y_{n}} \Rightarrow {x_{n}} R {y_{n}}$ ：因为 ${x_{n}} R {x_{n}^{'}}, {x_{n}^{'}} R {y_{n}}$ ，所以对任一 $ϵ > 0$ ，存在 $N, N^{'}$ ，使得只要 $n \geq N, n^{'} \geq N^{'}$ ，就有

\begin{matrix} (3) & d (x_{n}, x_{n}^{'}) < ϵ / 2, d (x_{n^{'}}^{'}, y_{n^{'}}) < ϵ / 2. \end{matrix}

取

N_{1} = max {N, N^{'}}

，则只要

n > N_{1}

，就有

\begin{matrix} (4) & d (x_{n}, y_{n}) < d (x_{n}, x_{n}^{'}) + d (x_{n}^{'}, y_{n}) < ϵ / 2 + ϵ / 2 = ϵ . \end{matrix}

即

lim_{n \to \infty} d (x_{n}, y_{n}) = 0

。

　　 证毕！

　　由上面的定理，可以定义柯西序列的等价关系。

定义 1　

　　设 $(X, d)$ 是任一度量空间， ${x_{n}}, {x_{n}^{'}}$ 是 $X$ 上的两个柯西序列（定义 1 ）。称 ${x_{n}}$ 和 ${x_{n}^{'}}$ 是等价的，并记作 ${x_{n}} \sim {x_{n}^{'}}$ 若

\begin{matrix} (5) & lim_{n \to \infty} d (x_{n}, x_{n}^{'}) = 0. \end{matrix}

定理 2　

　　设 $C_{X}$ 是度量空间 $X$ 上的所有柯西序列构成的集族，则由等价关系 $\sim$ 定义的商集 $X^{*} := C_{X} / \sim$ 上通过如下定义的距离 $d^{*}$ 是良好的：

\begin{matrix} (6) & d^{*} (x^{*}, y^{*}) := lim_{n \to \infty} d (x_{n}, y_{n}), x^{*}, y^{*} \in X^{*}, {x_{n}} \in x^{*}, {y_{n}} \in y^{*} . \end{matrix}

即

d^{*} (x^{*}, y^{*})

的取值不依赖于

{x_{n}}, {y_{n}}

的选取且存在。

　　 证明：由不等式式 3 以及序列 ${x_{n}}, {y_{n}}$ 是柯西序列知，对于充分大的 $n, m$ ，成立

\begin{matrix} (7) & | d (x_{n}, y_{n}) - d (x_{m}, y_{m}) | \leq d (x_{n}, x_{m}) + d (y_{n}, y_{m}) < ϵ . \end{matrix}

于是序列

{s_{n}}

是实数构成的柯西序列，其中

s_{n} := d (x_{n}, y_{n})

。由 Cauchy 准则（定理 2 ），

{s_{n}}

有极限。这个极限不依赖于

{x_{n}} \in x^{*}, {y_{n}} \in y^{*}

的选取。事实上，设

\begin{matrix} (8) & {x_{n}}, {x_{n}^{'}} \in x^{*}, {y_{n}}, {y_{n}^{'}} \in y^{*} . \end{matrix}

则有

\begin{matrix} (9) & | d (x_{n}, y_{n}) - d (x_{n}^{'}, y_{n}^{'}) | \leq d (x_{n}, x_{n}^{'}) + d (y_{n}, y_{n}^{'}) . \end{matrix}

因为

{x_{n}} \sim {x_{n}^{'}}, {y_{n}} \sim {y_{n}^{'}}

，因此

\begin{matrix} (10) & lim_{n \to \infty} d (x_{n}, y_{n}) = lim_{n \to \infty} d (x_{n}^{'}, y_{n}^{'}) . \end{matrix}

　　 证毕！

定理 3　

　　设 $(X, d)$ 是度量空间， $X^{*}, d^{*}$ 如定理 2 定义，则 $(X^{*}, d^{*})$ 是度量空间。

　　 证明： 正定性：

\begin{matrix} (11) & d^{*} (x^{*}, y^{*}) = lim_{n \to \infty} d (x_{n}, y_{n}) \geq 0. \end{matrix}

设

d^{*} (x^{*}, y^{*}) = 0

，并取恒等序列

{x_{n}} \in x^{*}, {y_{n}} \in y^{*}

，则

\begin{matrix} (12) & lim_{n \to \infty} d (x_{n}, y_{n}) = 0 \Rightarrow d (x_{n}, y_{n}) = 0 \Rightarrow x_{n} = y_{n} \Rightarrow x^{*} = y^{*} . \end{matrix}

　　对称性：

\begin{matrix} (13) & d^{*} (x^{*}, y^{*}) = lim_{n \to \infty} d (x_{n}, y_{n}) = lim_{n \to \infty} d (y_{n}, x_{n}) = d^{*} (y^{*}, x^{*}) . \end{matrix}

　　三角不等式：设 ${x_{n}} \in x^{*}, {y_{n}} \in y^{*}, {z_{n}} \in Z^{*}$ ，则

\begin{matrix} (14) & d (x_{n}, z_{n}) \leq d (x_{n}, y_{n}) + d (y_{n}, z_{n}) . \end{matrix}

上式取极限得

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} lim_{n \to \infty} d (x_{n}, z_{n}) & \leq lim_{n \to \infty} d (x_{n}, y_{n}) + lim_{n \to \infty} d (y_{n}, z_{n}), \\ ⇓ \\ d^{*} (x^{*}, z^{*}) & \leq d^{*} (x^{*}, y^{*}) + d^{*} (y^{*}, z^{*}) . \end{aligned} \end{matrix}

证毕！

定理 4　

　　设 $(X, d), (X^{*}, d^{*})$ 如定理 3 定义，则 $(X, d)$ 和 $(X^{*}, d^{*})$ 的某一子空间等距（定义 4 ）。这一等距可由将 $x \in X$ 映射到收敛于 $x$ 的类 $x^{*} \in X^{*}$ 指定。

　　 证明：设定理中描述的映射为 $f$ ，则我们只需证明 $f$ 是等距的，单的，且对任一 $x \in X$ ， $f (x) \in X^{*}$ 。

　　任一 $x \in X$ ， $f (x) \in X^{*}$ ：实数上，任一 $x \in X$ ， ${x_{n}}, x_{n} \equiv x$ 是柯西序列，因此等价类 $[{x_{n}}] \in X^{*}$ ，即 $f (x) \in X^{*}$ 。

　　单射性：设 $x, y \in X$ ，且 $f (x) \neq f (y)$ 。取恒等序列 ${x_{n}}, {y_{n}}$ ，其中 $x_{n} \equiv x_{1}, y_{n} \equiv x_{2}$ 。那么由 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，得（根据柯西序列等价的定义（定义 1 ））

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} lim_{n \to \infty} d (x_{n}, y_{n}) & \neq 0, \\ ⇓ \\ d (x, y) & \neq 0, \\ ⇓ \\ x & \neq y . \end{aligned} \end{matrix}

　　等距性：取满足 $x_{n} \equiv x_{1}, y_{n} \equiv x_{2}$ 的等距序列 ${x_{n}} \in f (x), {y_{n}} \in f (y)$ ，则

\begin{matrix} (17) & d^{*} (f (x), f (y)) = lim_{n \to \infty} d (x_{n}, y_{n}) = d (x, y) . \end{matrix}

证毕！

　　由定理 4 ，我们可以把 $X$ 看作 $X^{*}$ 的子空间。

定理 5　

　　设 $(X, d), (X^{*}, d^{*})$ 如定理 3 定义，则 $X$ 在 $X^{*}$ 中稠密（定义 1 ），即 $[X] = X^{*}$ 。

　　 证明： 如前所述， $X$ 可看出 $X^{*}$ 的子空间，因此我们将直接记 $x$ 为 $X^{*}$ 中收敛到 $x$ 的等价类。设 $x^{*}$ 是 $R^{*}$ 中任一点且 $ϵ > 0$ 是任意的。取 ${x_{n}} \in x^{*}$ 。设 $N$ 是使得对一切 $n, m > N$ ， $ρ (x_{n}, x_{m}) < ϵ$ 的数。则当 $n > N$ 时，

\begin{matrix} (18) & d^{*} (x_{n}, x^{*}) = lim_{m \to \infty} d (x_{n}, x_{m}) < ϵ . \end{matrix}

上式我们已经取了

x_{n} \in X^{*}

（严格说是

f (x_{n})

）中收敛于

x_{n}

的恒等代表元。由式 18 ，

x^{*}

的任意领域都包含

X

中的某一点。因此

X^{*} \subset [X]

，又

[X] \subset X^{*}

（因为

X

是度量空间

X^{*}

的子集，

X

的极限点按定义都在

X^{*}

中），所以

[X] = X^{*}

。

　　 证毕！

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版

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