贡献者： 零穹
[1] 连续映射在分析学和拓扑学中都有定义。从逻辑上来说，度量空间是拓扑空间的特殊情形，初等分析学中的函数（数）空间是度量空间的特殊情形。因此，更好的学习方式是从底层理论开始学的。例如，“连续映射” 的概念应当以拓扑学中的概念为最基本的概念，其它的情形的定义只不过是这一基本概念的特殊情形。然而，从现实来说，底层框架仅仅给出了构造世界的最基本构件，而生命（意识）的诞生需要在基本框架上附加更复杂的结构。因此从生命（意识）的认识来说，一开始接触到框架本身就是嵌套了额外的复杂结构，而这对于生命（意识）来说则更加感性具体。正如连续映射，从生命（意识）的认识来说，分析学中的函数的连续性则更加感性具体。这也解释为什么探寻真理的过程需要不断的进行抽象，寻找出其中更普遍的结构。因此，于我们而言，更合理的学习方式是从具有复杂结构的理论开始学习，再循序渐进的到更基本的理论中去。
因此，对连续映射的认识不是从拓扑空间中开始，而是以初等分析学中函数的连续性作为起点，再到达度量空间，最后才是拓扑空间。本节将从度量空间的视角去认识连续性的概念。
1. 连续映射
函数的连续概念通过数与数之差的绝对值来定义，这一绝对值度量了两数之间的距离。在度量空间中，有距离的概念，因此，可以类似的建立起度量空间中连续映射的概念。
定义 1 连续映射
设 $(X_1,d_1),(X_2,d_2)$ 是两度量空间，$f:X_1\rightarrow X_2$ 是 $X_1$ 到 $X_2$ 上的映射，$x_0\in X_1$。若对任意的 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$ 满足
\begin{equation}
d_1(x,x_0)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),f(x_0))<\epsilon,~
\end{equation}
则称 $f$ 在 $x_0$ 处
连续。若 $f$ 在 $X_1$ 的每一点都连续，则称 $f$ 在 $X_1$ 上
连续。
例 1 连续函数
若 $X_1,X_2\in\mathbb R$，则定义 1 的连续性定义便是连续函数的定义。
类似的，可以定义多元映射的连续性。
定义 2
设 $(X,d),(X_i,d_i),i=1,\ldots,n$ 是度量空间，$f:X_1\times\cdots\times X_n\rightarrow X$ 是映射，$x=(x_1,\ldots,x_n)\in X_1\times\cdots\times X_n$。若对任意的 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$ 满足
\begin{equation}
d_i(y_i,x_i)<\delta,i=1\cdots,n\quad \Rightarrow\quad d(f(y),f(x))<\epsilon,~
\end{equation}
则称 $f$ 在 $x$ 处
连续，其中 $y=(y_1,\cdots,y_n)$。若 $f$ 在 $X_1\times\cdots\times X_n$ 的每一点都连续，则称 $f$ 在 $X_1\times\cdots\times X_n$ 上
连续。
2. 距离是连续的
引理 1 有关距离的一个不等式
设 $(X,d)$ 是度量空间，则
\begin{equation}
\left\lvert d(x,y)-d(x_0,y_0) \right\rvert \leq d(x_0,x)+d(y_0,y).~
\end{equation}
证明：
由三角不等式（定义 1 ），有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert d(x,y)-d(x_0,y_0) \right\rvert &\leq \left\lvert d(x,y_0)+d(y_0,y)-d(x_0,y_0) \right\rvert \\
&\leq \left\lvert d(x,x_0)+d(x_0,y_0)+d(y_0,y)-d(x_0,y_0) \right\rvert \\
&\xlongequal{d\text{的正定性和对称性}}d(x_0,x)+d(y_0,y).
\end{aligned}~
\end{equation}
定理 1 距离的连续性
度量空间的距离是连续的。即若 $(X,d)$ 是度量空间，则 $d$ 在 $X$ 上是连续的。
证明：
由引理 1 ，对任意 $\epsilon>0$，选取 $\delta=\epsilon/2$，则对 $d(x,x_0)<\delta,d(y,y_0)<\delta$，成立
\begin{equation}
\left\lvert d(x,y)-d(x_0,y_0) \right\rvert \leq d(x,x_0)+d(y,y_0)<\epsilon.~
\end{equation}
3. 等距
定义 3 同胚
度量空间 $X$ 到 $Y$ 的连续映射 $f:X\rightarrow Y$ 称为同胚，若 $f$ 是双射。可以建立同胚的空间 $X,Y$ 称为相互同胚的。
例 2
\begin{equation}
y=\frac{2}{\pi}\arctan x~
\end{equation}
是 $(-\infty,\infty)$ 到 $(-1,1)$ 上的同胚映射。
定义 4 等距
设 $(X_1,d_1),(X_2,d_2)$ 是两度量空间，$f:X\rightarrow Y$ 是双射。若对 $\forall x,y\in X_1$，成立
\begin{equation}
d_2(f(x),f(y))=d_1(x,y),~
\end{equation}
则称 $f$ 为 $(X_1,d_1)$ 到 $(X_2,d_2)$ 的
等距（isometry）。能够建立等距映射的两度量空间称为
等距的（isometric）。
[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。